Vous connaissez généralement bien ceux qui vont de 1 à 10, ceux de 11 ou 12, après, cela se corse.
Pour éviter de les apprendre par coeur, rien de tel que la manipulation par une application mobile ludique, elle permet de s’en souvenir sans s’en rendre compte, les progrès sont rapides et motivants.
Dans de nombreux livres d’enseignement supérieur vous verrez que le calcul mental est essentiel parce que la calculatrice est interdite dans 90 % des concours.
Vous devez pousser vos connaissances jusqu’à être à l’aise jusqu’à 25. Dur dur ? Pas tant que ça.

Les 25 premiers carrés

Les carrés de 1 à 10

\begin{aligned}
1^2 &= 1\\
2^2 &= 4\\
3^2 &= 9\\
4^2 &= 16\\
5^2 &= 25\\
6^2 &= 36\\
7^2 &= 49\\
8^2 &= 64\\
9^2 &= 81\\
10^2 &= 100
\end{aligned}

Les carrés de 11 à 20

\begin{aligned}
11^2 = 121\\
12^2 = 144\\
13^2 = 169\\
14^2 = 196\\
15^2 = 225\\
16^2 = 256\\
17^2 = 289\\
18^2 = 324\\
19^2 = 361\\
20^2 = 400.
\end{aligned}

Les carrés de 21 à 25

$21^2 = 441$
$22^2 = 484$
$23^2 = 529$
$24^2 = 576$
$25^2 = 625.$

Comment retrouver rapidement un carré oublié à partir d’un autre ?

Vous pouvez utiliser l’astuce suivante si vous savez que $15^2 = 225$ et que vous cherchez $17^2.$
Vous prenez la somme $15+17=32$ et vous la multipliez par l’écart entre $17$ et $15$, soit $2.$ Vous avez $32\times 2 =64$.
Vous ajoutez $64$ à $225$ et vous obtenez $17^2 = 289.$

Pourquoi cela fonctionne

Cela est dû à l’identité algébrique remarquable suivante :
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$a^2 = (a-b)(a+b)+b^2$
$17^2 = 2\times (15+17)+15^2$
$23^2 = 25^2 – 2\times (23+25)$
$24^2 = 25^2 – (24+25).$

La réponse est oui.
Prenez un nombre de deux chiffres au hasard, 72.
Multipliez-le par 9 : $72\times 9 = 648.$
Faites la somme des chiffres $6+4+8 = 18$ et $1+8=9.$
Vous tomberez toujours sur 9.
Cela semble incroyable et surprenant.

Explication

Quand vous prenez un nombre à deux chiffres comme 72, il comporte 7 dizaines et 2 unités.
Cela s’écrit ainsi mathématiquement : $72 = 7\times 10 + 2.$
Faites de même pour le résultat, c’est un nombre à 3 chiffres. Notez $c$ le nombre de centaines, $d$ le nombre de dizaines, et $u$ le nombre d’unités.
Vous avez $72\times 9 = 100c+10d+u$.
C’est là que l’algèbre va servir.
Remarquez que :
$100c = 99c+c$
et que :
$10d = 9d+d$
Vous avez :
$72\times 9 = 99c+9d+c+d+u$ puis
$72\times 9 -99c-9d = c+d+u$ puis
$9\times (72-11c-d)= c+d+u$.
Faites abstraction du membre de gauche et observez que la somme des chiffres $c+d+u$ est un multiple de 9.
Or, $c$, $d$ et $u$ sont des chiffres, ils sont tous inférieurs ou égaux à 9. La somme $c+d+u$ est inférieure ou égale à $9+9+9=27.$
Ces remarques limitent grandement le nombre de possibilités. Des nombres inférieurs ou égaux à 27 qui sont dans la table de 9, il n’en reste que trois : 9, 18 et 27.
Si la somme des chiffres vaut 9, c’est fini.
Si la somme des chiffres vaut 18, vous refaites la somme, vous trouvez $1+8=9$.
Si la somme des chiffres vaut 27, vous refaites la somme, vous trouvez $2+7=9$.
On tombe toujours sur 9 comme annoncé.

Le crible algébrique

C’est une méthode utilisée pour casser les codes RSA, quand les nombres premiers sont de tailles à peu près identiques.

Pour les nombres premiers de tailles différentes

On dispose de la méthode de Lenstra, par les courbes elliptiques, celles qui ont permis de démontrer le gros théorème de Fermat.

Efficacité des deux méthodes

Elles sont beaucoup plus rapides que celles consistant à effectuer des divisions successives (crible d’Erathostène…)

li y en a beaucoup. On peut commencer avec des espaces utilisant les fonctions.

Par exemple l’ensemble des polynômes à coefficients réels $\R[X]$, l’ensemble des fonctions réelles continues sur $[0,1]$ et bien d’autres.

Si $1+2+…+n=325$, que vaut $n$ ?

Utilisez le tableur et les éliminations de cas

Pas besoin de faire appel aux formules d’addition pour les suites.

Pas besoin d’utiliser le second degré.

Vous constatez que $325$ est égal à $1+2+3+\cdots+25.$

De même :

$300$ est égal à $1+2+3+\cdots+24,$

$351$ est égal à $1+2+3+\cdots+25+26.$

Et concluez

Supposez $n\leq 24$.

Alors $1+\cdots+n \leq 1+\cdots + 24 \leq 300 < 325.$

Supposez $n\geq 26$.

Alors $1+\cdots+n \leq 1+\cdots + 26 \geq 351 > 325.$

$1+2+\cdots+n = 325$, si et seulement si, $n=25.$

La littérature mathématique française sur ce sujet n’est guère abondante.

Ce sujet semble délaissé et pourtant, le calcul mental constitue la base propre à tout apprentissage mathématique. Savoir compter en comprenant ce que l’on fait, et pourquoi on le fait, vous le trouverez ici.

Quel livre utiliser ?

Allez lire Les secrets du calcul mental  : tout le monde est capable de calculer en un clin d’oeil par Pascal Imbert.
Y sont présentées les techniques permettant de vous entraîner sur l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Qu’y trouve-t-on ?

Pour l’addition et la soustraction

• La méthode des regroupements
• Calculer de gauche à droite
• Découpage d’un nombre
• Calculer une racine numérique
• Vérifier ses résultats

Pour la multiplication

• Les tables de multiplication
• Multiplications par 2, 4 et 8
• Multiplications par 5, 25 et 50
• Multiplication par 11
• Multiplier de gauche à droite
• Multiplication à 3 chiffres par nombres proches
• Multiplication par décomposition
• Multiplication par réduction
• Découper pour multiplier
• Multiplication de grands nombres
• Estimation du résultat d’une multiplication

Quels autres ouvrages pouvez-vous vous procurer ?

Deux références écrites en anglais sont indispensables et constituent une véritable bible, avec des compléments pour les plus experts.

Procurez-vous Secrets of Mental Math d’Arthur Benjamin | Michael Shermer ainsi que Math Magic de Scott Flansburg.

Combien de temps pour obtenir des résultats ?

Vous entraîner régulièrement est une des clés permettant de progresser.

Les résultats sont très variables d'une personne à une autre.

Effectuez les opérations pendant deux minutes pendant un mois. Vous cumulez et augmentez votre capacité de mémoire.

Fixez-vous des objectifs à atteindre

Commencez par obtenir un score de 20. Ensuite, vous pourrez tenir cet objectif en rajoutant comme difficulté supplémentaire le fait de ne commettre aucune tentative superflue.

Cela vous fait 6 secondes de réflexion par opération demandée.

N'oubliez pas que le plus important n'est pas de produire coûte que coûte un résultat, mais plutôt de produire un élément qui ne comporte aucune erreur de calcul.

Et maintenant, passez à l'action