Montrez que la suite réelle $(u_n)$ converge si la suite $(u_n)$ est croissante et si la suite extraite $(u_{2n})$ est convergente.

Vu que l’énoncé parle d’indices pairs de la suite, il faut bien un moment ou à un autre, à mon sens, traiter les indices pairs et les indices impairs, sans faire de raccourci.

Analysez la situation

Il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{n\to +\infty}{u_{2n}}=\ell.$
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait $\ell – \varepsilon\leq u_{2n} \leq \ell + \varepsilon \text{ (Proposition A)}.$
Revenez maintenant à la suite $(u_n)$.
Pour avoir $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon$, on aimerait bien utiliser l’hypothèse, à savoir $n/2$ supérieur à $N$ soit $n$ supérieur à $2N.$
Si $n$ est pair, $n/2$ est un entier naturel supérieur à $N$ donc si $n$ est supérieur à $2N$, $n/2\geq N$ et par (A) on en déduit que $\ell – \varepsilon\leq u_{2\times (n/2)} \leq \ell + \varepsilon$ soit $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.$
Le problème c’est que $n/2$ n’a aucune raison d’être un nombre entier. Ce n’est pas grave, vous vous ramenez à des nombres pairs.
Effectivement, si $n$ est impair, et bien $n-1$ et $n+1$ sont pairs. Appliquez le (A) avec $\frac{n-1}{2}$ et $\frac{n+1}{2}.$ Pour cela on doit avoir $\frac{n-1}{2}\geq N$ et $\frac{n+1}{2}\geq N$ soit $n\geq 2N+1$ et $n\geq 2N-1.$
Tout compte fait, on veut avoir $n\geq \text{Max}(2N,2N-1,2N+1).$
Vous avez identifié tous les outils pour rédiger. Allez-y.

Proposition de rédaction finale n°1

Il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{n\to +\infty}{u_{2n}}=\ell.$
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.
Il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\geq N,$ on ait $\ell – \varepsilon\leq u_{2n} \leq \ell + \varepsilon \text{ (Proposition A).}$
Soit $n$ un entier naturel supérieur à $2N+1.$

Cas 1 : si n est pair

$n/2$ est entier et comme $n\geq 2N+1\geq 2N$ on en déduit $n/2 \geq N$, et par (A), $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.$

Cas 2 : si n est impair

$n-1$ est pair et $n-1\geq 2N$ donc $n_1=\frac{n-1}{2}$ est un entier tel que $n_1\geq N.$ Par (A) on a donc $\ell – \varepsilon\leq u_{2n_1} \leq u_{n-1}\leq u_n$ par croissance de la suite $(u_n).$
D’autre part $n+1$ est pair et $n+1\geq 2N+2\geq 2N$ donc $n_2=\frac{n+1}{2}$ est un entier tel que $n_2\geq N.$ Par (A) et croissance de $(u_n)$ on a l’autre bout : $u_n\leq u_{n+1}\leq u_{2n_2} \leq \ell + \varepsilon$, ce qui montre qu’on a encore $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.$
On conclut : $\lim_{n\to +\infty}{u_{n}}=\ell.$

Proposition de rédaction finale n°2

Montrez que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée.
Comme la suite $(u_{2n})_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente, elle est majorée.
Il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{2n}\leq M.$
Soit maintenant $n$ un entier naturel.

Si n est pair

Considérez l’entier naturel $n_1=\frac{n}{2}$ et observez que $u_n \leq u_{2n_1} \leq M.$

Si n est impair

L’entier $n+1$ est pair. Considérez l’entier naturel $n_2=\frac{n+1}{2}$ et observez à nouveau, en utilisant la croissance de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$, que $u_n \leq u_{n+1}\leq u_{2n_2}\leq M.$
Vous venez de montrer qu’il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq M.$
La suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ étant une suite de réels croissante et majorée, elle converge.

Regardez bien le dessin. Avec 6 points rouges il y a 31 zones.

Regardez l’image.
2 points rouges partagent un cercle en 2 zones.
3 points rouges partagent un cercle en 4 zones.
Si on prend 6 points rouges, combien y aura-t-il de zones (de façon à faire le maximum de zones au sein du cercle) ?

Quel est le développement de $(a-2b)^2$ ?

Voyez les propositions de réponse, trouvez la seule qui est exacte.

Stratégies à privilégier

Quand il s’agit de trouver la bonne réponse, la stratégie la plus efficace consiste à éliminer les mauvaises réponses, plutôt que de calculer, trouver un résultat qui n’est pas proposé dans les réponses, paniquer, recommencer un développement, pour finalement se perdre en cherchant la bonne réponse.
On peut répondre à la question sans connaître la moindre identité remarquable, et sans utiliser le calcul algébrique, en faisant appel au bon sens.

Observation

Toutes les réponses paraissent compliquées. Comment les simplifier ? C’est cela le « bon sens » !
Passez en revue les 5 propositions de réponses.
\begin{aligned} \text{A. }&\  a^2-4ab+2b^2  \\ \text{B. }&\ a^2-4b^2  \\   \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2  \\ \text{D. }&\ a^2-4ab-4b^2  \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{aligned}
Choisissez $a=0.$
Vous obtienez de grandes simplifications :
\begin{aligned} \text{A. }&\  2b^2 \\ \text{B. }&\ -4b^2 \\   \text{C. }&\  4b^2 \\ \text{D. }&\ -4b^2 \\ \text{E. }&\  4b^2.\end{aligned}
Eliminez B et D car ce sont des réponses conduisant à des nombres négatifs, or l’expression de départ, qui est un carré, ne peut pas être négative. Vous tombez sur des choix restreints :
\begin{aligned} \text{A. }&\  2b^2 \\    \text{C. }&\  4b^2  \\ \text{E. }&\  4b^2.\end{aligned}
Prenez $b=1,$ cela conduit à :
\begin{aligned} \text{A. }&\  2 \\    \text{C. }&\  4  \\ \text{E. }&\  4.\end{aligned}
Recalculez avec l’expression de départ en remplaçant a par 0 et b par 1.
$(a-2b)^2=(0-2)^2 = 4$
Vous éliminez la réponse A qui ne correspond pas.

Choix final

De part l’étude précédente, pour développer $(a-2b)^2$ il reste deux possibilités :
\begin{aligned}    \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2  \\  \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{aligned}
Tout correspond sauf les termes du milieu.
Choisissez $a=1$ et $b=1.$
\begin{aligned}    \text{C. }&\ 1-4+4 = 1  \\  \text{E. }&\ 1-2+4 = 3.\end{aligned}
Les réponses étant différentes, en calculant $(a-2b)^2$ avec $a=1$ et $b=1$ vous aurez la réponse.
$(a-2b)^2=(1-2)^2=(-1)^2=1.$
La réponse E est éliminée.

Conclusion

Par élimination, vous répondez : $(a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2.$

Comment on été construites les mauvaises réponses par le ministère

L’accent est mis sur les capacités de l’élève à utiliser le calcul algébrique.

On attend de l’élève qu’il utilise la double distributivité pour développer le carré d’une différence, éventuellement à l’aide d’une identité remarquable.

Les erreurs peuvent venir de :
$a^2-4ab+2b^2$
L’élève développe correctement mais confond $(2b)^2$ avec $2b^2.$
$a^2-4b^2$
L’élève applique une fausse distributivité de la puissance sur les deux termes.
$a^2-4ab-4b^2$
L’élève développe correctement mais fait une erreur de signe sur le dernier terme.
$a^2-2ab+4b^2$
L’élève ne tient pas compte du double produit dans l’utilisation de l’identité remarquable.

On sait que $-3x=0.$ Quelle est la valeur de $x$ ?

Découvrez ici la résolution détaillée.

En dépit du $-3$, l’opération entre $-3$ et $x$ est une multiplication.
Transformez cette multiplication en division pour isoler $x.$
\begin{aligned} -3x &=0 \\ (-3)\times x &= 0\\ x&=\frac{0}{-3} \\ x&=0.\end{aligned}

Qui sont-ils ? Leurs applications dans la vie courante ?

Souvent mal compris, les entiers dits « naturels », sont ceux qui servent à compter.
On démarre à partir de 0, puis 1, puis 2, puis 3, etc vous connaissez la suite.
Mathématiquement on dit qu’un entier naturel est un entier positif.

Pourquoi compter ?

• Compter un nombre de billets,
• Compter un nombre de personnes,
• Compter un nombre de jetons,
• Compter un nombre de fruits,
• Compter un nombre d’oranges…

Pourquoi ne pas prévoir de fin quand on compte ?

On peut compter indéfiniment.
Ce n’est pas intuitif pour tout le monde.
La situation que je préfère vous citer c’est quand il s’agit de compter le nombre de grains de sable se trouvant sur une plage.
Quand vous en avez compté $3\ 452\ 876$, il y en a toujours un autre pas loin.
En mathématiques on appelle cela le successeur.
Autrement dit, les entiers « naturels » forment un ensemble infini.

Applications mathématiques

Les entiers naturels permettent de construire d’autres ensembles dont on a besoin :

• les entiers négatifs (on démontre qu’ils existent)
• les nombres décimaux
• les nombres rationnels (à rapprocher des fractions)
• les nombres réels
• les nombres complexes, avec l’existence d’un nombre dont le carré est négatif…

A partir des entiers naturels on peut aller beaucoup plus loin.

Le programme officiel appelle cela la « règle des signes ». Moins fois moins cela fait plus.

Vous avez en effet appris que :

\begin{align*} (+) \times (+) &= (+) \\ (-) \times (-) &= (+).\end{align*}

Tout cela est une recette. Or, il y a derrière une réflexion à découvrir. En effet, les mathématiques peuvent être appréhendées comme une méthode de pensée et de raisonnement, structurée et systématique.

Utilisez la notion de temps

Votre temps avec des nombres

On écrit l’avenir avec des nombres positifs.
Aujourd’hui, vous êtes à 0. Demain vous serez à 1. Après-demain vous serez à 2 et ainsi de suite.

Votre argent

Dites-vous que, tous les jours, vous gagnez 30 euros.

Combien aurez-vous d’argent après-demain ?

Vous aurez $2\times 30$ soit 60 euros de gain.

Conclusion

Si vous gagnez de l’argent tous les jours, après-demain, vous aurez gagné de l’argent.

Pourquoi du négatif multiplié par du négatif produit du positif

Cela peut sembler contre-intuitif à première vue. Mais revenez à l’interprétation précédente avec le temps et l’argent.

Votre temps avec des nombres

Aujourd’hui, vous êtes à $0$. Hier vous étiez à $-1$. Avant-hier vous étiez à $-2$. Le passé s’écrit avec des nombres négatifs.

Votre argent

Dites-vous que, tous les jours, vous perdez $30$ euros. Ce que l’on symbolise mathématiquement par le nombre $-30$. La perte est exprimée par un nombre négatif.

Combien d’argent aviez-vous avant-hier ?

Vous aviez $(-2)\times (-30).$
Hier vous aviez $30$ euros – puisqu’aujourd’hui vous n’en avez plus !
Avant-hier vous aviez $60$ euros – sur deux jours vous en avez perdus $60.$

Conclusion

Si vous perdez de l’argent tous les jours, avant-hier, vous aviez gagné de l’argent, que vous avez fini par perdre.

$x^3+ax^2+8x+5$ est un multiple de $x+1$ pour tout entier $x$. Trouvez l’entier $a.$

Ceci constitue un problème d’arithmétique portant sur les polynômes.

Utilisez le changement de variable $y=x+1.$

\begin{aligned}
x^3+ax^2+8x+5 &= (y-1)^3+a(y-1)^2+8(y-1)+5 \\
&= y^3-3y^2+3y-1+a(y^2-2y+1)+8y-3\\
&=y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a.
\end{aligned}

D’après l’énoncé, pour tout $y\in\Z$, $y$ divise $y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a$ et donc $y$ divise $a-4$.

Il s’ensuit que $a=4.$