Soit à résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $x^3+x^2+x+2 = 0.$
Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant qu’il existe un réel $x$ fixé dans toute la suite, tel que :
x^3+x^2+x+2 = 0.
Effectuez un changement de variable du second degré
Ne sachant pas pour le moment quel polynôme du second degré en $x$, vous choisissez un polynôme comportant des coefficients petits et posez $y=x^2+x+1$ avant de trouver une équation satisfaite par $y$, espérant qu’elle soit plus simple que celle de départ.
La variable $y$ s’exprime déjà comme un polynôme du second degré en $x.$ Vous allez constater qu’il en est de même pour $y^2$ et $y^3.$
Développez $y^2$ en utilisant l’identité remarquable $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ :
Vous avez déduit que $y$ est solution de l’équation suivante :
y^3-y^2+2y-4=0.
Cependant, cette nouvelle équation semble aussi difficile à résoudre que celle de départ.
Le changement de variable $y=x^2+x+1$ n’est par conséquent pas le bon.
Prolongement
Calculez la valeur du produit $xy$ et déduisez-en une autre façon de procéder pour retrouver l’équation de degré $3$ ci-dessus satisfaite par $y.$
Quel changement de variable de la forme $y=x^2+ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer, effectueriez-vous pour obtenir une équation de degré $3$ en $y$ qui soit plus simple que celle trouvée ci-dessus ?
Le contenu écrit dans l'article 256 a montré que les intégrales $\int_{0}^{+\infty} x^{n+2}\e^{-x^2}\dx$, $\int_{0}^{+\infty} x^{n+1}\e^{-x^2}\dx$ et $\int_{0}^{+\infty} x^{n}\e^{-x^2}\dx$ sont convergentes.
Remarquez que pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto x^n\e^{-x^2}$ est positive sur l’intervalle $[0,+\infty[.$
Par conséquent, l’intégrale $I_n$ est bien définie. Elle est égale à ce stade à un réel positif, ou bien à $+\infty.$
Etablissez la convergence de l’intégrale $I_n$
Soit $n$ un entier naturel.
Pour justifier que l’intégrale $I_n$ n’est pas égale à $+\infty$ vous pouvez utiliser des majorations.
Partez du fait que l’exponentielle domine tous les polynômes de n’importe quel degré, en particulier le degré $n+2$, ce qui s’écrit ainsi $\lim_{x\to +\infty} \frac{\e^x}{x^{n+2}} = +\infty.$ Vous déduisez que $\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{n+2}}{\e^x} = 0$ ce qui donne $\lim_{x\to +\infty} x^{n+2}\e^{-x} = 0.$
Par conséquent, il existe un réel $A>0$ tel que:
\begin{align*}
\forall x\geq A &, x^{n+2}\e^{-x}\leq 1 \\
\forall x\geq A &, x^{n}\e^{-x}\leq \frac{1}{x^2}.
\end{align*}
Posez $B = A+1.$
Soit maintenant $x$ un réel tel que $x\geq B.$ Comme $x\geq 1$ il vient $x^2\geq x$ donc $-x^2 \leq -x$ et $\e^{-x^2} \leq \e^{-x}.$ Vous déduisez que:
Via $\lim_{M\to +\infty} M^n\e^{-M} = 0$ et le théorème des gendarmes, vous déduisez $\lim_{M\to +\infty} M^n\e^{-M^2} = 0.$
D’autre part, $\lim_{M\to + \infty} \int_{0}^{M} x^{n}\e^{-x^2}\dx = I_n$ et $\lim_{M\to + \infty} \int_{0}^{M} x^{n+2}\e^{-x^2}\dx = I_{n+2}$ du coup en passant à la limite quand $M\to +\infty$ il vient $I_n = \frac{2}{n+1}I_{n+2}.$
Vous aboutissez à la relation de récurrence suivante :
Vous allez effectuer les calculs en fonction de l’intégrale de Gauss : $I = \int_{0}^{+\infty} \e^{-x^2}\dx.$ La valeur définitive de cette intégrale sera déterminée dans l'article 257.
Partez de la relation de récurrence $\forall n\in\N, I_{n+2} = \frac{n+1}{2}\times I_n.$
Vous obtenez successivement :
\begin{align*}
I_2 &=\frac{1}{2}\times I \\
I_4 &=\frac{3}{2}\times I_2 \\
&= \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}\times I \\
&= \frac{ 4!}{4\times 2\times 2^2}\times I \\
&= \frac{4!}{2!\times 2^4}\times I\\
I_6 &=\frac{5}{2}\times I_4 \\
&=\frac{5}{2}\times \frac{4!}{2!\times 2^4}\times I \\
&= \frac{5!}{2!\times 2^5}\times I\\
&=\frac{6!}{6\times 2!\times 2^5}\times I \\
&= \frac{6!}{3\times 2!\times 2^6}\times I \\
&= \frac{6!}{3\times 2!\times 2^6}\times I\\
&= \frac{6!}{3!\times 2^6}\times I.
\end{align*}
Ces calculs préliminaires étant effectués, vous êtes prêts à généraliser le tout en lançant une récurrence.
Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $I_{2n} = \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I.$ »
Initialisation. Pour $n=0$, $I_0 = I.$ D’autre part $ \frac{(2\times 0)!}{0! \times 2^{2\times 0}}\times I = 1\times I = I.$
Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n)$.
Vous avez alors :
\begin{align*}
I_{2n+2} &= \frac{2n+1}{2}\times I_{2n} \\
&= \frac{2n+1}{2}\times \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I \\
&= \frac{2n+2}{2n+2}\times \frac{2n+1}{2}\times \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{(2n+2)\times n! \times 2^{2n+1}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{2(n+1)\times n! \times 2^{2n+1}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{(n+1)\times n! \times 2^{2n+2}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \times 2^{2n+2}}\times I.
\end{align*}
Ainsi avec $\boxed{I = \int_{0}^{+\infty} \e^{-x^2}\dx}$ vous avez :
Dans le prolongement du contenu rédigé dans l'article 254, vous allez commencer par une majoration en suivant une démarche similaire.
Etablissez une majoration d’une intégrale
Soit $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez majorer l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ qui est égale à $\ln(n+1)-\ln n.$
Considérez la figure suivante, dans laquelle la courbe $\mathscr{C}$ représente la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}.$
Dans cette figure, le point $A$ admet pour coordonnées $(n,0).$
Le point $B$ admet pour coordonnées $(n+1,0).$
Le point $C$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n+1,\frac{1}{n+1}\right).$
Le point $D$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n,\frac{1}{n}\right).$
La convexité de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur l’intervalle $]0,+\infty[$ permet de déduire que l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ est majorée par l’aire du trapèze rectangle $ABCD.$
Des égalités : $AD = \frac{1}{n}$ et $BC = \frac{1}{n+1}$ vous déduisez:
Par conséquent la suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ est croissante.
Or, la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente vers un réel $\ell.$ Comme $\lim_{n\to +\infty} \e^{\frac{-1}{4n}} = 1$ vous déduisez que la suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ converge aussi vers $\ell.$
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ étant décroissante et convergente vers $\ell$ vous déduisez $\forall n\in\NN, u_n \geq \ell.$
La suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ étant croissante et convergente vers $\ell$ vous déduisez $\forall n\in\NN, u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \leq \ell.$
Vous avez montré qu’il existe un réel $\ell$ tel que, pour tout $n\in\NN$ :
En définitive de cette section, vous avez montré qu’il existe un nombre $\ell\in\left[\e^{\frac{3}{4}}, \e\right]$ ($\ell$ est ainsi strictement positif) tel que :
D’après le contenu rédigé dans l'article 253 le nombre $\pi$ est obtenu par la limite de la suite suivante définie avec des factorielles (appelée formule de Wallis) :
Soit maintenant $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez forcer l’apparition du nombre $\ell$ donc vous préparez le tout en rajoutant des éléments inspirés de la limite donnant $\ell$ :
Le but de cette série d’articles est de présenter une approche permettant de faire apparaître la formule de Stirling.
Vous allez partir de la fonction inverse $x\mapsto \frac{1}{x}$ qui est la dérivée de la fonction logarithme népérien $x\mapsto \ln x$ et utiliser ses propriétés pour en déduire une inégalité faisant apparaître une factorielle.
Etablissez une minoration d’une intégrale
Soit $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez minorer l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ qui est égale à $\ln(n+1)-\ln n.$
Considérez la figure suivante, dans laquelle la courbe $\mathscr{C}$ représente la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}.$
Le point $A$ admet pour coordonnées $(n,0).$
Le point $B$ admet pour coordonnées $(n+1,0).$
Le point $I$, milieu du segment $[AB]$ admet pour coordonnées $\left(n+\frac{1}{2},0\right).$
Le point $E$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n,\frac{1}{n}\right).$
Le point $F$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n+1,\frac{1}{n+1}\right).$
Le point $J$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n+\frac{1}{2},\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)$ c’est-à-dire $\left(n+\frac{1}{2}, \frac{2}{2n+1}\right).$
La droite $(CD)$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $J$ qui a pour abscisse $n+\frac{1}{2}.$
Le coefficient directeur de cette tangente est $m = \frac{-1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}.$
L’aire du trapèze $ABCD$ est inférieure ou égale à $\ln(n+1)-\ln n$ étant donné que la fonction $x\mapsto \frac{1}{x^2}$ est convexe sur l’intervalle $]0,+\infty[.$
Vous simplifiez cette écriture en supprimant les fractions empilées:
Cela vous invite à poser $\boxed{\forall n\in\NN, u_n = n! \e^n n^{-n-\frac{1}{2}}.}$ La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est strictement positive, elle est minorée par $0.$
D’après le résultat établi ci-dessus, $\forall n\in\NN, 1\leq \frac{u_n}{u_{n+1}}$ donc la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est décroissante.
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ étant décroissante et minorée il en résulte qu’elle converge.
Prolongement
Pour accéder à la formule de Stirling, allez jeter un oeil dans le contenu rédigé dans l'article 255.
Application avec un ordinateur. Pour $n=493$ vous trouverez l’encadrement suivant $3,140<\pi<3,144.$ La formule de Wallis n’est en pratique pas adaptée pour calculer efficacement les décimales de $\pi.$
Prolongement
En utilisant la formule de Wallis et en admettant qu’il existe une constante strictement positive $C$ telle que :
Vous noterez alors $E$ l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la suite $\left(e_n(x)\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel strictement positif. Pour tout $x\in E$ vous posez $e(x) = \lim_{n\to +\infty} e_n(x).$
Dans le contenu écrit dans l'article 250 il a été démontré que l’intervalle $[0,1[$ est inclus dans l’ensemble $E$ et que $e(0)=1.$
Il sera établi dans cet article que $E = \R$ en établissant que $E$ est stable par passage à l’opposé et stable par addition.
Des propriétés algébriques seront démontrées à partir d’un lemme important.
Lemme : pour toute suite $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ qui converge vers $0$, la suite $\left(\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n\right)_{n\geq 1}$ converge vers $1$
Soit $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ une suite qui converge vers $0.$
Il existe donc un entier $N\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq N$, $\varepsilon_n \in [-1/2, 1/2].$
Fixez un entier $n$ supérieur ou égal à $N$ et utilisez la formule du binôme :
Comme $\varepsilon_n \in [-1/2, 1/2]$ il vient $\left\vert \varepsilon_n \right\vert \leq 1/2$ et par suite $1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert \geq 1/2$ et donc $\frac{1}{1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert } \leq 2.$
Vous avez donc démontré qu’il existe un entier $N\geq 1$ tel que, pour tout entier $n\geq N$ :
Comme la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers $e(x)$ qui est non nul, il existe un entier $N\geq 1$ tel que :
\forall n\geq N, e_n(x) \neq 0.
Vous déduisez donc que :
\begin{align*}
\forall n\geq N, e_n(-x) &= \frac{\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n}{e_n(x)}.
\end{align*}
En vertu du lemme de cet article, $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n = 1.$
Comme $\lim_{n\to +\infty} e_n(x) = e(x)$ avec $e(x) \neq 0$, vous déduisez par quotient de limites que :
\lim_{n\to +\infty} e_n(-x) = \frac{1}{e(x)}.
La suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ converge vers $\frac{1}{e(x)}.$ Comme $e(x)$ est strictement positif, il en est de même de $\frac{1}{e(x)}.$ La suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif, donc $-x\in E.$
La limite de la suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ est notée $e(-x)$ et par conséquent $e(-x) = \frac{1}{e(x)}.$
Vous déduisez de ce paragraphe que :
\boxed{\forall x\in E, -x\in E \text{ et } e(x)e(-x)=1.}
Quels que soient $x\in E$ et $y\in E$, le réel $x+y$ appartient à $E$ et $e(x+y)=e(x)e(y)$
Soit un couple $(x,y)\in E^2.$
Il existe donc deux réels strictement positifs, $e(x)$ et $e(y)$ tels que :
Comme $e(x)$ et $e(y)$ sont strictement positifs, il en est de même de $e(x)e(y).$ La suite $(e_n(x+y))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif qui est égal à $e(x)e(y).$
De ce qui précède, vous déduisez que :
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, x+y\in E\text{ et } e(x+y)=e(x)e(y).}
Montrez que $\forall x\in\R, x\in E$
Dans le contenu écrit dans l'article 250 il a été démontré que l’intervalle $[0,1[$ est inclus dans l’ensemble $E.$ Dans l’article courant, il a été montré que l’ensemble $E$ est stable par addition et par passage à l’opposé.
Montrez d’abord que $\forall n\in\N, n\in E$
Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $n\in E.$ »
Initialisation. Comme $0\in [0,1[$ et comme $[0,1[\subset E$ il vient $0\in E$ donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $n\in E.$
Remarquez que $1/2 \in [0,1[.$ Comme $[0,1[\subset E$ il vient $1/2\in E.$
$E$ étant stable par addition, $1/2 + 1/2 \in E$ donc $1\in E.$
Comme $n\in E$ et comme $1\in E$, la stabilité par addition de $E$ permet d’obtenir $n+1\in E$ donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.
Conclusion. Vous avez établi par récurrence que $\forall n\in\N, n\in E.$
Montrez ensuite que $\forall n\in\Z, n\in E$
Soit $n\in \Z.$ Si $n\in\N$ alors vous avez déjà $n\in E.$
Si $n\notin \N$ vous déduisez $-n\in \N$, or $\N \subset E$ donc $-n \in E.$
Comme $E$ est stable par passage à l’opposé, vous déduisez $-(-n)\in E$ d’où $n\in E.$
Ainsi $\forall n\in\Z, n\in E.$
Montrez enfin que $\forall x\in\R, n\in E$
Soit $x$ un nombre réel. Notez $n$ la partie entière de $x$, à savoir le plus grand entier qui est inférieur ou égal à $x.$
Alors $n\leq x < n+1$ donc $x-n\in[0,1[.$ Comme $[0,1[\subset E$ vous déduisez $x-n\in E.$
Comme $n$ est un entier, l’inclusion $\Z\subset E$ permet d’en déduire que $n\in E.$
$E$ étant stable par addition, $(x-n)+n\in E$ c’est-à-dire $x\in E.$
Concluez
Quel que soit le réel $x$, $x$ appartient à $E$ donc pour tout réel $x$, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif qui est noté $e(x).$
Remarque. D’après ce qui précède, la suite $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre strictement positif qui est $e(1).$ Par convention, on note $\e$ le nombre égal à $e(1).$ Cela permet d’écrire que:
Vous noterez alors $E$ l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la suite $\left(e_n(x)\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel strictement positif. Pour tout $x\in E$ vous posez $e(x) = \lim_{n\to +\infty} e_n(x).$
Etudiez la croissance de la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ lorsque $x$ est positif
Soit $x$ un nombre réel positif ou nul.
Emettez une conjecture en calculant les valeurs approchées des coefficients de $e_4(x)$, $e_5(x)$ et $e_6(x)$
Comme $0,0000214335x^6$ est positif, comme $0,0{}00771605>0,00{}032\comma$ puis $0,0115741>0,008\comma$ puis $0,0925926>0,08\comma$ puis $0,416667 >0,4\comma$ vous pouvez émettre la conjecture suivante : pour tout réel $x$ positif, il semble que la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ soit croissante.
Néanmoins, il convient de proposer une méthode généralisable.
Démontrez que pour tout réel $x$ positif, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est croissante
Soit $x$ un réel positif fixé.
Fixez un nombre entier $n$ supérieur ou égal à $1.$
L’inégalité $e_{n+1}(x) \geq e_n(x)$ sera acquise si la condition suffisante $\forall k\in\llbracket 0,n \rrbracket, \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$ est vérifiée.
Pour déterminer une condition équivalente à celle ci-dessus, vous remarquez que :
Or, l’inégalité $\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k$ est vérifiée comme étant une conséquence du lemme de Bernoulli que vous trouverez dans l'article 187.
Démontrez que pour tout $x\in[0,1[\comma$ la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est majorée
Ramenez-vous à la somme d’une suite géométrique
Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0,1[.$
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vv{i}, \vv{j})$ vous considérez l’ensemble $\mathscr{P}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ qui satisfont l’équation suivante :
x^2-4xy+4y^2-12x-6y-39=0.
Dans ce qui suit vous allez justifier que l’ensemble $\mathscr{P}$ est une parabole dont vous préciserez les coordonnées de son sommet et celles de son foyer.
Eliminez le fait que l’ensemble $\mathscr{P}$ ne soit pas à centre
Le début de l’équation formé par les termes de degré $2$ à savoir :
Le changement d’origine du repère ne semble pas adapté en première intention.
Vous allez donc continuer mais en effectuant une rotation du repère.
Effectuez une rotation
Soit $\theta$ un nombre réel qui sera choisi plus tard. Appliquez une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ vis-à-vis du repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ vous obtenez un nouveau repère orthonormé $(O, \vv{u}, \vv{v}).$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v}).$ Vous avez les relations suivantes :
Ce choix de $\theta$ conduirait à une équation qui commencerait par $5Y^2+\dots X +\dots Y – 39=0$ ce qui est possible à étudier, mais vous préférerez avoir plutôt une équation de la forme $Y=f(X)$ ce qui conduit à chercher à annuler le terme en $Y^2.$
Pour y parvenir, vous prenez l’autre possibilité pour l’angle $\theta.$
Effectuez le choix $\theta = \frac{\varphi+\pi}{2}$
Il a été vu plus haut que $ \varphi \in ]0, \pi/2[$ d’où $ \varphi +\pi \in ]\pi, 3\pi/2[$ et donc $ \frac{\varphi +\pi}{2} \in ]\pi/2, 3\pi/4[ \subset ]\pi /2 , \pi[.$ Ainsi $\theta \in ]\pi /2 , \pi[$ donc $\cos \theta < 0.$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère original $(O, \vv{i}, \vv{j})$ puis notez $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ obtenu en faisant subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation d’angle $\theta\in ]\pi/2, \pi[$ tel que $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ et $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
Vous avez alors obtenu les équivalences suivantes valables pour tout point $M$ du plan :
Cette équation est de la forme $Y’ = \frac{X’^2}{4p}$ où :
\begin{align*}
4p &= \frac{-6}{\sqrt{5}}\\
2p &=\frac{-3}{\sqrt{5}}\\
p &=\frac{-3\sqrt{5}}{10}.
\end{align*}
Ainsi l’ensemble $\mathscr{P}$ est la parabole de sommet $S$ et de foyer $F$, où $F$ est le point de coordonnées $\left(0, \frac{-3\sqrt{5}}{10}\right)$ dans le repère $(S, \vv{u}, \vv{v}).$
Déterminez les coordonnées du sommet $S$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$
Quand vous choisissez le point $S$, vous avez obtenu comme coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ :
Dans un repère orthonormé $(O, \vv{i}, \vv{j})$ considérez la droite $\mathscr{D}_1$ d’équation $y =x+2$ et la droite $\mathscr{D}_2$ d’équation $y=-2x+4.$
Soit $A(4,3)$ un point du plan n’appartenant ni à la droite $\mathscr{D}_1$, ni à la droite $\mathscr{D}_2.$
Vous obtenez le schéma suivant :
Déterminez une équation de la réunion des deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$
Pour tout point $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j}):$
Déterminez une équation du second degré satisfaite par les coordonnées du point $A$
Quand vous choisissez $A$, vous avez $x=4$ et $y=3.$
Comme $A$ n’appartient ni à la droite $\mathscr{D}_1$, ni à la droite $\mathscr{D}_2$ en remplaçant dans l’équation obtenue précédemment, vous ne trouverez pas $0.$ Calculez précisément ce que vous obtenez :
Soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ satisfaisant l’équation :
\boxed{2x^2-xy-y^2+6y-29=0.}
Les calculs précédents montrent que $A\in\mathscr{H}.$
Vous allez prouver que $\mathscr{H}$ est une hyperbole qui admet les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ pour asymptotes.
Changez d’origine
Cherchez le point d’intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et des droites $\mathscr{D}_2.$ Cela conduit à la résolution du système :
\begin{align*}
x-y &=-2\\
2x+y&=4.
\end{align*}
La somme des deux lignes fournit $3x = 2$ donc $x = \frac{2}{3}.$
Puis $y=x+2$ donc $y=\frac{2}{3}+2$ d’où $y=\frac{8}{3}.$
Ainsi le point $\Omega\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right)$ est bien le point d’intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$
Pour tout point $M$ du plan vous notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ et $(x’,y’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{i}, \vv{j}).$
Les relations suivantes traduisent ce changement :
Note. Vous constatez que vous obtenez une équation qui commence par les mêmes termes que l’équation initiale, sans les termes de degré $1.$
Comme l’équation de l’ensemble $\mathscr{H}$ diffère d’un terme constant par rapport à l’équation proposée de $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2$ vous obtenez :
Soit $\theta$ un nombre réel que vous choisirez plus tard. Faites subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation de l’angle $\theta$ ce qui fournit une nouvelle base $(\vv{u},\vv{v}).$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x’,y’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{i}, \vv{j})$. Notez $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{u}, \vv{v}).$
Le lien entre $(x’,y’)$ et $(X,Y)$ est le suivant :
Note. Excepté le membre de droite, vous constatez que l’ensemble $\mathscr{H}$ et la réunion $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2$ admettent des termes strictement identiques.
Choisissez convenablement l’angle de rotation
Le point clé est de choisir le réel $\theta$ afin d’annuler le terme croisé. Vous cherchez donc $\theta\in\R$ tel que :
Comme le point de coordonnées $\left(\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ appartient au cercle trigonométrique, il existe un réel $\varphi \in]-\pi, \pi]$ tel que :
Ainsi, l’ensemble $\mathscr{H}$ est bien une hyperbole, dont les asymptotes sont les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$
Tracez l’hyperbole $\mathscr{H}$ et ses asymptotes
Numériquement, $a\approx 3,18$ et $b\approx 4,41.$
L’égalité $c^2=a^2+b^2$ permet de placer les foyers $F$ et $F’$ sur l’axe transversal qui passe par le point $\Omega$ étant donné que $c = \Omega F = \Omega F’$ et que $\Omega$ est le milieu du segment $[FF’].$
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