Utilisez une stratégie de calcul adaptée pour prouver la surjectivité d’un endomorphisme.

Considérez la fraction rationnelle $F(X)=\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Pour trouver sa décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ vous pouvez d’abord trouver celle qu’elle possède dans $\C(X).$ Les parties polaires Le polynôme $X^4-1$ se factorise dans $\C(X)$ en utilisant plusieurs fois l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$ Vous déduisez que $(X^4-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2(X-i)^2(X+i)^2.$ Le degré du numérateur de la fraction $F(X)$ étant strictement inférieur…

Pouvez-vous justifier l’unicité sans utiliser les grands théorèmes de Gauss et de Bézout, ni le lemme d’Euclide ? La réponse est oui : elle découle de l’argument de minimalité propre à l’ensemble $\N\comma$ selon lequel toute partie de $\N\comma$ non vide, admet un plus petit élément. Passez aux définitions précises. Comme la multiplication est commutative sur les…

Dans le cadre de la préparation à l’agrégation de mathématiques, il peut être utile de savoir démontrer que $\forall n\geq 3, 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1.$ Définissez la propriété Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3\comma$ notez $P(n)$ la propriété « $4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1$ ». Initialisez Supposez que $n=3.$ D’autre part : Il s’ensuit que…

Soit à résoudre le système suivant : dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels. Effectuez une division euclidienne pour l’analyse Soit $(x,y)$ une solution du système proposé. Alors $x^2+xy-28=0$ et $xy+y^2-21=0.$ Travaillez avec $X$ comme indéterminée. Lorsque vous effectuez la division euclidienne du polynôme formel $X^2+XY-28$ de degré $2$ par le polynôme formel…