Considérez $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=4.$

Cette équation, bien que d’apparence simple, où on cherche $a$, $b$ et $c$ comme étant des entiers positifs n’admet pas de solution simple.

On peut vérifier que :
$a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999$
$b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579$
$c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036$

constitue une solution et qu’il n’en a pas d’autre plus petite. Presque 80 chiffres à la clé pour chacun des nombres $a$, $b$ et$ c.$ C’est énorme.

L’intérêt de ce problème c’est qu’il met en échec les techniques de résolution par force brute… avis aux amateurs.

Le but de ce contenu est de calculer la valeur de $\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right) = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right) +\arctan \left(\frac{1}{7}\right).$

Posez $a=\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right)$ et $b=\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right).$ $a$ et $b$ désignent deux réels – correspondant à des angles aigus – tels que $\sin a = \frac{3}{5}$ et $\tan b = \frac{1}{7}.$

Comment attraper la valeur de $a+b$ ?

Il serait bon dans un premier temps de savoir si $a+b$ désigne un angle aigu, pour cela, en coupant en deux, voyez si $a$ est inférieur à $\frac{\pi}{4}.$
Comparez $\frac{3}{5}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Cela revient à comparer leurs carrés car ce sont deux nombres positifs.
$\frac{9}{25} < \frac{9}{18}  \leq \frac{1}{2}$ donc $\sin a \leq \sin \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction sinus sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ vous obtenez $a\in \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right[.$ Plus rapidement, pour $b$, vous obtenez $\tan b \leq  \frac{1}{7} < 1 \leq \tan \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction tangente sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ vous obtenez $b < \frac{\pi}{4}.$ Ainsi $0 < a+b < \frac{\pi}{2}.$ $a+b$ désigne un angle aigu.

Un calcul de tangente

Vous connaîtrez la valeur de $a+b$ quand la valeur de sa tangente sera connue.
La formule d’addition de la tangente fournit :
$\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b}$
Partant de :
\begin{aligned} \tan a &= \frac{\sin a}{\cos a}\\ &= \frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}} \\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{25-9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\\    &=\frac{3}{4}\end{aligned}
On en déduit :
\begin{aligned} \tan (a+b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b} \\ &=\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1- \frac{3}{4}\times \frac{1}{7}}\\ &= \frac{\frac{25}{28}}{1- \frac{3}{28}} \\&=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} \\ &=1.  \end{aligned}
Comme $\tan(a+b) =\tan \frac{\pi}{4}$
on en déduit $a+b =\frac{\pi}{4}.$

Prolongement

Vous souhaitez découvrir une autre formule attribuée à Machin et qui fait apparaître la fraction $1/239$? Rendez-vous dans le contenu rédigé dans l'article 381.

Vous voulez savoir pourquoi $\log 1002 = 3,00086772\dots$ ? Comment trouvez-vous le $3$, puis le $0$, puis le $0$, puis le $0$, puis le $8$, et comment vous pouvez continuer ?

Historiquement

Au XIXème siècle, des tables de logarithmes ont été créées avec une précision redoutable. Aujourd’hui, vous allez avoir une idée pour savoir comment ces tables ont été créées, chiffre après chiffre après la virgule.

Comment trouver le chiffre 3

Partez du fait que les logarithmes décimaux sont faciles à calculer avec les puissances de 10. Vous avez $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$, $\log 10\ 000= 4.$
Puisque $1000 < 1002 < 10000$ vous avez $3 < \log 1002 < 4$ et en déduisez que $\log 1002 = 3,\dots$

Comment trouver les autres chiffres après la virgule

Notez $a$, $b$, $c$ et $d$ les quatre chiffres après la virgule. Vous avez  $\log 1002 = 3,abcd\dots$ les points de suspension représentent les autres chiffres après le $d.$

Trouvez le chiffre $a$

Vous souhaitez faire apparaître le chiffre $a$ à gauche de la virgule, mais tout seul. Vous retranchez 3 d’abord.  $\log 1002-3 = 0,a\dots$
Vous utilisez le fait que $\log 1000 = 3$ ce qui fait  $\log 1002-\log 1000 = 0,a\dots$
Puis  $\log 1,002 = 0,a\dots$
Pour attraper le chiffre $a$ vous multipliez par $10$ et avez $10  \log 1,002 = a,\dots$
Ainsi $\log (1,002^{10}) = a,\dots$
Cherchez à encadrer $1,002^{10}$ par deux puissances de $10$ consécutives et vous aurez tout bon.
Par approximation affine $1,002^{10} \approx 1+ 0,002\times 10 \approx 1,02.$ On se doute que $1< 1,002^{10} < 10$ si bien que $0< \log(1,002^{10}) < 1$ ce qui justifiera a posteriori que $\log(1,002^{10}) =0,\dots$ et donc $a=0.$
Comme $1 < 1,002$ on a $1 < 1,002^{10}.$
Pour une majoration $1,002^{10} < 10$ :
\begin{aligned}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,1 \\
1,002^4 &\leq 1,1^2 \leq 1,21 \\
1,002^8 &\leq 1,21^2 \leq 1,4641\leq 1,47\\
1,002^{10} &\leq 1,47\times 1,1 \leq 1,617 < 10.
\end{aligned}

Trouvez le chiffre $b$

$\log 1002 = 3,0bcd\dots$ puis $\log 1002 -\log 1000= 0,0bcd\dots$ soit $\log 1,002 = 0,0bcd\dots$ d’où $\log (1,002^{100}) = b,cd\dots$
\begin{aligned}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,01 \\
1,002^4 &\leq 1,01^2 \leq 1,03 \\
1,002^8 &\leq 1,03^2 \leq 1,07\\
1,002^{16} &\leq 1,07^2 \leq 1,15\\
1,002^{32} &\leq 1,15^2 \leq 1,33\\
1,002^{64} &\leq 1,33^2 \leq 1,77 \\
1,002^{100} &\leq 1,77\times 1,15 \times 1,03 \leq 2,10 < 10.
\end{aligned}
Ainsi $b = 0.$

Trouvez le chiffre $c$

$\log 1002 = 3,00cd\dots$ puis $\log 1,002 = 0,00cd\dots$ d’où $\log (1,002^{1000}) = c,d\dots$
\begin{aligned}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,0041 \\
1,002^4 &\leq 1,0041^2 \leq 1,0083 \\
1,002^8 &\leq 1,0083^2 \leq 1,0167\\
1,002^{16} &\leq 1,0167^2 \leq 1,0337\\ x
1,002^{32} &\leq 1,0337^2 \leq 1,0686\\
1,002^{64} &\leq 1,0686^2 \leq 1,1420 \\
1,002^{128} &\leq 1,1420^2 \leq 1,3042\\
1,002^{256} &\leq 1,3042^2 \leq 1,7010\\
1,002^{512} & \leq 1,7010^2 \leq 2,8935\\
1,002^{1000} &\leq 2,8935\times 1,7010\times 1,3042 \times 1,1420 \times 1,0686 \times 1,0167 \leq 7,97 < 10
\end{aligned}
Ainsi $c = 0.$

Trouvez le chiffre $d$

$\log 1002 = 3,000d\dots$ puis $\log 1,002 = 0,000d\dots$ d’où $\log (1,002^{10000}) = d,\dots$
On encadre $1,002^{10000}$, il vient

$100\ 000\ 000 < 450\ 000\ 000 <$ et $ 1,002^{10000} < 999\ 999\ 999.$
de là on déduit $8 < \log (1,002^{10\ 000}) < 9$ donc $d=8.$

Conclusion

$\boxed{\log 1002 = 3,0008\dots}$ avec d’autres chiffres derrière.

Comment faites-vous pour justifier que $0$ est la limite de $\frac{\ln x}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

Le fil d’Ariane de la démonstration

Partez du fait que la fonction logarithme népérien est entièrement définie par l’intégrale : $\ln x = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}.$
Ensuite, vous souhaitez majorer cette expression. Pas le choix, vous partez sur une majoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}.$
Prenez les fonctions de référence polynômiales connues sur l’intervalle $[1,+\infty[.$
$\forall t\in [1,+\infty[, t^2\geq t> 0$ donc $\forall t\in [1,+\infty[, 0< \dfrac{1}{t^2}\leq \dfrac{1}{t}.$
Mince, on a une minoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}$ mais pas une majoration… à moins que… l’on utilise la racine carrée, ce qui fournit $\forall t\in [1,+\infty[, 0 < \dfrac{1}{t}\leq \dfrac{1}{\sqrt{t}}.$

Et la démonstration

Pour tout x supérieur ou égal à $1$ :

\begin{aligned}
\ln x &\leq \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}\\
&\leq  \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}\\
&\leq  2\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{2\sqrt{t}}\\
&\leq  2 (\sqrt{x}-1)\\
0\leq \frac{\ln x}{x}&\leq \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}.
\end{aligned}

Par application du théorème des gendarmes, il s’ensuit que :
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0.$

Deux racines : pouvez-vous simplifier $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$ ?

Qu’entend-on par simplification ?

Les racines carrées peuvent se retrouver empilées dans des expressions diverses.

Comme $2\sqrt{2+\sqrt{3}}.$
Vous trouverez ci-dessous que oui, cette expression est simplifiable : on peut proposer une expression équivalente avec des racines carrées non empilées.

Quel est l’outil utilisé ?

Outre le fait d’améliorer et de développer vos capacités calculatoires, c’est un résultat important qui a été utilisé.

Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs ayant le même carré, ils sont égaux.

Résolvez algébriquement l’équation $z^3=i$, $z\in\mathbb{C}.$

Vous pouvez utiliser du calcul brut sans passer par l’exponentielle complexe pour répondre.

Soit $P$ le polynôme de $\mathbb{C}[X]$ défini par $P(X)=X^3-i$.

Remarquez déjà que $i$ est un cube.

$i^2 = -1$, c’est la base. Multipliez par $i$, $i^3 = -i$. Vous en déduisez $(-i)^3 = i$, soit $P(-i)=0$.

Le polynôme $P$ est donc factorisable par $X+i.$

Effectuez la division euclidienne de $X^3-i$ par $X+i$

Vous trouvez $X^3+i = (X+i)(X^2-iX-1)$.

Factorisez le polynôme $X^2-iX-1$

L’identité babylonienne $ab = \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2 $ permet d’écrire successivement :

\begin{aligned}
X^2-iX &= X(X-i) \\
&= \left(X-\dfrac{i}{2} \right)^2 – \left(\dfrac{i}{2}\right)^2 \\
&= \left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 +\dfrac{1}{4}.
\end{aligned}

Vous en déduisez :

\begin{aligned}
X^2-iX-1 &=\left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 -\dfrac{3}{4} \\
&= \left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 – \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\
&= \left(X-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \right)\left( X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \right).
\end{aligned}

Concluez

L’équation $z^3 = i$ admet trois solutions complexes :
$\boxed{z_1 = -i}$, $\boxed{z_2 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i} $ et $\boxed{z_3=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}$.