Soit $n$ un entier naturel non nul. On désigne par $a_0,\dots,a_n$ des nombres réels tels que : Soit $P$ le polynôme réel défini par : L’objectif de cet article est de démontrer que, pour tout nombre complexe $z$: Introduisez un polynôme $Q$ Soit $z$ une racine complexe de $P.$ Alors : Afin de faire apparaître des différences entre…

Calculez numériquement la borne de Cauchy d’un polynôme.

Majorez le maximum du module des racines d’un polynôme complexe grâce à la borne de Cauchy.

Démontrez algébriquement que les racines du polynôme dérivé se trouvent dans l’enveloppe convexe formée par les racines du polynôme initlal.

Etudiez le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire généralisée avec des nombres complexes.

Etablissez l’inégalité triangulaire généralisée avec deux ou plusieurs nombres complexes.

Calculez sur un exemple une somme de racines à la puissance 6 sans calculer explicitement les racines.

Résolvez un problème comportant des sommes de Newton que vous calculerez explicitement.

Démontrez qu’un certain polynôme de degré 4 est irréductible dans l’anneau des polynômes à coefficients rationnels.

Démontrez un lemme de Gauss sur les polynômes irréductibles.