Si $x+y=2$ et si $x^2+y^2=2$, quelle est la valeur de $xy$ ?
Trouvez une proposition de réponse qui commence naturellement, sans chercher une astuce de calcul.
012. Résolvez un système
Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES
011. Distinguez un chiffre d’un nombre
Vous pensez que « chiffre » et « nombre » sont synonymes. Pourtant, il n’en est rien. Explications.
Dans 99 % des cas
Vous connaissez les 10 chiffres usuels : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Un nombre désigne un ensemble de chiffres écrits bout à bout.
356 est un nombre à 3 chiffres, comportant 3 centaines, 5 dizaines et 6 unités.
1540 est un nombre à 4 chiffres, comportant 1 millier, 5 centaines, 4 dizaines et 0 unité.
Un nombre peut aussi ne comporter qu’un seul chiffre.
Vous souhaitez aller plus loin
Dans 1 % des cas
Le système précédent où il y a 10 chiffres s’appelle le système des nombres écrits en base 10. Dans cette base, il y a 10 chiffres. Rien n’interdit de travailler dans une autre base. Je vais citer les plus courantes, dont les applications se trouvent en informatique.
La base 2 dit « binaire »
C’est un système dans lequel il n’y a que deux chiffres, 0 et 1.
En écrivant les nombres en commençant par 0, on obtient 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 et ainsi de suite.
Ce système est dit binaire parce qu’il n’existe que deux chiffres. L’avantage de ce système c’est que la table d’addition et de multiplication sont très simples. L’inconvénient c’est qu’un nombre en base 2 s’écrit avec beaucoup trop de chiffres en général.
La base 16 dite « hexadécimale »
Dans ce système, il y a 16 chiffres. Ne disposant pas d’assez de symboles, on utilise les lettres A, B, C, D, E et F, que l’on considère comme des « chiffres » supplémentaires. En base 16, les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
L’avantage de ce système c’est qu’il permet d’écrire la base 2 de façon plus condensée et plus lisible. L’adresse d’une carte réseau avec la nouvelle norme IPV6 ressemble à ceci.
Elle est écrite dans le système en base 16.
Les professionnels du réseau maîtrisent parfaitement ce système.
010. Pourquoi est-il important d’apprendre vos tables de multiplication ?
Vous buttez à faire apprendre à vos enfants âgés autour de 7 ans les tables de multiplication ? Comment les aider sans vous prendre la tête ?
Que sont ces tables ?
Le programme prévoit d’apprendre par coeur et sur le bout des doigts le tableau ci-dessous :
Les multiplications qui vont poser problème le plus souvent, ce sont les tables de 3, de 7 et de 9. Combien de fois ai-je rencontré le même élève de 13 ans qui prenait une mine dépitée à chaque fois qu’il avait affaire à 3 fois 6 ?
Des solutions d’apprentissage
Applications mobiles
Je vous recommande d’utiliser une application mobile qui permet de pratiquer les tables, encore et encore, avec un système de récompenses et de scores. Tout y est : vous pouvez choisir vos tables, le temps mis allant de 45 secondes à 2 minutes environ.
L’enfant joue en toute autonomie avec son application. Elle mémorise les erreurs et permet de retravailler dessus ultérieurement.
Evitez de vous offusquer quand le résultat d’une multiplication est évident pour vous mais pas pour votre enfant. C’est un apprentissage qui prend du temps sur plusieurs mois.
Quelques trucs
- table de 10 : on ajoute un zero.
- table de 2 : on ajoute le nombre avec lui même, 4 on recommence, 8 on recommence (long).
- 7 c’est pareil que 8 fois le nombre moins lui même : c’est long. On alors 5 plus 2 fois le nombre lui-même.
- 9 c’est fois 10 moins lui-même, on alors, plus efficace, le chiffre des dizaines vaut le nombre -1 et le chiffre des unités est le complément à 9 (avez-vous remarqué que la somme des chiffres vaut toujours 9 ?)
- 5 c’est la moitié de 10 fois le nombre, c’est efficace et très rapide.
Est-ce uniquement des capacités de mémorisation ?
Le travail de mémorisation devient rapidement fastidieux et inefficace, il est perçu comme rebutant et vous aurez toujours affaire à la question « mais à quoi ça sert puisque mon téléphone le fait ? »
Les tables de multiplication ne sont pas une affaire de mémorisation, mais une question de technique et de capacité de calcul.
Quand une personne cherche le résultat de 3 fois 7, il s’agit de l’encourager à trouver toutes les techniques permettant :
- de proposer un résultat (exemple avec la table de 7),
- de s’y prendre autrement pour proposer un autre résultat,
- discuter, comparer les résultats, justifier lequel est le bon.
Bien connaître les tables de multiplication, c’est montrer sa capacité à résoudre des problèmes, ce qui constitue une grande partie de la démarche mathématique.
009. Jusqu’où connaissez-vous vos carrés pour être efficace ?
Vous connaissez généralement bien ceux qui vont de 1 à 10, ceux de 11 ou 12, après, cela se corse.
Pour éviter de les apprendre par coeur, rien de tel que la manipulation par une application mobile ludique, elle permet de s’en souvenir sans s’en rendre compte, les progrès sont rapides et motivants.
Dans de nombreux livres d’enseignement supérieur vous verrez que le calcul mental est essentiel parce que la calculatrice est interdite dans 90 % des concours.
Vous devez pousser vos connaissances jusqu’à être à l’aise jusqu’à 25. Dur dur ? Pas tant que ça.
Les 25 premiers carrés
Les carrés de 1 à 10
\begin{aligned}
1^2 &= 1\\
2^2 &= 4\\
3^2 &= 9\\
4^2 &= 16\\
5^2 &= 25\\
6^2 &= 36\\
7^2 &= 49\\
8^2 &= 64\\
9^2 &= 81\\
10^2 &= 100
\end{aligned}
Les carrés de 11 à 20
\begin{aligned}
11^2 = 121\\
12^2 = 144\\
13^2 = 169\\
14^2 = 196\\
15^2 = 225\\
16^2 = 256\\
17^2 = 289\\
18^2 = 324\\
19^2 = 361\\
20^2 = 400.
\end{aligned}
Les carrés de 21 à 25
$21^2 = 441$
$22^2 = 484$
$23^2 = 529$
$24^2 = 576$
$25^2 = 625.$
Comment retrouver rapidement un carré oublié à partir d’un autre ?
Vous pouvez utiliser l’astuce suivante si vous savez que $15^2 = 225$ et que vous cherchez $17^2.$
Vous prenez la somme $15+17=32$ et vous la multipliez par l’écart entre $17$ et $15$, soit $2.$ Vous avez $32\times 2 =64$.
Vous ajoutez $64$ à $225$ et vous obtenez $17^2 = 289.$
Pourquoi cela fonctionne
Cela est dû à l’identité algébrique remarquable suivante :
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$a^2 = (a-b)(a+b)+b^2$
$17^2 = 2\times (15+17)+15^2$
$23^2 = 25^2 – 2\times (23+25)$
$24^2 = 25^2 – (24+25).$
008. On tombe toujours sur 9 ? 12 fois 9 = 108, 1+0+8=9. 52 fois 9 = 468, 4+6+8=18 et 1+8=9.
La réponse est oui.
Prenez un nombre de deux chiffres au hasard, 72.
Multipliez-le par 9 : $72\times 9 = 648.$
Faites la somme des chiffres $6+4+8 = 18$ et $1+8=9.$
Vous tomberez toujours sur 9.
Cela semble incroyable et surprenant.
Explication
Quand vous prenez un nombre à deux chiffres comme 72, il comporte 7 dizaines et 2 unités.
Cela s’écrit ainsi mathématiquement : $72 = 7\times 10 + 2.$
Faites de même pour le résultat, c’est un nombre à 3 chiffres. Notez $c$ le nombre de centaines, $d$ le nombre de dizaines, et $u$ le nombre d’unités.
Vous avez $72\times 9 = 100c+10d+u$.
C’est là que l’algèbre va servir.
Remarquez que :
$100c = 99c+c$
et que :
$10d = 9d+d$
Vous avez :
$72\times 9 = 99c+9d+c+d+u$ puis
$72\times 9 -99c-9d = c+d+u$ puis
$9\times (72-11c-d)= c+d+u$.
Faites abstraction du membre de gauche et observez que la somme des chiffres $c+d+u$ est un multiple de 9.
Or, $c$, $d$ et $u$ sont des chiffres, ils sont tous inférieurs ou égaux à 9. La somme $c+d+u$ est inférieure ou égale à $9+9+9=27.$
Ces remarques limitent grandement le nombre de possibilités. Des nombres inférieurs ou égaux à 27 qui sont dans la table de 9, il n’en reste que trois : 9, 18 et 27.
Si la somme des chiffres vaut 9, c’est fini.
Si la somme des chiffres vaut 18, vous refaites la somme, vous trouvez $1+8=9$.
Si la somme des chiffres vaut 27, vous refaites la somme, vous trouvez $2+7=9$.
On tombe toujours sur 9 comme annoncé.
007. Quels moyens disposons-nous aujourd’hui pour décomposer un nombre en produit de nombres premiers ?
Le crible algébrique
C’est une méthode utilisée pour casser les codes RSA, quand les nombres premiers sont de tailles à peu près identiques.
Pour les nombres premiers de tailles différentes
On dispose de la méthode de Lenstra, par les courbes elliptiques, celles qui ont permis de démontrer le gros théorème de Fermat.
Efficacité des deux méthodes
Elles sont beaucoup plus rapides que celles consistant à effectuer des divisions successives (crible d’Erathostène…)
006. Quels sont les exemples d’espaces vectoriels de dimension infinie ?
li y en a beaucoup. On peut commencer avec des espaces utilisant les fonctions.
Par exemple l’ensemble des polynômes à coefficients réels $\R[X]$, l’ensemble des fonctions réelles continues sur $[0,1]$ et bien d’autres.
005. Résolvez une équation avec des entiers consécutifs
Si $1+2+…+n=325$, que vaut $n$ ?
Utilisez le tableur et les éliminations de cas
Pas besoin de faire appel aux formules d’addition pour les suites.
Pas besoin d’utiliser le second degré.
Vous constatez que $325$ est égal à $1+2+3+\cdots+25.$
De même :
$300$ est égal à $1+2+3+\cdots+24,$
$351$ est égal à $1+2+3+\cdots+25+26.$
Et concluez
Supposez $n\leq 24$.
Alors $1+\cdots+n \leq 1+\cdots + 24 \leq 300 < 325.$
Supposez $n\geq 26$.
Alors $1+\cdots+n \leq 1+\cdots + 26 \geq 351 > 325.$
$1+2+\cdots+n = 325$, si et seulement si, $n=25.$
004. Une fraction qui doit être entière
Comment trouver $n\in\mathbb{Z}$ pour que $\dfrac{n-9}{n-6}$ soit entier ?
Pour trouver une réponse à ce problème d’arithmétique, une excellente idée consiste à effectuer un changement de variable.
Analysez la situation
Soit $n\in\mathbb{Z}$ différent de $6$ tel que $\dfrac{n-9}{n-6} \in\mathbb{Z}$.
Quel changement de variable effectuer ? Celui qui va simplifier la fraction.
Posez $m=n-6$, alors $m-3=n-9$.
$\dfrac{n-9}{n-6} \in\mathbb{Z}$ donc $\dfrac{m-3}{m} \in\mathbb{Z}$ donc $1-\dfrac{3}{m} \in\mathbb{Z}$ et par suite $m$ divise $3$, ce qui s’écrit $m \mid 3$.
Vous en déduisez que $m\in\{3,1,-1,-3\}$, puis que $n\in\{9,7,5,3\}.$
Vérifiez vos candidats potentiels
Si $n=9$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{0}{3} = 0$ qui est entier.
Si $n=7$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-2}{1} = -2$ qui est entier.
Si $n=5$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-4}{-1} = 4$ qui est entier.
Si $n=3$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-6}{-3} = 2$ qui est entier.
Concluez
Il y a quatre valeurs de $n$ qui conviennent : $9$, $7$, $5$ et $3.$
003. Trouvez algébriquement toutes les racines cubiques de i
Résolvez algébriquement l’équation $z^3=i$, $z\in\mathbb{C}.$
Vous pouvez utiliser du calcul brut sans passer par l’exponentielle complexe pour répondre.
Soit $P$ le polynôme de $\mathbb{C}[X]$ défini par $P(X)=X^3-i$.
Remarquez déjà que $i$ est un cube.
$i^2 = -1$, c’est la base. Multipliez par $i$, $i^3 = -i$. Vous en déduisez $(-i)^3 = i$, soit $P(-i)=0$.
Le polynôme $P$ est donc factorisable par $X+i.$
Effectuez la division euclidienne de $X^3-i$ par $X+i$
Vous trouvez $X^3+i = (X+i)(X^2-iX-1)$.
Factorisez le polynôme $X^2-iX-1$
L’identité babylonienne $ab = \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2 $ permet d’écrire successivement :
\begin{aligned}
X^2-iX &= X(X-i) \\
&= \left(X-\dfrac{i}{2} \right)^2 – \left(\dfrac{i}{2}\right)^2 \\
&= \left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 +\dfrac{1}{4}.
\end{aligned}
Vous en déduisez :
\begin{aligned}
X^2-iX-1 &=\left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 -\dfrac{3}{4} \\
&= \left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 – \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\
&= \left(X-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \right)\left( X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \right).
\end{aligned}
Concluez
L’équation $z^3 = i$ admet trois solutions complexes :
$\boxed{z_1 = -i}$, $\boxed{z_2 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i} $ et $\boxed{z_3=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}$.