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042. Comment calculer le rendu de monnaie sur un billet de 50€ ?

Vous avez une note de 17 euros, le client vous tend un billet de 50 euros, déjà vous grincez des dents car vous allez devoir lui rendre une bonne monnaie et vous ne pouvez pas prendre le risque de vous tromper.
 
Vous saisissez le montant client et attendez que la caisse vous donne le montant à rendre… jusqu’à ce que vous vous rendiez compte que, pas de bol, la caisse est défaillante. Le client est là devant vous et attend sa monnaie, pas le choix, vous devez vous mettre à compter, plus vous mettez de temps, plus la queue des clients s’allonge et votre stress ne fait qu’augmenter…
Je vous communique dans cet article une technique de calcul qui vous permettra de calculer le rendu sans vous prendre la tête sur les retenues.

Faites comme si on vous avait donné 49 euros au lieu de 50 !

L’avantage ? Pour calculer 49 moins 17, c’est que vous procédez chiffre par chiffre sans peine.
4-1 fait 3 et 9-7 fait 2. Il vous faut rendre 32 euros sur les 49.
Conclusion, sur 50 euros vous rendez un euro de plus, soit 33.

Face à une note de 27,18€ que faire ?

Vous appliquez la même astuce que précédemment.
Faites comme si le client vous avait donné un centime en moins, soit 49,99€.
Pour le rendu de 27,18 vous procédez chiffre par chiffre et aucune retenue ne vous gêne.
4-2 fait 2, 9-7 fait 2, 9-1 fait 8 et 9-8 fait 1, soit 22,81€.
Comme il vous a donné un centime en plus de 49,99€ vous rendez 22,81€ plus un centime, soit 22,82€.

041. 0.999999… et 1 sont-ils égaux ?

Posez $a= 0,999999\dots$ écrit avec une infinité de 9 après la virgule.
Multipliez par 10 : $10a = 9,999999\dots$ ce qui fait $10a = 9+0,999999\dots$ soit $10a = 9+a.$
Résolvez cette équation $10a-a=9$ soit $9a = 9$ ce qui fait $a=\frac{9}{9}=1.$

La réponse est oui. Un oui franc et sans hésitation.

039. Stages vacances

Nouvelle inscription !

Hier j’ai eu le plaisir d’effectuer une nouvelle réservation pour un stage de Noël.
Nous commencerons le 24, date du réveillon de Noël, à un horaire où la disponibilité de l’écoute est maximale pour évaluer, renforcer les connaissances de l’apprenant.

Vous aussi ?

Vous souhaitez le meilleur pour votre enfant ?
N’hésitez pas à me contacter sur ma ligne directe ou prenez rendez-vous en ligne sur ce site.

038. Réforme du lycée en 2021

Les mathématiques sont exclues du tronc commun

Classées dans les « spécialités », les mathématiques sont-elles définitivement exclues du tronc commun ? « Vous avez quand même un peu de maths dans le tronc commun, car vous avez un enseignement scientifique, qui inclut deux heures de mathématiques par semaine » a précisé le ministre de l’Éducation nationale. « Aujourd’hui, les élèves qui choisissent L ou ES ont peu voire pas de maths », a-t-il justifié expliquant qu’il s’agissait d’une autre manière d’envisager les mathématiques. « On approfondira les maths beaucoup plus que par le passé mais pour ceux qui le choisissent ».

Vous noterez les contradictions…

Les muscles, c’est bien connu, plus vous les faites bouger, plus vous gagnez en masse musculaire… Tout comme un violon ou une guitare, plus vous en faites, plus vous gagnez en dextérité, en plaisir et en agilité… tout comme le vélo, plus vous en faites, plus vous êtes endurant…
Et bien on nous explique qu’avec les mathématiques, attention, non ! Il faut moins en faire ! Deux heures par semaine, c’est suffisant !
Faut-il rappeler que la France fait partie des pays les plus mauvais au classement international sur notre niveau pour les élèves… de CM1…

Quelle est votre vision ?

Quelle doit être selon vous la place des mathématiques dans le système éducatif ? Combien d’heures par semaine pensez-vous qu’il soit nécessaire de suivre pour être efficace ? Quelle place faut-il leur donner ? Comment se fait-il que tant de Français n’aiment pas les mathématiques ?
Je vous invite à me donner votre avis dans les commentaires. Toutes vos remarques sont les bienvenues, de façon à trouver ce que l’on peut faire ensemble pour améliorer l’existant…
 

037. Etudiez une suite récurrente

Etudiez la suite définie par $u_{n+1}=1-\frac{1}{u_n}$.

Recherchez les comportements

Choisissez un premier terme, par exemple $u_1=1$

$u_2 = 1-1 = 0$ exemple mal choisi, la suite $(u_n)$ n’est alors plus définie à cause de la division par 0.

Choisissez un autre premier terme, par exemple $u_1=2$

$u_2 = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$u_3 = 1-\frac{1}{\frac{1}{2}} = 1-2 = -1$
$u_4 = 1-\frac{1}{-1} = 1+1 = 2 = u_1$
du coup, vous pouvez montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n$, autrement dit, la suite $(u_n)$ est 3-périodique.

Le comportement identifié se reproduit-il ou est-il fortuit ?

Testez avec un autre premier terme, par exemple $u_1=13$

$u_2 = 1-\frac{1}{13} = \frac{12}{13}$
$u_3 = 1-\frac{1}{\frac{12}{13}} = 1-\frac{13}{12}= -\frac{1}{12}$
$u_4 = 1-\frac{1}{-\frac{1}{12}} = 1+12= 13 = u_1$
On a une confirmation.

Adoptez une démonstration

Montrez que, $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n.$
$u_{n+1} = 1-\frac{1}{u_n} = \frac{u_n-1}{u_n}$
$u_{n+2} = 1-\frac{1}{\frac{u_n-1}{u_n}} = 1-\frac{u_n}{u_n-1}= \frac{u_n-1-u_n}{u_n-1} =-\frac{1}{u_n-1}$
$u_{n+3} = 1-\frac{ 1  }{-\frac{1}{u_n-1} }=1+u_n-1=u_n.$
Et voilà, vous avez terminé.

Que manque-t-il ?

La démonstration précédente présuppose que la suite est bien définie. Or, vous avez vu au début de cet article que si $u_1=1$, il y a un souci.
Déterminez pour finir pour quelles sont les valeurs possibles du premier terme $u_1$ pour que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ soit bien définie. Cela ne sera pas traité ici… à vous de jouer !

036. Citez une solution d’une équation simple

Considérez $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=4.$

Cette équation, bien que d’apparence simple, où on cherche $a$, $b$ et $c$ comme étant des entiers positifs n’admet pas de solution simple.

On peut vérifier que :
$a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999$
$b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579$
$c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036$

constitue une solution et qu’il n’en a pas d’autre plus petite. Presque 80 chiffres à la clé pour chacun des nombres $a$, $b$ et$ c.$ C’est énorme.

L’intérêt de ce problème c’est qu’il met en échec les techniques de résolution par force brute… avis aux amateurs.

035. Une formule due à Machin

Le but de ce contenu est de calculer la valeur de $\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right) = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right) +\arctan \left(\frac{1}{7}\right).$

Posez $a=\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right)$ et $b=\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right).$ $a$ et $b$ désignent deux réels – correspondant à des angles aigus – tels que $\sin a = \frac{3}{5}$ et $\tan b = \frac{1}{7}.$

Comment attraper la valeur de $a+b$ ?

Il serait bon dans un premier temps de savoir si $a+b$ désigne un angle aigu, pour cela, en coupant en deux, voyez si $a$ est inférieur à $\frac{\pi}{4}.$
Comparez $\frac{3}{5}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Cela revient à comparer leurs carrés car ce sont deux nombres positifs.
$\frac{9}{25} < \frac{9}{18}  \leq \frac{1}{2}$ donc $\sin a \leq \sin \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction sinus sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ vous obtenez $a\in \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right[.$ Plus rapidement, pour $b$, vous obtenez $\tan b \leq  \frac{1}{7} < 1 \leq \tan \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction tangente sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ vous obtenez $b < \frac{\pi}{4}.$ Ainsi $0 < a+b < \frac{\pi}{2}.$ $a+b$ désigne un angle aigu.

Un calcul de tangente

Vous connaîtrez la valeur de $a+b$ quand la valeur de sa tangente sera connue.
La formule d’addition de la tangente fournit :
$\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b}$
Partant de :
\begin{aligned} \tan a &= \frac{\sin a}{\cos a}\\ &= \frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}} \\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{25-9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\\    &=\frac{3}{4}\end{aligned}
On en déduit :
\begin{aligned} \tan (a+b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b} \\ &=\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1- \frac{3}{4}\times \frac{1}{7}}\\ &= \frac{\frac{25}{28}}{1- \frac{3}{28}} \\&=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} \\ &=1.  \end{aligned}
Comme $\tan(a+b) =\tan \frac{\pi}{4}$
on en déduit $a+b =\frac{\pi}{4}.$

Prolongement

Vous souhaitez découvrir une autre formule attribuée à Machin et qui fait apparaître la fraction $1/239$? Rendez-vous dans le contenu rédigé dans l'article 381.

034. Vous croyez savoir pourquoi 1+1 est égal à 2 ?

Vous croyez savoir pourquoi $1+1=2$ ? Vraiment ?

Les fondements des mathématiques se trouvent dans l’ouvrage Principia Mathematica datant du début du XXème siècle, écrit par Alfred North Whitehead et Bertrand Russell.

Pour extrait, voici la preuve justifiant que $1+1=2$ ! Accrochez-vous… admirez ou… fuyez… !

033. Une petite équation pour vous

L’équation $\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=4$, où $a$, $b$ et $c$ désignent des nombres entiers strictement positifs – admet selon vous :
A. $a=1$, $b=1$, $c=1$ pour solution
B. Aucune solution
C. $a=100$, $b=100$, $c=200$ pour solution
D. Une solution où $a$, $b$ et $c$ comportent $79$ chiffres chacun dans leur écriture décimale
E. Une solution mais elle est tellement compliquée qu’on ne sait pas la calculer encore aujourd’hui.

Merci de me faire part de vos réponses dans les commentaires, que vous soyez parent, étudiant, élève de classes préparatoires, lycéens.

La solution sera publiée ultérieurement.