Il s’agit de parler de la façon d’aborder les contenus mathématiques.

Nombreux sont les contenus qui se ressemblent

Vous cherchez à résoudre une équation du second degré ? Vous recherchez une solution sur Google ? Rapidement, vous arriverez à cela :

Mais ce contenu ne fait que donner une recette de gâteau et finalement, n’explique pas grand chose.
Ce qui est intéressant, ce n’est pas d’apprendre par coeur que $$\Delta = b^2-4ac.$$
Non, c’est de comprendre comment il apparaît. Et là cela demande du temps, de la recherche, des capacités calculatoires. L’intérêt ? La démarche est transposable ailleurs, alors que la recette s’applique dans une situation bien précise, qui elle-même n’est pas transposable, limitée… et finalement… dénuée d’intérêt, se rapprochant d’une forme de bachotage ou de bourrage de crâne.

Revenez à l’essence d’une démarche de réflexion

L’équation $-x^2+3x-2=0$ admet exactement deux solutions…
Je vous propose de la résoudre. Accrochez-vous, il n’y a pas de recette miracle ici.
$-x^2+3x-2=0$
est une équation difficile, parce que $x^2$ et $x$ ne sont pas regroupables. Essayer de factoriser, développer, écrire que $-x^2+3x = x(3-x)$ ne vous amènera à rien et vous fera tourner en rond.
L’idée c’est que cette équation est compliquée… parce que $x$ n’est pas la bonne inconnue.
Fort de ce constat, essayez de changer d’inconnue. Que prendre d’autre ? Essayez $y=x+1,$ ce qui signifie que $x=y-1.$ On en arrive à :
$-(y-1)^2+3(y-1)-2=0.$
Ouch cela fait mal à la tête ? Il faut développer eh… oui, mais développer est une opération que tout le monde peut faire à condition de s’entraîner suffisamment. C’est un moyen de développer son attention et ses capacités mentales.
\begin{aligned}
-y^2+2y-1+3y-3-2&=0\\
-y^2+5y-6&=0.
\end{aligned}
Stop ! Arrêtons-nous là. On retrouve $y$ et $y^2.$ Donc on retombe sur une équation que l’on ne pourra pas résoudre. Mais en dépit des apparences, on a avancé… on est passé de $-x^2+3x-2=0$ à $-y^2+5y-6=0.$
Observez. Vous êtes passé de 3 à 5. Quoi ? Comment ça ? $3x$ est devenu $5y.$ En posant $y=x+1$ vous avez augmenté le résultat de 2 : en augmentant y de 1, le résultat augmente de 2.
Peut-on passer de 3 à 0 ? Si cela se produisait, vous pourriez enfin résoudre l’équation proposée… et pour cela il vous faut chercher un peu et oser. Si vous aviez posé $y=x+2,$ vous seriez passé de 3 à 7, $3x$ serait devenu $7y$. En montant y de 2, le résultat aurait augmenté de 4.
Mais vous, vous voulez baisser de 3. Il vous semble logique d’essayer de poser $y=x-1,5.$
La bonne nouvelle c’est que quand vous choisissez $y = x-1,5$ cela va effectivement fonctionner. Vérification ci-dessous.

La résolution

Posez $y=x-1,5$ alors
$x = y+1,5.$
Les calculs s’enchaînent et se déroulent :
\begin{aligned}
-x^2+3x-2&=0\\
-(y+1,5)^2+3(y+1,5)-2&=0\\
-y^2-3y-2,25+3y+4,5-2&=0\\
-y^2+0,25&=0\\
0,25&=y^2\\
y=0,5 &\text{ ou } y=-0,5\\
x-1,5=0,5 &\text{ ou } x-1,5=-0,5\\
x=2 &\text{ ou } x=1.
\end{aligned}
L’équation a donc exactement deux solutions et elle est totalement résolue.

Le constat

J’aurais très bien pu vous dire « je me suis levé ce matin, j’ai posé y=x-1,5 et ça marche ». Allez-vous me croire ? Omettre toute la démarche qui a été faite avant pour trouver une solution, c’est cela la clé, c’est cela qui est omis…
La personne qui vous fait le cours et vous « balance » que $$\Delta=b^2-4ac$$ permet de résoudre toutes les équations de degré 2, c’est bien mignon…
Il ne s’agit pas de montrer que ça marche, mais plutôt de comprendre ce qui se cache derrière pour le faire apparaître, ce fameux $\Delta=b^2-4ac.$

Rappelez-vous des étapes importantes qui ont permis d’avancer.

• Je ne cherche pas à regrouper $x$ et $x$ au carré,
• J’utilise une autre inconnue de façon à tomber sur une équation que je sais résoudre,
• Je teste les changements d’inconnue, je comprends comment cela fonctionne,
• Je choisis la bonne inconnue,
• Je résous l’équation.

Suivez ces étapes dans le cas général et vous verrez que $\Delta=b^2-4ac$  apparaît dans les calculs.

La démarche pédagogique est essentielle.

Des exercices avant tout

Les mathématiques – ainsi que la physique dans une moindre mesure – s’apprennent essentiellement en pratiquant, et en augmentant progressivement le niveau de difficulté.
Apprendre à calculer est essentiel dans un premier temps. Il permet de vous assurer que vous maîtrisez l’application de procédures dans un ordre donné, en étant attentif. Il ne s’agit pas de produire un résultat ; il s’agit de procéder par petites étapes successives que l’on maîtrise toutes, afin d’arriver au but.
La décomposition d’un objectif en petits problèmes simples est la clé.

Se confronter à la difficulté est essentiel

Tous les comportements d’évitement sont… à éviter !
Combien fait « 1/2″ ? Vous ne vous sentez pas à l’aise avec cela ? Vous sentez l’envie pressante de prendre une calculatrice ? Vous vous trouvez des excuses en disant que « vous êtes littéraire », que « les mathématiques ne sont pas faites pour vous », que « les mathématiques ne vous aiment pas », que « vous avez toujours été en difficulté en mathématiques »…
Tous ces comportements montrent qu’en fait, vous n’êtes pas à l’aise, à cause d’une notion qui n’est pas comprise.

Et pourtant, la difficulté se surmonte

Je connais peu de monde qui ne sache pas combien fait « 10/2 ».
Vous savez que « 10/2 » fait 5. A partir de là vous avez la clé.
Comment passe-t-on de « 10/2 » à « 1/2″ ? Un zéro de moins certes, c’est-à-dire dix fois moins. Or 10 fois moins, c’est juste décaler la virgule d’un cran sur la gauche.
Vous me direz que 5 n’a pas de virgule. En fait si : $$5=5,0.$$
Une fois la virgule placée, on ne change pas le nombre en ajoutant un zéro à gauche : $$5=05,0.$$
Vous décalez cette virgule un cran à gauche et trouvez que « 1/2 » est égal à : $$0,50.$$

Ce que vous avez utilisé

Avec la calculatrice, le smartphone…

Vous obtenez la réponse sans savoir d’où elle vient, vous faites confiance à la calculatrice, au fait que vous avez bien tapé sur les touches. 3 mois plus tard, quand on vous reposera la même question, combien fait « 1/2″ ? Vous reprendrez votre calculatrice à nouveau, et ainsi de suite, du collège, au lycée, y compris après le baccalauréat.

Avec la difficulté surpassée

Vous savez d’où vient la réponse et entendre « 1/2 » vous fait sourire, on vous l’a déjà faite celle-là ! Fort de cet atout, vous développez vos compétences, parce que derrière juste le « 1/2 » c’est votre capacité à décaler la virgule que vous maîtrisez. Du coup, vous vous posez des questions ouvertes. Tiens, et « 1/4″ ? Combien cela ferait-il et pourquoi ?

Vous voulez multiplier efficacement n’importe quel nombre à deux chiffres par 8 ?

Effectuez d’abord les calculs de la forme $8\times 65$ ou $8\times 85$ dans lesquels vous vous intéressez aux nombres à deux chiffres finissant par $5.$

Les cas importants $25$ $50$ et $75$

Le résultat suivant $8\times 25 = 200$ est très important à connaître et à comprendre.
Vous vous demandez d’où vient ce résultat ? C’est une technique de calcul qui utilise la multiplication par 2 et la propriété dite associative de la multiplication, qui consiste à déplacer les parenthèses.

\begin{align*}
8\times25 &= (4\times 2)\times 25 \\
&= 4\times (2\times 25)\\
&=4\times 50\\
&=(2\times 2)\times 50\\
&=2\times (2\times 50)\\
&=2\times 100\\
&=200.\end{align*}

Effectuez le même raisonnement pour $50.$

\begin{align*}
8\times 50 &= (4\times 2)\times 50 \\
&= 4\times (2\times 50)\\
&=4\times 100\\
&=400.\end{align*}

Pour $75$ vous utilisez sa proximité avec $100.$

\begin{align*}
8\times 75 &= 8\times 100 - 8\times 25 \\
&= 800-200\\
&=600.\end{align*}

Vous pouvez aussi constater que $75$ est égal à $25$ fois $3$ ce qui donne :

\begin{align*}
8\times 75 &= 8\times (25 \times 3) \\
&= (8\times 25) \times 3 \\
&= 200\times 3\\
&=600.\end{align*}

Les cas restants 15, 35, 45, 55, 65, 85 et 95

15 et 35 sont proches de 25

Pour calculer 8 fois 15, vous pouvez utiliser le fait que 15 est égal à 25 moins 10.

\begin{align*}
8\times 15 &= 8\times 25 - 8\times 10 \\
&= 200-80\\
&=120.\end{align*}

Pour calculer 8 fois 35, vous pouvez utiliser le fait que 35 est égal à 25 plus 10.

\begin{align*}
8\times 35 &= 8\times 25 + 8\times 10 \\
&= 200+80\\
&=280.\end{align*}

65 et 85 sont proches de 50

Pour calculer 8 fois 65, vous pouvez constater que 65 est égal à 75 moins 10.

\begin{align*}
8\times 65 &= 8\times 75 - 8\times 10 \\
&= 600-80\\
&=520.\end{align*}

Pour calculer 8 fois 85, vous pouvez constater que 85 est égal à 75 plus 10.

\begin{align*}
8\times 85 &= 8\times 75 + 8\times 10 \\
&= 600+80\\
&=680.\end{align*}

45 et 55 sont proches de 50

Pour calculer 8 fois 45, vous pouvez constater que 45 est égal à 50 moins 5.

\begin{align*}
8\times 45 &= 8\times 50 - 8\times 5 \\
&= 400-40\\
&=360.\end{align*}

Pour calculer 8 fois 55, vous pouvez constater que 55 est égal à 50 plus 5.

\begin{align*}
8\times 55 &= 8\times 50 + 8\times 5 \\
&= 400+40\\
&=440.\end{align*}

95 est proche de 100

Et vous concluez :

\begin{align*}
8\times 95 &= 8\times 100 - 8\times 5 \\
&= 800-40\\
&=760.\end{align*}

Si $\frac{3x^2+4x}{2x+9}=5$ que vaut $x$ ?

Construisez une réponse

Puisqu’il est demandé de résoudre :

$ \frac{3x^2+4x}{2x+9}=5$

on déduit successivement :

\begin{aligned}
3x^2+4x &=5(2x+9)\\
3x^2+4x&=10x+45\\
3x^2-6x&=45\\
x^2-2x&=15\\
x^2-2x+1&=16\\
(x-1)^2&=16\\
\end{aligned}

D’où

$x-1=4 \text{ ou }x-1=-4,$ soit $x=5 \text{ ou } x=-3.$

C’est un excellent exercice qui améliore vos capacités.

Vous souhaitez calculer $8\times 34$ sans y passer trop de temps ?

Sans utiliser de tables

Prenez 34 et vos additions.
Calculez successivement :

\begin{align*}
34+34 &= 68\\
68+68 &= 136\\
136+136 &= 272.
\end{align*}

Vous avez trouvé le résultat : $ 272 = 8\times 34.$
En prime, cet exercice renforce votre capacité à multiplier par 2.

Méthode des tables

A utiliser quand vous maîtrisez la table de 8.

\begin{align*}
8\times 3 &=24\text{, puis vous ajoutez un zéro, 240.}\\
8\times 4 &=32\text{. Et vous calculez la somme }240+32=272.
\end{align*}

Pour aller plus loin

Effectuez les opérations suivantes, en partant du chiffre de gauche, puis en allant vers la droite.

1. Prenez le chiffre 3 auquel vous enlevez 2 (c’est toujours ce chiffre !). Vous obtenez comme résultat 1.
2. Reprenez le chiffre 3. Son complément à 9 est 6. Vous doublez le tout, soit 12. Vous ajoutez le chiffre 4 (celui à côté du 3), vous avez 16.
   Ce qui fait 16 + 1 dizaine de l’étape 1, soit 16+10=26.
3. Prenez le dernier chiffre, 4. Son complément à 10 est 6. Vous doublez, 6+6 fait 12. Vous avez 12 plus 26 dizaines (résultat de l’étape 2), soit 272.

Les techniques de calcul les plus fréquentes font effectuer les calculs de la droite vers la gauche.

Le constat

Même si ces méthodes fonctionnent, il faut bien remarquer qu’elles sont pratiques pour un travail essentiellement écrit.
Alors pourquoi vous allez gagner à effectuer des calculs en sens inverse, de la droite vers la gauche ?

Gagner en efficacité

Vous souhaitez développer vos capacités de calcul ? Vous voulez être à l’aise ? Vous souhaitez développer vos capacités de mémorisation ? Laissez tomber le stylo, le papier, la calculatrice, le smartphone et que sais-je.

Comment cela fonctionne, une addition de gauche à droite ?

Soit à payer 3,46 euros plus 7,67 euros.
Essyez de poser le calcul en situation. Ce n’est guère pratique dans la vie courante. L’utilisation du smartphone permet de s’en sortir à court terme mais ne permet en aucun cas de progresser et encore moins de développer un sentiment de confiance en soi.
Déjà enlevez la virgule on n’en a pas besoin.
Additionnez plutôt 346 avec 767.
Effectuez le découpage suivant 346=34/6 et 767=76/7.
Vous effectuez très rapidement les deux additions :
\begin{aligned}
34 + 76 &= 110\\
6 + 7 &= 13.
\end{aligned}
Le dernier calcul donne 1 de retenue à additionner à 110, résultat du premier découpage, suivi du chiffre 3.
$ 346 + 727 = 1113.$
Vous remettez la virgule et concluez :
$3,46 + 7,67 = 11,13.$

Si $x+y=2$ et si $x^2+y^2=2$, quelle est la valeur de $xy$ ?

Trouvez une proposition de réponse qui commence naturellement, sans chercher une astuce de calcul.

Vous pensez que « chiffre » et « nombre » sont synonymes. Pourtant, il n’en est rien. Explications.

Dans 99 % des cas

Vous connaissez les 10 chiffres usuels  : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Un nombre désigne un ensemble de chiffres écrits bout à bout.
356 est un nombre à 3 chiffres, comportant 3 centaines, 5 dizaines et 6 unités.
1540 est un nombre à 4 chiffres, comportant 1 millier, 5 centaines, 4 dizaines et 0 unité.
Un nombre peut aussi ne comporter qu’un seul chiffre.

Vous souhaitez aller plus loin

Dans 1 % des cas

Le système précédent où il y a 10 chiffres s’appelle le système des nombres écrits en base 10. Dans cette base, il y a 10 chiffres. Rien n’interdit de travailler dans une autre base. Je vais citer les plus courantes, dont les applications se trouvent en informatique.

La base 2 dit « binaire »

C’est un système dans lequel il n’y a que deux chiffres, 0 et 1.
En écrivant les nombres en commençant par 0, on obtient 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 et ainsi de suite.
Ce système est dit binaire parce qu’il n’existe que deux chiffres. L’avantage de ce système c’est que la table d’addition et de multiplication sont très simples. L’inconvénient c’est qu’un nombre en base 2 s’écrit avec beaucoup trop de chiffres en général.

La base 16 dite « hexadécimale »

Dans ce système, il y a 16 chiffres. Ne disposant pas d’assez de symboles, on utilise les lettres A, B, C, D, E et F, que l’on considère comme des « chiffres » supplémentaires. En base 16, les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
L’avantage de ce système c’est qu’il permet d’écrire la base 2 de façon plus condensée et plus lisible. L’adresse d’une carte réseau avec la nouvelle norme IPV6 ressemble à ceci.
Elle est écrite dans le système en base 16.
Les professionnels du réseau maîtrisent parfaitement ce système.

Vous buttez à faire apprendre à vos enfants âgés autour de 7 ans les tables de multiplication ? Comment les aider sans vous prendre la tête ?

Que sont ces tables ?

Le programme prévoit d’apprendre par coeur et sur le bout des doigts le tableau ci-dessous :

Les multiplications qui vont poser problème le plus souvent, ce sont les tables de 3, de 7 et de 9. Combien de fois ai-je rencontré le même élève de 13 ans qui prenait une mine dépitée à chaque fois qu’il avait affaire à 3 fois 6 ?

Des solutions d’apprentissage

Applications mobiles

Je vous recommande d’utiliser une application mobile qui permet de pratiquer les tables, encore et encore, avec un système de récompenses et de scores. Tout y est : vous pouvez choisir vos tables, le temps mis allant de 45 secondes à 2 minutes environ.

L’enfant joue en toute autonomie avec son application. Elle mémorise les erreurs et permet de retravailler dessus ultérieurement.
Evitez de vous offusquer quand le résultat d’une multiplication est évident pour vous mais pas pour votre enfant. C’est un apprentissage qui prend du temps sur plusieurs mois.

Quelques trucs

• table de 10 : on ajoute un zero.
• table de 2 : on ajoute le nombre avec lui même, 4 on recommence, 8 on recommence (long).
• 7 c’est pareil que 8 fois le nombre moins lui même : c’est long. On alors 5 plus 2 fois le nombre lui-même.
• 9 c’est fois 10 moins lui-même, on alors, plus efficace, le chiffre des dizaines vaut le nombre -1 et le chiffre des unités est le complément à 9 (avez-vous remarqué que la somme des chiffres vaut toujours 9 ?)
• 5 c’est la moitié de 10 fois le nombre, c’est efficace et très rapide.

Est-ce uniquement des capacités de mémorisation ?

Le travail de mémorisation devient rapidement fastidieux et inefficace, il est perçu comme rebutant et vous aurez toujours affaire à la question « mais à quoi ça sert puisque mon téléphone le fait ? »
Les tables de multiplication ne sont pas une affaire de mémorisation, mais une question de technique et de capacité de calcul.
Quand une personne cherche le résultat de 3 fois 7, il s’agit de l’encourager à trouver toutes les techniques permettant :

• de proposer un résultat (exemple avec la table de 7),
• de s’y prendre autrement pour proposer un autre résultat,
• discuter, comparer les résultats, justifier lequel est le bon.

Bien connaître les tables de multiplication, c’est montrer sa capacité à résoudre des problèmes, ce qui constitue une grande partie de la démarche mathématique.

Vous connaissez généralement bien ceux qui vont de 1 à 10, ceux de 11 ou 12, après, cela se corse.
Pour éviter de les apprendre par coeur, rien de tel que la manipulation par une application mobile ludique, elle permet de s’en souvenir sans s’en rendre compte, les progrès sont rapides et motivants.
Dans de nombreux livres d’enseignement supérieur vous verrez que le calcul mental est essentiel parce que la calculatrice est interdite dans 90 % des concours.
Vous devez pousser vos connaissances jusqu’à être à l’aise jusqu’à 25. Dur dur ? Pas tant que ça.

Les 25 premiers carrés

Les carrés de 1 à 10

\begin{aligned}
1^2 &= 1\\
2^2 &= 4\\
3^2 &= 9\\
4^2 &= 16\\
5^2 &= 25\\
6^2 &= 36\\
7^2 &= 49\\
8^2 &= 64\\
9^2 &= 81\\
10^2 &= 100
\end{aligned}

Les carrés de 11 à 20

\begin{aligned}
11^2 = 121\\
12^2 = 144\\
13^2 = 169\\
14^2 = 196\\
15^2 = 225\\
16^2 = 256\\
17^2 = 289\\
18^2 = 324\\
19^2 = 361\\
20^2 = 400.
\end{aligned}

Les carrés de 21 à 25

$21^2 = 441$
$22^2 = 484$
$23^2 = 529$
$24^2 = 576$
$25^2 = 625.$

Comment retrouver rapidement un carré oublié à partir d’un autre ?

Vous pouvez utiliser l’astuce suivante si vous savez que $15^2 = 225$ et que vous cherchez $17^2.$
Vous prenez la somme $15+17=32$ et vous la multipliez par l’écart entre $17$ et $15$, soit $2.$ Vous avez $32\times 2 =64$.
Vous ajoutez $64$ à $225$ et vous obtenez $17^2 = 289.$

Pourquoi cela fonctionne

Cela est dû à l’identité algébrique remarquable suivante :
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$a^2 = (a-b)(a+b)+b^2$
$17^2 = 2\times (15+17)+15^2$
$23^2 = 25^2 – 2\times (23+25)$
$24^2 = 25^2 – (24+25).$