Utilisez une stratégie de calcul adaptée pour prouver la surjectivité d’un endomorphisme.

Considérez la fraction rationnelle $F(X)=\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Pour trouver sa décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ vous pouvez d’abord trouver celle qu’elle possède dans $\C(X).$ Les parties polaires Le polynôme $X^4-1$ se factorise dans $\C(X)$ en utilisant plusieurs fois l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$ $\begin{align*}X^4-1 &= (X^2)^2-1^2\\&=(X^2-1)(X^2+1)\\&=(X^2-1^2)(X^2-i^2)\\&=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i).\end{align*}$ Vous déduisez que $(X^4-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2(X-i)^2(X+i)^2.$ Le degré du numérateur de la fraction $F(X)$…

Pouvez-vous justifier l’unicité sans utiliser les gros théorèmes de Gauss, Bezout, le lemme d’Euclide ? La réponse est oui et sera la conséquence de l’argument de minimalité que l’on trouve dans l’ensemble $\N$ : toute partie de $\N$, non vide, admet un plus petit élément. Passez aux définitions précises. Comme la multiplication est commutative sur les entiers…

Dans le cadre de la préparation à l’agrégation de mathématiques, il peut être utile de savoir démontrer que $\forall n\geq 3, 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1.$ Définissez la propriété Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, notez $P(n)$ la propriété « $4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1$. » Initialisez Supposez que $n=3.$ $\begin{align*}4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) &= 4 (5^{2^0}+1)…

Soit à résoudre le système suivant dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels. Effectuez une division euclidienne pour l’analyse Soit $(x,y)$ une solution du système proposé. Alors $x^2+xy-28=0$ et $xy+y^2-21=0.$ Travaillez avec $X$ comme indéterminée. Lorsque vous effectuez la division euclidienne du polynôme formel $X^2+XY-28$ de degré $2$ par le polynôme formel…