Catégorie : Niveau Prépa
-
132. Diagonalisabilité d’une matrice
Cet article va étudier une matrice tirée du concours de l’agrégation externe de mathématiques session 2020.
-
130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes
L’objectif de ce contenu est de démontrer que $\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’)=\mathrm{exp}(z+z’).$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite complexe qui converge vers un nombre $z\in\C\comma$ alors vous avez encore $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n =…
-
129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus
D’après un autre article, pour tout réel $x\comma$ vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L’exponentielle d’un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module $1$ Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN\comma$ le conjugué de $1+\frac{ix}{n}$ est $1-\frac{ix}{n}.$ Comme $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix)\comma$ en prenant le…
-
128. Une définition de l’exponentielle
La fonction exponentielle peut être définie à partir de suites convergentes.
-
127. Longueur d’une bissectrice
Comment calculer la longueur d’une bissectrice dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés de ce triangle ? Le calcul vectoriel, auquel vous allez ajouter le produit scalaire, permet de répondre. Il existe bien d’autres constructions, très astucieuses, permettant d’obtenir le même résultat, mais elles ne seront pas abordées dans ce contenu. Placez-vous dans le…
-
126. Le lemme d’Euclide
Démonstration directe du lemme d’Euclide en arithmétique, sans utiliser d’autres théorèmes.
-
125. Dérivées croisées
Les fonctions de deux variables suffisamment régulières vérifient l’égalité des dérivées croisées. C’est le théorème de Schwarz qui l’affirme : sous certaines hypothèses de régularité, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.$ Ce contenu présente l’exemple d’une fonction qui ne vérifie pas ces hypothèses et pour laquelle l’égalité est en défaut. Pour…
-
124. Equations de degré 4, des palindromes au cas général
Dans ce contenu, vous recherchez un moyen de trouver tous les candidats potentiels d’une équation réelle de degré 4. Les exemples sont choisis pour que les calculs restent compréhensibles bien que longs en fin de contenu. Vous allez constater que, si vous savez résoudre les équations réelles de degré 2 et de degré 3, vous…
-
122. Racine de 2 est irrationnel
Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l’équation $x^2=2.$ Vous allez démontrer qu’il n’existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN\comma$ tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$ Un tel résultat constitue l’irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{u}{v}, u\in\Z, v\in\NN\right\}.$ Raisonnez par l’absurde Supposez qu’il existe $a\in\Z$…
-
121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées
Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$ Quels outils seront utilisés ? Vous allez utiliser le développement d’une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$ Vous allez utiliser des propriétés de la racine cubique. C’est une fonction définie sur $\R\comma$ multiplicative et impaire : $\forall (x,y)\in\R^2, \sqrt[3]{xy} =…