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143. Expliquez pourquoi l’équation de degré 3 se ramène à une équation de degré 2
Découvrez pourquoi une équation du troisième degré se ramène à une équation du second degré.
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142. Inversez une matrice en utilisant un endomorphisme associé
Utilisez une stratégie de calcul adaptée pour prouver la surjectivité d’un endomorphisme.
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141. Découvrez la théorie de résolution complète de l’équation du troisième degré par permutations des racines
Soit $(a,b,c,d)\in\C^4$ un quadruplet de nombres complexes tel que $a$ soit non nul.Considérez alors l’équation $(E) : ax^3+bx^2+cx+d = 0$ du troisième degré d’inconnue $x\in\C.$ Il existe trois nombres complexes, notés $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ tels que $aX^3+bX^2+cX+d$ est égal à $a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3).$ En développant le membre de droite : Par identification des coefficients du polynôme formel…
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140. Utilisez les nombres complexes pour trouver une décomposition en éléments simples dans les réels
Considérez la fraction rationnelle $F(X)=\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Pour trouver sa décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ vous pouvez d’abord trouver celle qu’elle possède dans $\C(X).$ Les parties polaires Le polynôme $X^4-1$ se factorise dans $\C(X)$ en utilisant plusieurs fois l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$ $\begin{align*}X^4-1 &= (X^2)^2-1^2\\&=(X^2-1)(X^2+1)\\&=(X^2-1^2)(X^2-i^2)\\&=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i).\end{align*}$ Vous déduisez que $(X^4-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2(X-i)^2(X+i)^2.$ Le degré du numérateur de la fraction $F(X)$…
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139. Une équation du troisième degré
Soit à résoudre dans les nombres réels l’équation $(E) : x^3-15x-4=0.$ Etudiez les variations de la fonction $x\mapsto x^3-15x-4$ Pour tout réel $x$, posez $f(x)=x^3-15x-4.$ La fonction $f$ étant polynomiale, elle est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2-15 = 3(x^2-5) = 3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).$ De cette factorisation, vous déduisez que la fonction $f$ est…