Soit $f$ une fonction trois fois dérivable sur un intervalle $[a,b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b.$
Notez $M_3 = \mathrm{Sup}\{\vert f »'(x) \vert, x\in[a,b]\}\in\R_{+}\cup \{+\infty\}.$
Dans cet article vous allez déterminer une majoration de l’erreur commise par la méthode de Simpson, d’abord avec l’intervalle $[a,b]$ en entier, puis lorsque celui-ci est subdivisé en $n$ parties de même amplitude.
Pour plus de commodité, notez $m = \frac{a+b}{2}.$
Il a vu, au sein du contenu écrit dans l'article 224 que l’on peut considérer que :
\begin{align*}
\int_a^bf(t)\dt\approx(b-a)\left(\frac{1}{6}f(a)+\frac{2}{3}f\left(m\right)+\frac{1}{6}f(b)\right).
\end{align*}Les calculs faits dans l’article précité ont montré qu’il existe un polynôme $P\in\R_2[X]$ tel que :
\left\{\begin{align*}
\int_a^b P(t)\dt&=(b-a)\left(\frac{1}{6}f(a)+\frac{2}{3}f\left(m\right)+\frac{1}{6}f(b)\right)\\
P(a)&=f(a)\\
P(b)&=f(b)\\
P\left(m\right)&=f\left(m\right).
\end{align*}\right.Utilisez le théorème de Rolle
Soit $t$ un réel fixé de l’intervalle $[a,b]$ tel que $t\notin\left\{a,b,m\right\}.$
Soit $A$ le réel défini par :
A=\frac{f(t)-P(t)}{(t-a)(t-m)(t-b)}.Vous allez considérer la fonction $g$, définie l’intervalle $[a,b]$ par :
g(x) = f(x)-P(x)-A(x-a)(x-m)(x-b).
La définition de $A$ et les propriétés de $f$ et de $P$ fournissent $g(a) = g(m) = g(b) = g(t) = 0.$
La fonction $g$ s’annule en quatre points deux à deux distincts de l’intervalle $[a,b].$
En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g$, vous déduisez l’existence de trois zéros appartenant à l’intervalle ouvert $]a,b[$ deux à deux distincts pour la fonction $g’.$
En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g’$, vous déduisez l’existence de deux zéros distincts appartenant à l’intervalle ouvert $]a,b[$ pour la fonction $g ».$
En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g »$, vous déduisez l’existence d’un zéro pour la fonction $g »’.$
Or, $\forall x\in[a,b], g »'(x) = f »'(x)-P »'(x)-6A.$
Comme $P\in\R_2[X]$ vous déduisez $P »’=0.$
De ce qui précède, il existe $c\in]a,b[$ tel que $g »'(c)=0$ ce qui fournit $f »'(c) = 6A.$
Vous avez donc démontré que:
\forall t\in[a,b], t\notin\{a,b,m\}\implies\exists c\in]a,b[, f(t)-P(t) = \frac{f'''(c)}{6}(t-a)(t-m)(t-b).Lorsque $t\in\{a,b,m\}$ vous avez $f(t)-P(t)=0$ il suffit donc de poser $c=m$ pour avoir encore $f(t)-P(t) = \frac{f »'(c)}{6}(t-a)(t-m)(t-b).$
En définitive:
\forall t\in[a,b], \exists c\in]a,b[, f(t)-P(t) = \frac{f'''(c)}{6}(t-a)(t-m)(t-b).Obtenez une majoration de l’erreur
Effectuez le changement de variable $u=t-m$, ce qui fournit:
\begin{align*}
t-a &= u+m-a = u+\frac{b-a}{2} \\
t-b &= u+m-b = u-\frac{b-a}{2}.
\end{align*}\begin{align*}
\left\vert\int_a^bf(t)\dt-(b-a)\left(\frac{1}{6}f(a)+\frac{2}{3}f\left(m\right)+\frac{1}{6}f(b)\right)\right\vert &\leq\left\vert\int_a^bf(t)\dt - \int_a^b P(t)\dt\right\vert \\
&\leq \left\vert\int_a^b (f(t)-P(t))\dt \right\vert \\
&\leq \int_a^b \left\vert f(t)-P(t) \right\vert\dt \\
&\leq \frac{M_3}{6}\int_a^b \left\vert (t-a)(t-m)(t-b) \right\vert\dt \\
&\leq \frac{M_3}{6}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} \left\vert \left(u+\frac{b-a}{2}\right)u\left(u-\frac{b-a}{2}\right) \right\vert\du \\
&\leq \frac{M_3}{6}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} \vert u \vert \left\vert u^2-\frac{(b-a)^2}{4}\right\vert \du \\
&\leq \frac{M_3}{3}\int_{0}^{(b-a)/2} \vert u \vert \left\vert u^2-\frac{(b-a)^2}{4}\right\vert \du \\
&\leq \frac{M_3}{3}\int_{0}^{(b-a)/2} u \left(\frac{(b-a)^2}{4}-u^2\right)\du \\
&\leq \frac{M_3(b-a)^2}{12} \int_{0}^{(b-a)/2} u\du-\frac{M_3}{3}\int_{0}^{(b-a)/2} u^3\du \\
&\leq \frac{M_3(b-a)^2}{12} \frac{((b-a)/2)^2}{2}-\frac{M_3}{3}\frac{((b-a)/2)^4}{4} \\
&\leq \frac{M_3(b-a)^4}{96}-\frac{M_3(b-a)^4}{192}\\
&\leq \frac{2M_3(b-a)^4}{192}-\frac{M_3(b-a)^4}{192}\\
&\leq \frac{M_3(b-a)^4}{192}.
\end{align*}Subdivisez l’intervalle $[a,b]$ et concluez
Soit $n\in\NN.$ Une subdivision uniforme de l’intervalle $[a,b]$ conduit à poser $\forall k\in\llbracket 0,n\rrbracket, a_k = a+k\frac{b-a}{n}$ et $\forall k\in\llbracket 0, n-1\rrbracket, t_k=a+\left(k+\frac{1}{2}\right) \frac{b-a}{n}.$
Autrement dit, $\forall k\in\llbracket 0, n-1\rrbracket, t_k = \frac{a_k+a_{k+1}}{2}.$
\begin{align*}
\left\vert\int_a^b f(t)\dt-\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{6}f(a_k)+\frac{2}{3}f(t_k)+\frac{1}{6}f(a_{k+1})\right)\right\vert &\leq \left\vert \sum_{k=0}^{n-1}\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(t)\dt-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b-a}{n} \left(\frac{1}{6}f(a_k)+\frac{2}{3}f(t_k)+\frac{1}{6}f(a_{k+1})\right)\right\vert \\
&\leq \left\vert \sum_{k=0}^{n-1}\left[\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(t)\dt-\frac{b-a}{n} \left(\frac{1}{6}f(a_k)+\frac{2}{3}f(t_k)+\frac{1}{6}f(a_{k+1}) \right) \right]\right\vert \\
&\leq \sum_{k=0}^{n-1}\left\vert\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(t)\dt-\frac{b-a}{n} \left(\frac{1}{6}f(a_k)+\frac{2}{3}f(t_k)+\frac{1}{6}f(a_{k+1}) \right) \right\vert \\
&\leq \sum_{k=0}^{n-1}\frac{M_3((b-a)/n)^4}{192}\\
&\leq \sum_{k=0}^{n-1}\frac{M_3(b-a)^4}{192n^4}\\
&\leq \frac{M_3(b-a)^4}{192n^3}.
\end{align*}La méthode de Simpson conduit à une méthode d’approximation en $O\left(\frac{1}{n^3}\right):$
\boxed{\left\vert\int_a^b f(t)\dt-\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{6}f(a_k)+\frac{2}{3}f(t_k)+\frac{1}{6}f(a_{k+1})\right)\right\vert \leq \frac{M_3(b-a)^4}{192n^3}.}Cette méthode du troisième degré converge rapidement.
Prolongement
Malgré cette approximation déjà satisfaisante, vous allez voir qu’en fait, la méthode de Simpson conduit à une majoration de l’erreur en $O\left(\frac{1}{n^4}\right)$ ce qui est tout à fait remarquable. Pour ce faire allez jeter un oeil dans l'article 226.
