Si $\frac{3x^2+4x}{2x+9}=5$ que vaut $x$ ?
Puisqu’il est demandé de résoudre :
$ \frac{3x^2+4x}{2x+9}=5$
on déduit successivement :
\begin{aligned}
3x^2+4x &=5(2x+9)\\
3x^2+4x&=10x+45\\
3x^2-6x&=45\\
x^2-2x&=15\\
x^2-2x+1&=16\\
(x-1)^2&=16\\
\end{aligned}
D’où
$x-1=4 \text{ ou }x-1=-4,$ soit $x=5 \text{ ou } x=-3.$
C’est un excellent exercice qui améliore vos capacités.
Vous souhaitez calculer $8\times 34$ sans y passer trop de temps ?
Prenez 34 et vos additions.
Calculez successivement :
\begin{align*}
34+34 &= 68\\
68+68 &= 136\\
136+136 &= 272.
\end{align*}Vous avez trouvé le résultat : $ 272 = 8\times 34.$
En prime, cet exercice renforce votre capacité à multiplier par 2.
A utiliser quand vous maîtrisez la table de 8.
\begin{align*}
8\times 3 &=24\text{, puis vous ajoutez un zéro, 240.}\\
8\times 4 &=32\text{. Et vous calculez la somme }240+32=272.
\end{align*}Effectuez les opérations suivantes, en partant du chiffre de gauche, puis en allant vers la droite.
Les techniques de calcul les plus fréquentes font effectuer les calculs de la droite vers la gauche.
Même si ces méthodes fonctionnent, il faut bien remarquer qu’elles sont pratiques pour un travail essentiellement écrit.
Alors pourquoi vous allez gagner à effectuer des calculs en sens inverse, de la droite vers la gauche ?
Vous souhaitez développer vos capacités de calcul ? Vous voulez être à l’aise ? Vous souhaitez développer vos capacités de mémorisation ? Laissez tomber le stylo, le papier, la calculatrice, le smartphone et que sais-je.
Soit à payer 3,46 euros plus 7,67 euros.
Essyez de poser le calcul en situation. Ce n’est guère pratique dans la vie courante. L’utilisation du smartphone permet de s’en sortir à court terme mais ne permet en aucun cas de progresser et encore moins de développer un sentiment de confiance en soi.
Déjà enlevez la virgule on n’en a pas besoin.
Additionnez plutôt 346 avec 767.
Effectuez le découpage suivant 346=34/6 et 767=76/7.
Vous effectuez très rapidement les deux additions :
\begin{aligned}
34 + 76 &= 110\\
6 + 7 &= 13.
\end{aligned}
Le dernier calcul donne 1 de retenue à additionner à 110, résultat du premier découpage, suivi du chiffre 3.
$ 346 + 727 = 1113.$
Vous remettez la virgule et concluez :
$3,46 + 7,67 = 11,13.$
Si $x+y=2$ et si $x^2+y^2=2$, quelle est la valeur de $xy$ ?
Trouvez une proposition de réponse qui commence naturellement, sans chercher une astuce de calcul.
Vous pensez que « chiffre » et « nombre » sont synonymes. Pourtant, il n’en est rien. Explications.
Vous connaissez les 10 chiffres usuels : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Un nombre désigne un ensemble de chiffres écrits bout à bout.
356 est un nombre à 3 chiffres, comportant 3 centaines, 5 dizaines et 6 unités.
1540 est un nombre à 4 chiffres, comportant 1 millier, 5 centaines, 4 dizaines et 0 unité.
Un nombre peut aussi ne comporter qu’un seul chiffre.
Le système précédent où il y a 10 chiffres s’appelle le système des nombres écrits en base 10. Dans cette base, il y a 10 chiffres. Rien n’interdit de travailler dans une autre base. Je vais citer les plus courantes, dont les applications se trouvent en informatique.
C’est un système dans lequel il n’y a que deux chiffres, 0 et 1.
En écrivant les nombres en commençant par 0, on obtient 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 et ainsi de suite.
Ce système est dit binaire parce qu’il n’existe que deux chiffres. L’avantage de ce système c’est que la table d’addition et de multiplication sont très simples. L’inconvénient c’est qu’un nombre en base 2 s’écrit avec beaucoup trop de chiffres en général.
Dans ce système, il y a 16 chiffres. Ne disposant pas d’assez de symboles, on utilise les lettres A, B, C, D, E et F, que l’on considère comme des « chiffres » supplémentaires. En base 16, les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
L’avantage de ce système c’est qu’il permet d’écrire la base 2 de façon plus condensée et plus lisible. L’adresse d’une carte réseau avec la nouvelle norme IPV6 ressemble à ceci.
Elle est écrite dans le système en base 16.
Les professionnels du réseau maîtrisent parfaitement ce système.
Vous buttez à faire apprendre à vos enfants âgés autour de 7 ans les tables de multiplication ? Comment les aider sans vous prendre la tête ?
Le programme prévoit d’apprendre par coeur et sur le bout des doigts le tableau ci-dessous :
Les multiplications qui vont poser problème le plus souvent, ce sont les tables de 3, de 7 et de 9. Combien de fois ai-je rencontré le même élève de 13 ans qui prenait une mine dépitée à chaque fois qu’il avait affaire à 3 fois 6 ?
Je vous recommande d’utiliser une application mobile qui permet de pratiquer les tables, encore et encore, avec un système de récompenses et de scores. Tout y est : vous pouvez choisir vos tables, le temps mis allant de 45 secondes à 2 minutes environ.
L’enfant joue en toute autonomie avec son application. Elle mémorise les erreurs et permet de retravailler dessus ultérieurement.
Evitez de vous offusquer quand le résultat d’une multiplication est évident pour vous mais pas pour votre enfant. C’est un apprentissage qui prend du temps sur plusieurs mois.
Le travail de mémorisation devient rapidement fastidieux et inefficace, il est perçu comme rebutant et vous aurez toujours affaire à la question « mais à quoi ça sert puisque mon téléphone le fait ? »
Les tables de multiplication ne sont pas une affaire de mémorisation, mais une question de technique et de capacité de calcul.
Quand une personne cherche le résultat de 3 fois 7, il s’agit de l’encourager à trouver toutes les techniques permettant :
Bien connaître les tables de multiplication, c’est montrer sa capacité à résoudre des problèmes, ce qui constitue une grande partie de la démarche mathématique.
Vous connaissez généralement bien ceux qui vont de 1 à 10, ceux de 11 ou 12, après, cela se corse.
Pour éviter de les apprendre par coeur, rien de tel que la manipulation par une application mobile ludique, elle permet de s’en souvenir sans s’en rendre compte, les progrès sont rapides et motivants.
Dans de nombreux livres d’enseignement supérieur vous verrez que le calcul mental est essentiel parce que la calculatrice est interdite dans 90 % des concours.
Vous devez pousser vos connaissances jusqu’à être à l’aise jusqu’à 25. Dur dur ? Pas tant que ça.
\begin{aligned}
1^2 &= 1\\
2^2 &= 4\\
3^2 &= 9\\
4^2 &= 16\\
5^2 &= 25\\
6^2 &= 36\\
7^2 &= 49\\
8^2 &= 64\\
9^2 &= 81\\
10^2 &= 100
\end{aligned}
\begin{aligned}
11^2 = 121\\
12^2 = 144\\
13^2 = 169\\
14^2 = 196\\
15^2 = 225\\
16^2 = 256\\
17^2 = 289\\
18^2 = 324\\
19^2 = 361\\
20^2 = 400.
\end{aligned}
$21^2 = 441$
$22^2 = 484$
$23^2 = 529$
$24^2 = 576$
$25^2 = 625.$
Vous pouvez utiliser l’astuce suivante si vous savez que $15^2 = 225$ et que vous cherchez $17^2.$
Vous prenez la somme $15+17=32$ et vous la multipliez par l’écart entre $17$ et $15$, soit $2.$ Vous avez $32\times 2 =64$.
Vous ajoutez $64$ à $225$ et vous obtenez $17^2 = 289.$
Cela est dû à l’identité algébrique remarquable suivante :
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$a^2 = (a-b)(a+b)+b^2$
$17^2 = 2\times (15+17)+15^2$
$23^2 = 25^2 – 2\times (23+25)$
$24^2 = 25^2 – (24+25).$
La réponse est oui.
Prenez un nombre de deux chiffres au hasard, 72.
Multipliez-le par 9 : $72\times 9 = 648.$
Faites la somme des chiffres $6+4+8 = 18$ et $1+8=9.$
Vous tomberez toujours sur 9.
Cela semble incroyable et surprenant.
Quand vous prenez un nombre à deux chiffres comme 72, il comporte 7 dizaines et 2 unités.
Cela s’écrit ainsi mathématiquement : $72 = 7\times 10 + 2.$
Faites de même pour le résultat, c’est un nombre à 3 chiffres. Notez $c$ le nombre de centaines, $d$ le nombre de dizaines, et $u$ le nombre d’unités.
Vous avez $72\times 9 = 100c+10d+u$.
C’est là que l’algèbre va servir.
Remarquez que :
$100c = 99c+c$
et que :
$10d = 9d+d$
Vous avez :
$72\times 9 = 99c+9d+c+d+u$ puis
$72\times 9 -99c-9d = c+d+u$ puis
$9\times (72-11c-d)= c+d+u$.
Faites abstraction du membre de gauche et observez que la somme des chiffres $c+d+u$ est un multiple de 9.
Or, $c$, $d$ et $u$ sont des chiffres, ils sont tous inférieurs ou égaux à 9. La somme $c+d+u$ est inférieure ou égale à $9+9+9=27.$
Ces remarques limitent grandement le nombre de possibilités. Des nombres inférieurs ou égaux à 27 qui sont dans la table de 9, il n’en reste que trois : 9, 18 et 27.
Si la somme des chiffres vaut 9, c’est fini.
Si la somme des chiffres vaut 18, vous refaites la somme, vous trouvez $1+8=9$.
Si la somme des chiffres vaut 27, vous refaites la somme, vous trouvez $2+7=9$.
On tombe toujours sur 9 comme annoncé.
C’est une méthode utilisée pour casser les codes RSA, quand les nombres premiers sont de tailles à peu près identiques.
On dispose de la méthode de Lenstra, par les courbes elliptiques, celles qui ont permis de démontrer le gros théorème de Fermat.
Elles sont beaucoup plus rapides que celles consistant à effectuer des divisions successives (crible d’Erathostène…)
li y en a beaucoup. On peut commencer avec des espaces utilisant les fonctions.
Par exemple l’ensemble des polynômes à coefficients réels $\R[X]$, l’ensemble des fonctions réelles continues sur $[0,1]$ et bien d’autres.
