Catégorie : Niveau Prépa

Soit $\alpha$ un réel vérifiant la relation $\boxed{4\alpha^3 = 3\alpha+8}$. Vous souhaitez simplifier la fraction suivante : $\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}.$

Les coefficients de Bézout

Vous allez chercher deux polynômes $P$ et $Q$ tels que $P(X)(4X^3-3X-8)+Q(X)(4X^2-1)=1$.

Pourquoi ? Si vous y parvenez, en remplaçant l’indéterminée $X$ par $\alpha$, vous obtiendrez $P(\alpha)(4\alpha^3-3\alpha-8)+Q(\alpha)(4\alpha^2-1)=1$. Comme $4\alpha^3-3\alpha-8=0$, vous aurez l’égalité $\dfrac{1}{4\alpha^2-1} = Q(\alpha)$.

Pour la suite, posez $A(X)=4X^3-3X-8$ et $B(X)=4X^2-1.$

Commencez par les relations fondamentales.

\begin{aligned}
1A(X)+0B(X) &= 4X^3-3X-8 \\
0A(X)+1B(X) &=4X^2-1.
\end{aligned}

Effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivi de $L_2 \leftarrow L_2-XL_1.$

\begin{aligned}
0A(X)+1B(X) &= 4X^2-1 \\
1A(X)-XB(X) &=-2X-8.
\end{aligned}

Effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivi de $L_2 \leftarrow L_2+2XL_1.$

\begin{aligned}
1A(X)-XB(X) &=-2X-8\\
2XA(X)+(-2X^2+1)B(X) &=-16X-1 \\
\end{aligned}

Effectuez la combinaison $ -8L_1+L_2$ qui élimine $X$ dans le membre de droite, pour obtenir $(2X-8)A(X)+(-2X^2+8X+1)B(X)=63.$

Cela vous donne : $\dfrac{63}{4\alpha^2-1} = -2\alpha^2+8\alpha+1.$

Ainsi : $\dfrac{63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} = (\alpha^3+1)(-2\alpha^2+8\alpha+1).$

Dernière partie, la simplification cherchée

Pour utiliser l’expression $4\alpha^3=3\alpha+8$, vous multipliez par $4$ :

\begin{align*}
\dfrac{4\times 63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &= (4\alpha^3+4)(-2\alpha^2+8\alpha+1) \\
&=(3\alpha+12)(-2\alpha^2+8\alpha+1)\\
&=-6\alpha^3+24\alpha^2+3\alpha-24\alpha^2+96\alpha+12\\
&=-6\alpha^3+99\alpha+12.
\end{align*}

Vous divisez par $3$ :
$\dfrac{4\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =-2\alpha^3+33\alpha+4.$

Vous multipliez par $2$ :
\begin{aligned}
\dfrac{8\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &=-4\alpha^3+66\alpha+8\\
&= -3\alpha-8+66\alpha+8\\
&=63\alpha.
\end{aligned}

Vous divisez par $21$ :
$\dfrac{8(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =3\alpha$

et finalement vous retrouvez : $\boxed{\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} =\dfrac{3\alpha}{8}}.$

Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb{C}.$

Pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $K$, vous allez voir que $P$ est à racines simples dans $\mathbb{C}$, si et seulement si, les polynômes $P$ et $P’$ sont premiers entre eux.

Pour démontrer ce résultat, vous aller démontrer l’équivalence suivante, en prenant les contraires : pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $K$, $P$ possède au moins une racine multiple dans $\mathbb{C}$, si et seulement si, les polynômes $P$ et $P’$ ne sont pas premiers entre eux.

Implication $\Longrightarrow$

Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $K$, possédant au moins une racine multiple. Notez $a\in \mathbb{C}$ une telle racine. Il existe un polynôme $Q\in \mathbb{C}[X]$ tel que $P(X)=(X-a)^2 Q(X)$. Il s’ensuit que $P'(X)=2(X-a)Q(X)+(X-a)^2Q'(X)=(X-a)\left(2Q(X)+(X-a)Q'(X)\right).$

Le polynôme $X-a$ divise les polynômes $P$ et $P’$ qui se sont pas premiers entre eux.

Implication $\Longleftarrow$

Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $K$, tel que $P$ et $P’$ ne soient pas premiers entre eux. Il existe un polynôme $Q\in K[X]$ de degré supérieur ou égal à 1, tel que $Q$ divise $P$ et $P’$. Notez que $P’$ est de degré 1 ou plus, donc $P$ est de degré $n\geq 2$. Comme on a aussi $Q\in\mathbb{C}[X]$ vous appliquez le théorème de d’Alembert. Il existe $a\in\mathbb{C}$ tel que $Q(a)=0$. Il en résulte que $P(a)=0$ et que $P'(a)=0$.

La formule de Taylor appliquée au polynôme $P$ permet de conclure.

\begin{aligned}
P(X) &= \sum_{k=0}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= \sum_{k=2}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= (X-a)^2\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{P^{(k+2)}(a)}{(k+2)!}(X-a)^k.\end{aligned}

Comment savoir si $P$ et $P’$ sont premiers entre eux par le calcul (avec les coefficients de Bezout pour le fun) ?

Considérez le polynôme $P$ défini par :
$P(X)=X^6-6X^5 + 15X^4- 20X^3 + 12X^2-4.$

Dérivez :
$P'(X)=6X^5-30X^4+60X^3-60X^2+24X = 6(X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X).$

Posez $Q(X)=X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X.$

Vous allez déterminer le PGCD des polynômes $P$ et $Q$, avec les coefficients de Bezout avec l’algorithme décrit ci-dessous.

\begin{aligned}
X^6-6X^5 + 15X^4- 20X^3 + 12X^2-4 &= 1 P(X) + 0 Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}

Cherchant à diminuer le degré 6 de la première ligne, on effectue l’opération élémentaire $L_1 \leftarrow L_1-XL_2.$

\begin{aligned}
-X^5 + 5X^4- 10X^3 + 8X^2-4 &= 1 P(X) -X Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}

On continue en éliminant le degré 5 de la première équation. On effectue $L_1 \leftarrow L_1+L_2.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}

Pour éviter les fractions, multipliez la ligne 2 par 2.

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
2X^5-10X^4+20X^3-20X^2+8X &= 0P(X) + 2Q(X)
\end{aligned}

Eliminez le degré 5 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2+X^3L_1.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
-6X^4+16X^3-20X^2+8X&= X^3P(X) + (-X^4+X^3+2)Q(X)
\end{aligned}

Eliminez le degré 4 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2-3X^2L_1.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
4X^3-8X^2+8X&= (X^3-3X^2)P(X) + (-X^4+4X^3-3X^2+2)Q(X)
\end{aligned}

Eliminez le degré 3 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2+2XL_1.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
0 &= (X^3-3X^2+2X) P(X) +(-X^4+4X^3-5X^2+2X+2 ) Q(X)
\end{aligned}

L’algorithme s’arrête. Il montre que $PGCD(P,Q)=X^2-2X+2.$

Du coup $PGCD(P,P’)=X^2-2X+2.$

Le polynôme $P$ possède donc au moins une racine multiple dans $\mathbb{C}.$

Pourriez-vous trouver la décomposition en éléments simples dans $ \mathbb{R}(X)$ de la fraction rationnelle $\dfrac{x^4+1}{ (x^2+x+1) ^3 (x^2-x+1) ^2}$ ?

Les objectifs sont multiples : vous pourrez développer vos compétences techniques, muscler votre calcul mental, développer votre attention et organiser des calculs complexes avec minutie.

Traitez la partie polaire en $x^2+x+1$

Posez $y=x^2+x+1$ et faites une division suivant les puissances croissantes de la fraction $\dfrac{x^4+1}{(x^2-x+1)^2}$. Le reste devra être un multiple de $y^3$ et il est interdit d’avoir $x^2$, $x^3$ ou plus dans le quotient.

Transformez l’écriture de $x^4+1$

Le numérateur est à recalculer comme un polynôme en $y$, avec des coefficients de la forme $a+bx$ où a et b sont réels.

\begin{aligned} x^4+1 &= (x^2)^2+1\\&=(y-x-1)^2+1\\&=y^2+x^2+1-2xy-2y+2x+1\\&=y^2+x^2-2xy-2y+2x+2\\&=y^2+(y-x-1)-2xy-2y+2x+2\\
&=y^2-2xy-y+x+1\end{aligned}

Transformez l’écriture de $(x^2-x+1)^2$

\begin{aligned} (x^2-x+1)^2&= ((y-x-1)-x+1)^2
\\&=(y-2x)^2\\&=y^2+4x^2-4xy
\\&=y^2+4(y-x-1)-4xy
\\&=y^2-4xy+4y-4x-4.
\end{aligned}

Effectuez la division

Avant de l’effectuer, vous devez savoir ce que donne la multiplication de $x$ avec $y^2-4xy+4y-4x-4$.

\begin{aligned} x(y^2-4xy+4y-4x-4) &= xy^2-4y(y-x-1)+4xy-4(y-x-1)-4x\\ &=
xy^2-4y^2+8xy+4.
\end{aligned}

1ère étape

Faire sauter le $x+1$ dans $y^2-2xy-y+x+1$.

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
-\dfrac{1}{4}y^2+xy-y+x+1 &-\dfrac{1}{4}\\
\dfrac{5}{4}y^2-3xy & \\
\end{array}

2ème étape

Faire sauter le $-3xy$ dans $\dfrac{5}{4}y^2-3xy$.

Plus difficile. Regardez comment vous pouvez agir sur le dénominateur $y^2-4xy+4y-4x-4$.

\begin{aligned}
x(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^2+(8x)y+4 \\
1(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^2+(-4x+4)y-4x-4
\end{aligned}

Multipliez ces relations par $y$.

\begin{aligned}
xy(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^3+(8x)y^2+4y \\
y(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^3+(-4x+4)y^2-4xy-4y
\end{aligned}

Vous additionnez les deux lignes, vous trouvez :

$(xy+y)(y^2-4xy+4y-4x-4)=(x-3)y^3+(4x+4)y^2-4xy$

Et vous y êtes.

$\dfrac{3}{4}(xy+y)(y^2-4xy+4y-4x-4)=\left(\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}\right)y^3+(3x+3)y^2-3xy$

\begin{array}{r|l}
\dfrac{5}{4}y^2-3xy & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
\left(\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}\right)y^3+(3x+3)y^2-3xy & \dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy \\
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & \\
\end{array}

Or vous avez déjà grâce à l’étape 1 :

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
-\dfrac{1}{4}y^2+xy-y+x+1 &-\dfrac{1}{4}\\
\dfrac{5}{4}y^2-3xy & \\
\end{array}

Du coup vous avez :

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
... &-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy\\
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & \\
\end{array}

3ème étape

Faire sauter le $\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2$ dans $\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2$.

Reprenez les outils vus précédemment. Partez des relations :

\begin{aligned}
xy(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^3+(8x)y^2+4y \\
y(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^3+(-4x+4)y^2-4xy-4y
\end{aligned}

Vous les multipliez par $y$ à nouveau.

\begin{aligned}
xy^2(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^4+(8x)y^3+4y^2 \quad [1]\\
y^2(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^4+(-4x+4)y^3+(-4x-4)y^2 \quad [2]
\end{aligned}

Prenez la relation [2] et faites apparaître le $-3x$ apparaissant dans $-3x-\dfrac{7}{4}$.
Vous multipliez [2] par $\dfrac{3}{4}$.

$\dfrac{3}{4}y^2(y^2-4xy+4y-4x-4)=\dfrac{3}{4}y^4+(-3x+3)y^3+(-3x-3)y^2\quad [3]$

Des $y^2$ vous en avez $-3x-3=-3x-\dfrac{12}{4}$ et vous en voulez $-3x-\dfrac{7}{4}$, il vous faut en former $\dfrac{5}{4}$.
Vous multipliez [1] par $\dfrac{5}{16}$.

$\dfrac{5}{16}xy^2(y^2-4xy+4y-4x-4)=\left(\dfrac{5}{16}x-\dfrac{5}{4}\right)y^4+\left(\dfrac{5}{2}x\right)y^3+\dfrac{5}{4}y^2\quad [4]$

Maintenant vous ajoutez les relations [3] et [4].

\left(\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2\right)(y^2-4xy+4y-4x-4)=\left(\dfrac{5}{16}x-\dfrac{1}{2}\right)y^4
+\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2

\begin{array}{r|l}
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
 \left(\dfrac{5}{16}x-\dfrac{1}{2}\right)y^4+\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2
 &\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2 \\
 \left(-\dfrac{5}{16}x+\dfrac{1}{2}\right)y^4+\left(-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{4}\right)y^3 & \\
\end{array}

Fin de la division

Vous avez établi précédemment que :

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
... &-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy\\
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & \\
\end{array}

En combinant cette relation avec la précédente, vous terminez la division selon les puissances croissantes en $y$.

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
... &-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy+\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2\\
\left(-\dfrac{5}{16}x+\dfrac{1}{2}\right)y^4+\left(-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{4}\right)y^3 & \\
\end{array}

Séparez la partie polaire en $x^2+x+1$

D’après la division effectuée, vous obtenez :

$y^2-2xy-y+x+1 = ( y^2-4xy+4y-4x-4)\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy+\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2\right) +\dfrac{1}{16}y^3 \left(-5xy+8y-4x-12\right)$

$\dfrac{y^2-2xy-y+x+1}{y^3( y^2-4xy+4y-4x-4)} = -\dfrac{1}{4y^3}+\dfrac{3}{4y^2}+\dfrac{3x}{4y^2}+\dfrac{3}{4y}+\dfrac{5x}{16y}+\dfrac{-5xy+8y-4x-12}{16( y^2-4xy+4y-4x-4)}$

La partie polaire en $x^2+x+1$ est ainsi trouvée.

$\dfrac{x^4+1}{(x^2+x+1)^3(x^2-x+1)^2} = \dfrac{12+5x}{16(x^2+x+1)}+\dfrac{3+3x}{4(x^2+x+1)^2}-\dfrac{1}{4(x^2+x+1)^3}+\dfrac{-5xy+8y-4x-12}{16(x^2-x+1 )^2}$

Vous développez $-5xy+8y-4x-12$.

\begin{aligned} -5xy+8y-4x-12 &= -5x(x^2+x+1)+8(x^2+x+1)-4x-12 \\ &= -5x^3+3x^2-x-4.\end{aligned}

$\dfrac{x^4+1}{(x^2+x+1)^3(x^2-x+1)^2} = \dfrac{12+5x}{16(x^2+x+1)}+\dfrac{3+3x}{4(x^2+x+1)^2}-\dfrac{1}{4(x^2+x+1)^3}+\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{16(x^2-x+1 )^2}$

Traitez la dernière partie polaire

Vous allez vous occuper maintenant de $\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{(x^2-x+1 )^2}$.

Vous posez $z = x^2-x+1$. Le numérateur est à recalculer comme un polynôme en $z$, avec des coefficients de la forme $a+bx$ où $a$ et $b$ sont réels.

\begin{aligned} -5x^3+3x^2-x-4 &= -5x(z+x-1)+3(z+x-1)-x-4 \\ &=
-5xz-5x^2+5x+3z+3x-3-x-4\\ &=
-5xz-5(z+x-1)+3z+7x-7\\ &=
-5xz-2z+2x-2 \\ &=
(-5x-2)z+(2x-2).
\end{aligned}

Vous divisez le tout par $z^2$.

$\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{z^2} = \dfrac{-5x-2}{z}+\dfrac{2x-2}{z^2}$

D’où finalement la dernière partie polaire.

$\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{(x^2-x+1)^2} = \dfrac{-5x-2}{x^2-x+1}+\dfrac{2x-2}{(x^2-x+1)^2}$

Et vous avez la décomposition finale

$\boxed{\dfrac{x^4+1}{(x^2+x+1)^3(x^2-x+1)^2} = \dfrac{12+5x}{16(x^2+x+1)}+\dfrac{3+3x}{4(x^2+x+1)^2}+\dfrac{-1}{4(x^2+x+1)^3}+ \dfrac{-5x-2}{16(x^2-x+1)}+\dfrac{x-1}{8(x^2-x+1)^2}}.$

Vous souhaitez voir comment on produit la décomposition de $\dfrac{2x^2+1}{(x-1)^2}$ en éléments simples ? C’est ici.

Posez $y=x-1$ et concluez

Le dénominateur devient $y^2$ il reste à observer que $y+1=x$ pour développer le numérateur. La fraction à décomposer en est facilitée.

\begin{aligned} \dfrac{2x^2+1}{(x-1)^2}&=\dfrac{2(1+y)^2+1}{y^2} \\ &=\dfrac{3+2y^2+4y}{y^2}\\ &=2+\dfrac{4}{y}+ \dfrac{3}{y^2} \\ &=2+\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{3}{(x-1)^2}.\end{aligned}

Vous voulez décomposer $\dfrac{x^2+1}{x-2}$ en éléments simples, pas à pas, acquérir les bonnes connaissances ? Cela se passe ici.

Le bon changement de variable

Posez $y=x-2$ pour simplifier le dénominateur. Puis vous calculez le numérateur en remplaçant $x$ par $2+y$.

\begin{aligned} x^2+1&=(2+y)^2+1\\ &=4+y^2+4y+1 \\ &=y^2+4y+5.\end{aligned}

Et la conclusion arrive !

\begin{aligned} \dfrac{x^2+1}{x-2}&=\dfrac{y^2+4y+5}{y}\\ &=y+4+\dfrac{5}{y}\\ &= x+2+\dfrac{5}{x-2}.\end{aligned}