Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES
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143. Expliquez pourquoi l’équation de degré 3 se ramène à une équation de degré 2
Découvrez pourquoi une équation du troisième degré se ramène à une équation du second degré.
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142. Inversez une matrice en utilisant un endomorphisme associé
Utilisez une stratégie de calcul adaptée pour prouver la surjectivité d’un endomorphisme.
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141. Découvrez la théorie de résolution complète de l’équation du troisième degré par permutations des racines
Soit $(a,b,c,d)\in\C^4$ un quadruplet de nombres complexes tel que $a$ soit non nul.Considérez alors l’équation $(E) : ax^3+bx^2+cx+d = 0$ du troisième degré d’inconnue $x\in\C.$ Il existe trois nombres complexes, notés $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ tels que $aX^3+bX^2+cX+d$ est égal à $a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3).$ En développant le membre de droite : Par identification des coefficients du polynôme formel…
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140. Utilisez les nombres complexes pour trouver une décomposition en éléments simples dans les réels
Considérez la fraction rationnelle $F(X)=\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Pour trouver sa décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ vous pouvez d’abord trouver celle qu’elle possède dans $\C(X).$ Les parties polaires Le polynôme $X^4-1$ se factorise dans $\C(X)$ en utilisant plusieurs fois l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$ $\begin{align*}X^4-1 &= (X^2)^2-1^2\\&=(X^2-1)(X^2+1)\\&=(X^2-1^2)(X^2-i^2)\\&=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i).\end{align*}$ Vous déduisez que $(X^4-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2(X-i)^2(X+i)^2.$ Le degré du numérateur de la fraction $F(X)$…
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139. Une équation du troisième degré
Soit à résoudre dans les nombres réels l’équation $(E) : x^3-15x-4=0.$ Etudiez les variations de la fonction $x\mapsto x^3-15x-4$ Pour tout réel $x$, posez $f(x)=x^3-15x-4.$ La fonction $f$ étant polynomiale, elle est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2-15 = 3(x^2-5) = 3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).$ De cette factorisation, vous déduisez que la fonction $f$ est…
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138. Des décompositions en éléments simples de fractions rationnelles en restant dans les réels
La démarche proposée ici consiste à montrer pourquoi l’existence de la décomposition est possible. On se base sur l’algorithme d’Euclide étendu et sur les divisions euclidiennes. Le but sera de trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de la fraction rationnelle $\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Décomposez en éléments simples la fraction $F(X)=\frac{2X}{X^2-1}$ dans $\R(X)$ Le dénominateur de…
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137. Calculez la somme des k fois 2 puissance k
Soit $n$ un entier naturel. Vous allez calculer successivement les sommes $A_n = \sum_{k=1}^n 2^k$ et $B_n = \sum_{k=1}^n k2^k.$ Multipliez par $2$ et effectuez un changement de variable Cette idée va vous donner la réponse pour $A_n.$ $\begin{align*}2A_n &= \sum_{k=1}^n 2^{k+1}\\&=\sum_{k=2}^{n+1} 2^k \\&= 2^{n+1} + \sum_{k=2}^{n} 2^k \\&= 2^{n+1}+ \sum_{k=1}^{n} 2^k – 2\\&=2\times 2^n…
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136. Unicité de la décomposition d’un nombre entier supérieur ou égal à 2 en produit de nombres premiers
Pouvez-vous justifier l’unicité sans utiliser les gros théorèmes de Gauss, Bezout, le lemme d’Euclide ? La réponse est oui et sera la conséquence de l’argument de minimalité que l’on trouve dans l’ensemble $\N$ : toute partie de $\N$, non vide, admet un plus petit élément. Passez aux définitions précises. Comme la multiplication est commutative sur les…
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135. Une égalité comportant un produit
Dans le cadre de la préparation à l’agrégation de mathématiques, il peut être utile de savoir démontrer que $\forall n\geq 3, 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1.$ Définissez la propriété Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, notez $P(n)$ la propriété « $4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1$. » Initialisez Supposez que $n=3.$ $\begin{align*}4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) &= 4 (5^{2^0}+1)…
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134. Résolution d’un système non linéaire
Soit à résoudre le système suivant dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels. Effectuez une division euclidienne pour l’analyse Soit $(x,y)$ une solution du système proposé. Alors $x^2+xy-28=0$ et $xy+y^2-21=0.$ Travaillez avec $X$ comme indéterminée. Lorsque vous effectuez la division euclidienne du polynôme formel $X^2+XY-28$ de degré $2$ par le polynôme formel…