Comment faites-vous pour justifier que $0$ est la limite de $\frac{\ln x}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
Le fil d’Ariane de la démonstration
Partez du fait que la fonction logarithme népérien est entièrement définie par l’intégrale : $\ln x = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}.$ Ensuite, vous souhaitez majorer cette expression. Pas le choix, vous partez sur une majoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}.$ Prenez les fonctions de référence polynômiales connues sur l’intervalle $[1,+\infty[.$ $\forall t\in [1,+\infty[, t^2\geq t> 0$ donc $\forall t\in [1,+\infty[, 0< \dfrac{1}{t^2}\leq \dfrac{1}{t}.$ Mince, on a une minoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}$ mais pas une majoration… à moins que… l’on utilise la racine carrée, ce qui fournit $\forall t\in [1,+\infty[, 0 < \dfrac{1}{t}\leq \dfrac{1}{\sqrt{t}}.$
On doit cette preuve à Périgal, trouvée en $1891.$ Visualisez le grand carré : son aire est égale à la somme des aires des deux petits carrés. Cela constitue le théorème de Pythagore. Vous souhaitez réaliser cette figure vous-même ? En savoir plus sur la façon de découper les motifs à l’intérieur des carrés pour les recoller ?
Une application du théorème de Pythagore : le calcul des distances
Dans des espaces dits « euclidiens », le théorème de Pythagore s’applique. Si vous connaissez les coordonnées $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ de deux points $A$ et $B$, vous pouvez calculer la distance $AB$ entre ces deux points en utilisant le résultat ci-dessous. $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$
Deux racines : pouvez-vous simplifier $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$ ?
Qu’entend-on par simplification ?
Les racines carrées peuvent se retrouver empilées dans des expressions diverses.
Comme $2\sqrt{2+\sqrt{3}}.$ Vous trouverez ci-dessous que oui, cette expression est simplifiable : on peut proposer une expression équivalente avec des racines carrées non empilées.
Quel est l’outil utilisé ?
Outre le fait d’améliorer et de développer vos capacités calculatoires, c’est un résultat important qui a été utilisé.
Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs ayant le même carré, ils sont égaux.
Il s’agit de parler de la façon d’aborder les contenus mathématiques.
Nombreux sont les contenus qui se ressemblent
Vous cherchez à résoudre une équation du second degré ? Vous recherchez une solution sur Google ? Rapidement, vous arriverez à cela :
Mais ce contenu ne fait que donner une recette de gâteau et finalement, n’explique pas grand chose. Ce qui est intéressant, ce n’est pas d’apprendre par coeur que $\Delta = b^2-4ac.$ Non, c’est de comprendre comment il apparaît. Et là cela demande du temps, de la recherche, des capacités calculatoires. L’intérêt ? La démarche est transposable ailleurs, alors que la recette s’applique dans une situation bien précise, qui elle-même n’est pas transposable, limitée… et finalement… dénuée d’intérêt, se rapprochant d’une forme de bachotage ou de bourrage de crâne.
Revenez à l’essence d’une démarche de réflexion
L’équation $-x^2+3x-2=0$ admet exactement deux solutions… Je vous propose de la résoudre. Accrochez-vous, il n’y a pas de recette miracle ici. $-x^2+3x-2=0$ est une équation difficile, parce que $x^2$ et $x$ ne sont pas regroupables. Essayer de factoriser, développer, écrire que $-x^2+3x = x(3-x)$ ne vous amènera à rien et vous fera tourner en rond. L’idée c’est que cette équation est compliquée… parce que $x$ n’est pas la bonne inconnue. Fort de ce constat, essayez de changer d’inconnue. Que prendre d’autre ? Essayez $y=x+1,$ ce qui signifie que $x=y-1.$ On en arrive à : $-(y-1)^2+3(y-1)-2=0.$ Ouch cela fait mal à la tête ? Il faut développer eh… oui, mais développer est une opération que tout le monde peut faire à condition de s’entraîner suffisamment. C’est un moyen de développer son attention et ses capacités mentales. \begin{aligned} -y^2+2y-1+3y-3-2&=0\\ -y^2+5y-6&=0. \end{aligned} Stop ! Arrêtons-nous là. On retrouve $y$ et $y^2.$ Donc on retombe sur une équation que l’on ne pourra pas résoudre. Mais en dépit des apparences, on a avancé… on est passé de $-x^2+3x-2=0$ à $-y^2+5y-6=0.$ Observez. Vous êtes passé de 3 à 5. Quoi ? Comment ça ? $3x$ est devenu $5y.$ En posant $y=x+1$ vous avez augmenté le résultat de 2 : en augmentant y de 1, le résultat augmente de 2. Peut-on passer de 3 à 0 ? Si cela se produisait, vous pourriez enfin résoudre l’équation proposée… et pour cela il vous faut chercher un peu et oser. Si vous aviez posé $y=x+2,$ vous seriez passé de 3 à 7, $3x$ serait devenu $7y$. En montant y de 2, le résultat aurait augmenté de 4. Mais vous, vous voulez baisser de 3. Il vous semble logique d’essayer de poser $y=x-1,5.$ La bonne nouvelle c’est que quand vous choisissez $y = x-1,5$ cela va effectivement fonctionner. Vérification ci-dessous.
La résolution
Posez $y=x-1,5$ alors $x = y+1,5.$ Les calculs s’enchaînent et se déroulent : \begin{aligned} -x^2+3x-2&=0\\ -(y+1,5)^2+3(y+1,5)-2&=0\\ -y^2-3y-2,25+3y+4,5-2&=0\\ -y^2+0,25&=0\\ 0,25&=y^2\\ y=0,5 &\text{ ou } y=-0,5\\ x-1,5=0,5 &\text{ ou } x-1,5=-0,5\\ x=2 &\text{ ou } x=1. \end{aligned} L’équation a donc exactement deux solutions et elle est totalement résolue.
Le constat
J’aurais très bien pu vous dire « je me suis levé ce matin, j’ai posé y=x-1,5 et ça marche ». Allez-vous me croire ? Omettre toute la démarche qui a été faite avant pour trouver une solution, c’est cela la clé, c’est cela qui est omis… La personne qui vous fait le cours et vous « balance » que $$\Delta=b^2-4ac$$ permet de résoudre toutes les équations de degré 2, c’est bien mignon… Il ne s’agit pas de montrer que ça marche, mais plutôt de comprendre ce qui se cache derrière pour le faire apparaître, ce fameux $\Delta=b^2-4ac.$
Rappelez-vous des étapes importantes qui ont permis d’avancer.
Je ne cherche pas à regrouper $x$ et $x$ au carré,
J’utilise une autre inconnue de façon à tomber sur une équation que je sais résoudre,
Je teste les changements d’inconnue, je comprends comment cela fonctionne,
Je choisis la bonne inconnue,
Je résous l’équation.
Suivez ces étapes dans le cas général et vous verrez que $\Delta=b^2-4ac$ apparaît dans les calculs.
Les mathématiques – ainsi que la physique dans une moindre mesure – s’apprennent essentiellement en pratiquant, et en augmentant progressivement le niveau de difficulté. Apprendre à calculer est essentiel dans un premier temps. Il permet de vous assurer que vous maîtrisez l’application de procédures dans un ordre donné, en étant attentif. Il ne s’agit pas de produire un résultat ; il s’agit de procéder par petites étapes successives que l’on maîtrise toutes, afin d’arriver au but. La décomposition d’un objectif en petits problèmes simples est la clé.
Se confronter à la difficulté est essentiel
Tous les comportements d’évitement sont… à éviter ! Combien fait « 1/2″ ? Vous ne vous sentez pas à l’aise avec cela ? Vous sentez l’envie pressante de prendre une calculatrice ? Vous vous trouvez des excuses en disant que « vous êtes littéraire », que « les mathématiques ne sont pas faites pour vous », que « les mathématiques ne vous aiment pas », que « vous avez toujours été en difficulté en mathématiques »… Tous ces comportements montrent qu’en fait, vous n’êtes pas à l’aise, à cause d’une notion qui n’est pas comprise.
Et pourtant, la difficulté se surmonte
Je connais peu de monde qui ne sache pas combien fait « 10/2 ». Vous savez que « 10/2 » fait 5. A partir de là vous avez la clé. Comment passe-t-on de « 10/2 » à « 1/2″ ? Un zéro de moins certes, c’est-à-dire dix fois moins. Or 10 fois moins, c’est juste décaler la virgule d’un cran sur la gauche. Vous me direz que 5 n’a pas de virgule. En fait si : $$5=5,0.$$ Une fois la virgule placée, on ne change pas le nombre en ajoutant un zéro à gauche : $$5=05,0.$$ Vous décalez cette virgule un cran à gauche et trouvez que « 1/2 » est égal à : $$0,50.$$
Ce que vous avez utilisé
Avec la calculatrice, le smartphone…
Vous obtenez la réponse sans savoir d’où elle vient, vous faites confiance à la calculatrice, au fait que vous avez bien tapé sur les touches. 3 mois plus tard, quand on vous reposera la même question, combien fait « 1/2″ ? Vous reprendrez votre calculatrice à nouveau, et ainsi de suite, du collège, au lycée, y compris après le baccalauréat.
Avec la difficulté surpassée
Vous savez d’où vient la réponse et entendre « 1/2 » vous fait sourire, on vous l’a déjà faite celle-là ! Fort de cet atout, vous développez vos compétences, parce que derrière juste le « 1/2 » c’est votre capacité à décaler la virgule que vous maîtrisez. Du coup, vous vous posez des questions ouvertes. Tiens, et « 1/4″ ? Combien cela ferait-il et pourquoi ?
Vous voulez multiplier efficacement n’importe quel nombre à deux chiffres par 8 ?
Effectuez d’abord les calculs de la forme $8\times 65$ ou $8\times 85$ dans lesquels vous vous intéressez aux nombres à deux chiffres finissant par $5.$
Les cas importants $25$ $50$ et $75$
Le résultat suivant $8\times 25 = 200$ est très important à connaître et à comprendre. Vous vous demandez d’où vient ce résultat ? C’est une technique de calcul qui utilise la multiplication par 2 et la propriété dite associative de la multiplication, qui consiste à déplacer les parenthèses.
Vous avez trouvé le résultat : $ 272 = 8\times 34.$ En prime, cet exercice renforce votre capacité à multiplier par 2.
Méthode des tables
A utiliser quand vous maîtrisez la table de 8.
\begin{align*}
8\times 3 &=24\text{, puis vous ajoutez un zéro, 240.}\\
8\times 4 &=32\text{. Et vous calculez la somme }240+32=272.
\end{align*}
Pour aller plus loin
Effectuez les opérations suivantes, en partant du chiffre de gauche, puis en allant vers la droite.
Prenez le chiffre 3 auquel vous enlevez 2 (c’est toujours ce chiffre !). Vous obtenez comme résultat 1.
Reprenez le chiffre 3. Son complément à 9 est 6. Vous doublez le tout, soit 12. Vous ajoutez le chiffre 4 (celui à côté du 3), vous avez 16. Ce qui fait 16 + 1 dizaine de l’étape 1, soit 16+10=26.
Prenez le dernier chiffre, 4. Son complément à 10 est 6. Vous doublez, 6+6 fait 12. Vous avez 12 plus 26 dizaines (résultat de l’étape 2), soit 272.
Les techniques de calcul les plus fréquentes font effectuer les calculs de la droite vers la gauche.
Le constat
Même si ces méthodes fonctionnent, il faut bien remarquer qu’elles sont pratiques pour un travail essentiellement écrit. Alors pourquoi vous allez gagner à effectuer des calculs en sens inverse, de la droite vers la gauche ?
Gagner en efficacité
Vous souhaitez développer vos capacités de calcul ? Vous voulez être à l’aise ? Vous souhaitez développer vos capacités de mémorisation ? Laissez tomber le stylo, le papier, la calculatrice, le smartphone et que sais-je.
Comment cela fonctionne, une addition de gauche à droite ?
Soit à payer 3,46 euros plus 7,67 euros. Essyez de poser le calcul en situation. Ce n’est guère pratique dans la vie courante. L’utilisation du smartphone permet de s’en sortir à court terme mais ne permet en aucun cas de progresser et encore moins de développer un sentiment de confiance en soi. Déjà enlevez la virgule on n’en a pas besoin. Additionnez plutôt 346 avec 767. Effectuez le découpage suivant 346=34/6 et 767=76/7. Vous effectuez très rapidement les deux additions : \begin{aligned} 34 + 76 &= 110\\ 6 + 7 &= 13. \end{aligned} Le dernier calcul donne 1 de retenue à additionner à 110, résultat du premier découpage, suivi du chiffre 3. $ 346 + 727 = 1113.$ Vous remettez la virgule et concluez : $3,46 + 7,67 = 11,13.$
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