Dans tout ce contenu, les matrices considérées auront des coefficients appartenant à un corps $\K.$
L’objectif est d’expliciter le comportement des matrices inversibles et non inversibles avec des opérations élémentaires sur les lignes uniquement. Il est ainsi possible de déterminer si une matrice est inversible ou non, sans faire appel explicitement à la notion de rang.
Rappelez vous de la définition d’une matrice inversible
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est dite inversible, si et seulement si, il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que $AB=BA=I_n$ où $I_n$ désigne la matrice identité d’ordre $n.$
Utilisez une récurrence
Pour tout entier naturel $n$ non nul, vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété suivante : « Si une matrice $A$ d’ordre $n$ est inversible, alors il existe un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes de $A$ permettant d’arriver à la matrice identité $I_n$. Si une matrice $A$ d’ordre $n$ n’est pas inversible, alors il existe un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes de $A$ permettant d’arriver à une matrice possédant au moins une ligne entièrement nulle. »
Initialisation
Pour $n=1.$ Soit $A$ une matrice d’ordre $1$ qui soit inversible.
Il existe un coefficient $a\in\K$ tel que $A = (a).$ Puisque $A$ est inversible, il existe une matrice $B$ telle que $AB=BA=(1).$
D’autre part, il existe $b\in\K$ tel que $B = (b).$ Le produit matriciel $AB$ est égal à $(ab)$ et donc $ab=1.$ Donc $a$ ne peut être nul.
En effectuant l’opération élémentaire $L_1\leftarrow \frac{1}{a}L_1$ à partir de la matrice $A$, vous tombez sur la matrice identité $I_1.$
Soit maintenant $A$ une matrice d’ordre $1$ qui ne soit pas inversible. Il existe un coefficient $a\in\K$ tel que $A = (a).$ Si $a$ est non nul, vous posez $B = (1/a)$ de sorte que $AB=BA=I_1$ donc $A$ est inversible ce qui est absurde. Donc $a=0.$ L’opération élémentaire $L_1\leftarrow L_1$ effectuée à partir de la matrice $A$ fournit la matrice $(0)$ dont la ligne $1$ est entièrement nulle.
Vous en déduisez que $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.
Hérédité
Soit $n$ un entier naturel non nul tel que $\mathscr{P(n)}$ soit vraie.
Cas où la matrice de départ est inversible
Soit $A_{n+1}$ une matrice carrée d’ordre $n+1$ qui soit inversible. Supposez que la première colonne de cette matrice soit entièrement nulle. Alors, pour toute matrice $M$ carrée d’ordre $n+1$, le produit $MA_{n+1}$ est une matrice dont la première colonne est encore entièrement nulle. Donc $MA_{n+1}$ ne peut être égal à la matrice identité $I_{n+1}$ donc $A_{n+1}$ n’est pas inversible, ce qui est absurde.
Donc il existe un coefficient de la première colonne de $A_{n+1}$ qui est non nul. En notant $r$ son numéro de ligne et en notant $a$ ce coefficient, vous effectuez l’opération élémentaire $L_1 \leftrightarrow L_r$ à partir de la matrice $A$, suivie de $L_1\leftarrow \frac{1}{a}L_1.$ La matrice obtenue possède un $1$ en haut à gauche :
A_{n+1}\xrightarrow[L_1 \leftrightarrow L_r]{}
\begin{pmatrix}
a & \ast & \cdots & \ast \\
\ast &\ast & \cdots & \ast \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
\ast &\ast & \cdots & \ast
\end{pmatrix}
\xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{1}{a}L_1]{}
\begin{pmatrix}
1 & \ast & \cdots & \ast \\
\ast &\ast & \cdots & \ast \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
\ast &\ast & \cdots & \ast
\end{pmatrix} = A^{(2)}_{n+1}.Vous notez maintenant $a’_{1}, \dots, b’_{n}$ les coefficients se trouvant dans la première colonne de la matrice obtenue $A^{(2)}_{n+1}.$
A^{(2)}_{n+1}
=
\begin{pmatrix}
1 & \ast & \cdots & \ast \\
a'_1 &\ast & \cdots & \ast \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
a'_n &\ast & \cdots & \ast
\end{pmatrix}.Vous effectuez maintenant les $n$ opérations élémentaires suivantes sur la matrice $A^{(2)}_{n+1}$, à savoir $L_2 \leftarrow L_2-a’_1L_1, \dots, L_{n+1} \leftarrow L_{n+1}-a’_nL_1.$
La matrice obtenue est celle-ci, elle est carrée d’ordre $n+1$, comme suit :
\begin{pmatrix}
1 & \ast & \cdots & \ast \\
0 &\ast & \cdots & \ast \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
0 &\ast & \cdots & \ast
\end{pmatrix} = A^{(n+2)}_{n+1}.En rayant la première ligne et la première colonne de cette matrice, vous obtenez une matrice $B^{(n+2)}_{n}$ carrée d’ordre $n.$ Si vous écrivez la matrice $A^{(n+2)}_{n+1}$ par blocs, cela fournit :
A^{(n+2)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} & B^{(n+2)}_n
\end{pmatrix}.Raisonnez maintenant par l’absurde. Si la matrice $B^{(n+2)}_n$ n’est pas inversible, par hypothèse de récurrence, il existe une suite finie de $m$ opérations élémentaires amenant la matrice $B^{(n+2)}_n$ a être transformée en une matrice $C^{(n+2+m)}_n$ qui possède au moins une ligne entièrement nulle.
Pour chaque opération élémentaire effectuée sur les lignes de $B^{(n+2)}_n$ vous effectuez simultanément une autre opération élémentaire sur les lignes de $A^{(n+2)}_{n+1}$, c’est-à-dire :
- si l’opération élémentaire effectuée sur $B^{(n+2)}_n$ est $L_i\leftrightarrow L_j$ vous effectuez l’opération élémentaire $L_{i+1}\leftrightarrow L_{j+1}$ sur la matrice $A^{(n+2)}_{n+1};$
- si l’opération élémentaire effectuée sur $B^{(n+2)}_n$ est $L_i\leftarrow k L_i$ avec $k\in\K^{*}$ vous effectuez l’opération élémentaire $L_{i+1}\leftrightarrow k L_{i+1}$ sur la matrice $A^{(n+2)}_{n+1};$
- si l’opération élémentaire effectuée sur $B^{(n+2)}_n$ est $L_i\leftarrow L_i + k L_j$ avec $i\neq j$ et $k\in\K$ vous effectuez l’opération élémentaire $L_{i+1}\leftrightarrow L_{i+1}+k L_{j+1}$ sur la matrice $A^{(n+2)}_{n+1}.$
Comme la colonne $1$ de la matrice $A^{(n+2)}_{n+1}$ ne possède que des zéros de la ligne $2$ à la ligne $n+1$ les $m$ opérations élémentaires effectuées sur la matrice $A^{(n+2)}_{n+1}$ vont la transformer en la matrice suivante dont la représentation par blocs est :
A^{(n+2+m)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} & C^{(n+2+m)}_n
\end{pmatrix}.Comme la matrice $C^{(n+2+m)}_n$ possède au moins une ligne entièrement nulle, il en est de même pour la matrice $A^{(n+2+m)}_{n+1}.$
Notez $s$ le numéro de la première ligne de la matrice $A^{(n+2+m)}_{n+1}$ qui est entièrement nulle.
Pour toute matrice carrée $M$ d’ordre $n+1$ le produit $A^{(n+2+m)}_{n+1} M$ aura la ligne numéro $s$ entièrement nulle aussi. Donc il n’existe aucune matrice $M$ d’ordre $n+1$ telle que le produit $A^{(n+2+m)}_{n+1} M$ soit égal à la matrice identité $I_{n+1}.$ Donc $A^{(n+2+m)}_{n+1}$ n’est pas inversible.
Or, il existe $n+2+m$ matrices élémentaires $E_1, \dots, E_{n+2+m}$ de permutation, transvection ou dilatation telles que :
E_{n+2+m}\cdots E_1A_{n+1} = A^{(n+2+m)}_{n+1}.Or, pour tout $i\in\llbracket 1, n+2+m\rrbracket$ les matrices $E_i$ sont toutes inversibles : pour tout $i\in\llbracket 1, n+2+m\rrbracket$ il existe une matrice $E_i^{-1}$ telle que $E_i E_i^{-1} = E_i^{-1}E_i = I_{n+1}.$
Comme $A_{n+1}$ est inversible, il existe une matrice $B$ telle que $A_{n+1}B = BA_{n+1} = I_{n+1}.$ Posez $C = BE_1^{-1}\cdots E_{n+2+m}^{-1}.$
Alors :
\begin{align*}
A^{(n+2+m)}_{n+1}C &= (E_{n+2+m}\cdots E_1A_{n+1} )(BE_1^{-1}\cdots E_{n+2+m}^{-1}) \\
&= E_{n+2+m}\cdots E_1(A_{n+1} B ) E_1^{-1}\cdots E_{n+2+m}^{-1}\\
&= E_{n+2+m}\cdots E_1 E_1^{-1}\cdots E_{n+2+m}^{-1}\\
&= I_{n+1}.
\end{align*} \begin{align*}
CA^{(n+2+m)}_{n+1} &= (BE_1^{-1}\cdots E_{n+2+m}^{-1}) (E_{n+2+m}\cdots E_1A_{n+1} )\\
&= BA_{n+1} \\
&= I_{n+1}.
\end{align*} Du coup la matrice $A^{(n+2+m)}_{n+1}$ est inversible, contradiction.
Il en résulte que la matrice $B^{(n+2)}_n$ est inversible. Par hypothèse de récurrence, il existe une suite finie de $p$ opérations élémentaires amenant la matrice $B^{(n+2)}_n$ a être transformée en la matrice identité $I_n.$ Comme précédemment, à chaque opération élémentaire effectuée à partir de la matrice $B^{(n+2)}_n$ vous effectuez une opération élémentaire à partir de la matrice $A^{(n+2)}_{n+1}.$ Vous aboutissez à la matrice suivante, par blocs :
A^{(n+2+p)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} & I_n
\end{pmatrix}.Notez alors $d_1,\dots, d_n$ les coefficients supplémentaires de la première ligne de cette matrice :
\begin{pmatrix}
1 & d_1& \cdots & d_n \\
0 &1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
0 &0 & \cdots & 1
\end{pmatrix} = A^{(n+2+p)}_{n+1}.Vous effectuez alors les $n$ opérations élémentaires $L_1\leftarrow L_1-d_1L_2, \dots, L_1\leftarrow L_1-d_nL_{n+1}$ et vous arrivez à la matrice identité $I_{n+1}.$
Cas où la matrice de départ n’est pas inversible
Soit $A_{n+1}$ une matrice carrée d’ordre $n+1$ qui soit non inversible.
Premier cas. La première colonne de cette matrice est entièrement nulle. Ecrivant cette matrice par blocs, il existe une matrice carrée $B_n$ telle que :
A_{n+1} = \begin{pmatrix}
0 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} &B_n
\end{pmatrix}.Si $B_n$ n’est pas inversible, il existe une suite finie de $m$ opérations élémentaires qui transforment la matrice $B_n$ en une matrice $B^{(m)}_n$ qui possède une ligne entièrement nulle. Effectuant les opérations élémentaires transposées sur la matrice $A_{n+1}$, vous arrivez en $m$ opérations élémentaires à transformer la matrice $A_{n+1}$ en la matrice $A^{(m)}_{n+1}$ suivante :
A^{(m)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
0 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} &B^{(m)}_n
\end{pmatrix}.Comme $B^{(m)}_n$ possède une ligne entièrement nulle, il en est de même de $A^{(m)}_{n+1}.$
Si $B_n$ est inversible, il existe une suite finie de $p$ opérations élémentaires qui transforment la matrice $B_n$ en la matrice identité $I_n.$ Du coup, en $p$ opérations élémentaires, la matrice $A_{n+1}$ est transformée en la matrice $A^{(p)}_{n+1}$ suivante :
A^{(p)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
0 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} &I_n
\end{pmatrix}.Notez alors $d_1,\dots, d_n$ les coefficients supplémentaires de la première ligne de cette matrice :
A^{(p)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
0 & d_1& \cdots & d_n \\
0 &1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
0 &0 & \cdots & 1
\end{pmatrix} .Vous effectuez alors les $n$ opérations élémentaires $L_1\leftarrow L_1-d_1L_2, \dots, L_1\leftarrow L_1-d_nL_{n+1}$ et vous arrivez à la matrice suivante :
A^{(p+n)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
0 & 0& \cdots & 0 \\
0 &1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
0 &0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.Vous arrivez bien à une matrice possédant une ligne entièrement nulle.
Second cas. La première colonne de la matrice $A_{n+1}$ possède un coefficient non nul noté $u$ situé à la ligne numéro $r.$
Vous effectuez les deux opérations élémentaires suivantes $L_1\leftrightarrow L_r$ puis $L_1 \leftarrow \frac{1}{u} L_1.$ La matrice obtenue est :
A^{(2)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \ast & \cdots & \ast \\
\ast &\ast & \cdots & \ast \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
\ast &\ast & \cdots & \ast
\end{pmatrix}.Vous notez $v_1,\dots,v_n$ les coefficients de la première colonne de cette matrice, en surplus du premier coefficient $1$ de la ligne $1.$
A^{(2)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \ast & \cdots & \ast \\
v_1 &\ast & \cdots & \ast \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
v_n &\ast & \cdots & \ast
\end{pmatrix}.Vous effectuez alors $n$ opérations élémentaires $L_2\leftarrow L_2-v_1L_1, \dots, L_{n+1}\leftarrow L_{n+1}-v_nL_1$ ce qui fournit la matrice suivante :
A^{(2+n)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \ast & \cdots & \ast \\
0 &\ast & \cdots & \ast \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
0 &\ast & \cdots & \ast
\end{pmatrix}.Vous rayez la première ligne et la première colonne de $A^{(2+n)}_{n+1}$ et notez $B^{(2+n)}_n$ la matrice obtenue. En écrivant l’ensemble par blocs, il vient :
A^{(2+n)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} & B^{(2+n)}_n
\end{pmatrix}.Raisonnez par l’absurde. Si la matrice $B^{(2+n)}_n$ est inversible, il est possible de la transformer en la matrice identité $I_n$ par un nombre fini de $m$ opérations élémentaires sur ses lignes. Il en résulte que, par $m$ opérations élémentaires sur les lignes, la matrice $A^{(2+n)}_{n+1}$ peut être transformée en la matrice suivante :
A^{(2+n+m)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} & I_n
\end{pmatrix}.Notez alors $d_1,\dots, d_n$ les coefficients supplémentaires de la première ligne de cette matrice :
A^{(2+n+m)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & d_1& \cdots & d_n \\
0 &1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
0 &0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.Vous effectuez alors les $n$ opérations élémentaires $L_1\leftarrow L_1-d_1L_2, \dots, L_1\leftarrow L_1-d_nL_{n+1}$ et vous arrivez à la matrice identité $I_{n+1}.$
Ainsi, il existe $2+2n+m$ opérations élémentaires qui permettent de transformer la matrice $A_{n+1}$ en la matrice identité. Cela signifie qu’il existe $E_1,\dots,E_{2+2n+m}$ matrices élémentaires de permutation, transvection ou dilatation telles que :
E_{2+2n+m}\cdots E_1 A_{n+1}= I_{n+1}.Or, pour tout $i\in\llbracket 1, 2+2n+m\rrbracket$ les matrices $E_i$ sont toutes inversibles : pour tout $i\in\llbracket 1, 2+2n+m\rrbracket$ il existe une matrice $E_i^{-1}$ telle que $E_i E_i^{-1} = E_i^{-1}E_i = I_{n+1}.$
Par suite, vous déduisez :
A_{n+1} = E_1^{-1}\cdots E_{2+2n+m}^{-1}.En notant $B = E_{2+2n+m}\cdots E_1$ vous avez $AB = BA = I_{n+1}$ donc $A_{n+1}$ est inversible, ce qui contredit l’hypothèse de départ.
Donc la matrice $B^{(2+n)}_n$ n’est pas inversible. Pour rappel :
A^{(2+n)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} & B^{(2+n)}_n
\end{pmatrix}.D’après l’hypothèse de récurrence, il existe $p$ opérations élémentaires sur les lignes de $B^{(2+n)}_n$ qui permettent d’obtenir une matrice $B^{(2+n+p)}_n$ qui possède une ligne entièrement nulle.
Partant de la matrice $A^{(2+n)}_{n+1}$ vous déduisez qu’il existe $p$ opérations élémentaires sur ses lignes qui la transforment en une matrice $A^{(2+n+p)}_{n+1}$ telle que :
A^{(2+n+p)}_{n+1} = \begin{pmatrix}
1 & \boldsymbol{\ast} \\
\mathbf{0} & B^{(2+n+p)}_n
\end{pmatrix}.En notant $s$ le premier numéro de ligne correspondant à une ligne nulle de la matrice $B^{(2+n+p)}_n$ il s’ensuit que la ligne numérotée $s+1$ est entièrement nulle pour la matrice $A^{(2+n+p)}_{n+1}.$
Ainsi, $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
Par récurrence, il a été montré que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\mathscr{P}(n)$ est vraie.
Concluez
Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour toute matrice $A$ carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $\K$ vous avez ce qui suit :
- si la matrice $A$ est inversible, alors il existe un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes de $A$ permettant d’arriver à la matrice identité $I_n;$
- si la matrice $A$ n’est pas inversible, alors il existe un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes de $A$ permettant d’arriver à une matrice possédant au moins une ligne entièrement nulle.
Prolongement
Dans les deux propositions précitées, démontrez que les conditions sont nécessaires et suffisantes, ce qui revient à prouver ce qui suit.
Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour toute matrice $A$ carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $\K$, deux cas exclusifs se présentent :
- la matrice $A$ est inversible, si et seulement si, il existe un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes de $A$ permettant d’arriver à la matrice identité $I_n;$
- la matrice $A$ n’est pas inversible, si et seulement si, il existe un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes de $A$ permettant d’arriver à une matrice possédant au moins une ligne entièrement nulle.
