Regardez l’image.
2 points rouges partagent un cercle en 2 zones.
3 points rouges partagent un cercle en 4 zones.
Si on prend 6 points rouges, combien y aura-t-il de zones (de façon à faire le maximum de zones au sein du cercle) ?
Quel est le développement de $(a-2b)^2$ ?
Voyez les propositions de réponse, trouvez la seule qui est exacte.
Quand il s’agit de trouver la bonne réponse, la stratégie la plus efficace consiste à éliminer les mauvaises réponses, plutôt que de calculer, trouver un résultat qui n’est pas proposé dans les réponses, paniquer, recommencer un développement, pour finalement se perdre en cherchant la bonne réponse.
On peut répondre à la question sans connaître la moindre identité remarquable, et sans utiliser le calcul algébrique, en faisant appel au bon sens.
Toutes les réponses paraissent compliquées. Comment les simplifier ? C’est cela le « bon sens » !
Passez en revue les 5 propositions de réponses.
\begin{aligned} \text{A. }&\ a^2-4ab+2b^2 \\ \text{B. }&\ a^2-4b^2 \\ \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2 \\ \text{D. }&\ a^2-4ab-4b^2 \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{aligned}
Choisissez $a=0.$
Vous obtienez de grandes simplifications :
\begin{aligned} \text{A. }&\ 2b^2 \\ \text{B. }&\ -4b^2 \\ \text{C. }&\ 4b^2 \\ \text{D. }&\ -4b^2 \\ \text{E. }&\ 4b^2.\end{aligned}
Eliminez B et D car ce sont des réponses conduisant à des nombres négatifs, or l’expression de départ, qui est un carré, ne peut pas être négative. Vous tombez sur des choix restreints :
\begin{aligned} \text{A. }&\ 2b^2 \\ \text{C. }&\ 4b^2 \\ \text{E. }&\ 4b^2.\end{aligned}
Prenez $b=1,$ cela conduit à :
\begin{aligned} \text{A. }&\ 2 \\ \text{C. }&\ 4 \\ \text{E. }&\ 4.\end{aligned}
Recalculez avec l’expression de départ en remplaçant a par 0 et b par 1.
$(a-2b)^2=(0-2)^2 = 4$
Vous éliminez la réponse A qui ne correspond pas.
De part l’étude précédente, pour développer $(a-2b)^2$ il reste deux possibilités :
\begin{aligned} \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2 \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{aligned}
Tout correspond sauf les termes du milieu.
Choisissez $a=1$ et $b=1.$
\begin{aligned} \text{C. }&\ 1-4+4 = 1 \\ \text{E. }&\ 1-2+4 = 3.\end{aligned}
Les réponses étant différentes, en calculant $(a-2b)^2$ avec $a=1$ et $b=1$ vous aurez la réponse.
$(a-2b)^2=(1-2)^2=(-1)^2=1.$
La réponse E est éliminée.
Par élimination, vous répondez : $(a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2.$
L’accent est mis sur les capacités de l’élève à utiliser le calcul algébrique.
On attend de l’élève qu’il utilise la double distributivité pour développer le carré d’une différence, éventuellement à l’aide d’une identité remarquable.
Les erreurs peuvent venir de :
$a^2-4ab+2b^2$
L’élève développe correctement mais confond $(2b)^2$ avec $2b^2.$
$a^2-4b^2$
L’élève applique une fausse distributivité de la puissance sur les deux termes.
$a^2-4ab-4b^2$
L’élève développe correctement mais fait une erreur de signe sur le dernier terme.
$a^2-2ab+4b^2$
L’élève ne tient pas compte du double produit dans l’utilisation de l’identité remarquable.
On sait que $-3x=0.$ Quelle est la valeur de $x$ ?
Découvrez ici la résolution détaillée.
En dépit du $-3$, l’opération entre $-3$ et $x$ est une multiplication.
Transformez cette multiplication en division pour isoler $x.$
\begin{aligned} -3x &=0 \\ (-3)\times x &= 0\\ x&=\frac{0}{-3} \\ x&=0.\end{aligned}
Qui sont-ils ? Leurs applications dans la vie courante ?
Souvent mal compris, les entiers dits « naturels », sont ceux qui servent à compter.
On démarre à partir de 0, puis 1, puis 2, puis 3, etc vous connaissez la suite.
Mathématiquement on dit qu’un entier naturel est un entier positif.
On peut compter indéfiniment.
Ce n’est pas intuitif pour tout le monde.
La situation que je préfère vous citer c’est quand il s’agit de compter le nombre de grains de sable se trouvant sur une plage.
Quand vous en avez compté $3\ 452\ 876$, il y en a toujours un autre pas loin.
En mathématiques on appelle cela le successeur.
Autrement dit, les entiers « naturels » forment un ensemble infini.
Les entiers naturels permettent de construire d’autres ensembles dont on a besoin :
A partir des entiers naturels on peut aller beaucoup plus loin.
Le programme officiel appelle cela la « règle des signes ». Moins fois moins cela fait plus.
Vous avez en effet appris que :
\begin{align*} (+) \times (+) &= (+) \\ (-) \times (-) &= (+).\end{align*}Tout cela est une recette. Or, il y a derrière une réflexion à découvrir. En effet, les mathématiques peuvent être appréhendées comme une méthode de pensée et de raisonnement, structurée et systématique.
On écrit l’avenir avec des nombres positifs.
Aujourd’hui, vous êtes à 0. Demain vous serez à 1. Après-demain vous serez à 2 et ainsi de suite.
Dites-vous que, tous les jours, vous gagnez 30 euros.
Vous aurez $2\times 30$ soit 60 euros de gain.
Si vous gagnez de l’argent tous les jours, après-demain, vous aurez gagné de l’argent.
Cela peut sembler contre-intuitif à première vue. Mais revenez à l’interprétation précédente avec le temps et l’argent.
Aujourd’hui, vous êtes à $0$. Hier vous étiez à $-1$. Avant-hier vous étiez à $-2$. Le passé s’écrit avec des nombres négatifs.
Dites-vous que, tous les jours, vous perdez $30$ euros. Ce que l’on symbolise mathématiquement par le nombre $-30$. La perte est exprimée par un nombre négatif.
Vous aviez $(-2)\times (-30).$
Hier vous aviez $30$ euros – puisqu’aujourd’hui vous n’en avez plus !
Avant-hier vous aviez $60$ euros – sur deux jours vous en avez perdus $60.$
Si vous perdez de l’argent tous les jours, avant-hier, vous aviez gagné de l’argent, que vous avez fini par perdre.
$x^3+ax^2+8x+5$ est un multiple de $x+1$ pour tout entier $x$. Trouvez l’entier $a.$
Ceci constitue un problème d’arithmétique portant sur les polynômes.
Utilisez le changement de variable $y=x+1.$
\begin{aligned}
x^3+ax^2+8x+5 &= (y-1)^3+a(y-1)^2+8(y-1)+5 \\
&= y^3-3y^2+3y-1+a(y^2-2y+1)+8y-3\\
&=y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a.
\end{aligned}
D’après l’énoncé, pour tout $y\in\Z$, $y$ divise $y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a$ et donc $y$ divise $a-4$.
Il s’ensuit que $a=4.$
On doit cette preuve à Périgal, trouvée en $1891.$
Visualisez le grand carré : son aire est égale à la somme des aires des deux petits carrés.
Cela constitue le théorème de Pythagore.
Vous souhaitez réaliser cette figure vous-même ? En savoir plus sur la façon de découper les motifs à l’intérieur des carrés pour les recoller ?
Dans des espaces dits « euclidiens », le théorème de Pythagore s’applique.
Si vous connaissez les coordonnées $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ de deux points $A$ et $B$, vous pouvez calculer la distance $AB$ entre ces deux points en utilisant le résultat ci-dessous. $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$
Il s’agit de parler de la façon d’aborder les contenus mathématiques.
Vous cherchez à résoudre une équation du second degré ? Vous recherchez une solution sur Google ? Rapidement, vous arriverez à cela :
Mais ce contenu ne fait que donner une recette de gâteau et finalement, n’explique pas grand chose.
Ce qui est intéressant, ce n’est pas d’apprendre par coeur que $\Delta = b^2-4ac.$
Non, c’est de comprendre comment il apparaît. Et là cela demande du temps, de la recherche, des capacités calculatoires. L’intérêt ? La démarche est transposable ailleurs, alors que la recette s’applique dans une situation bien précise, qui elle-même n’est pas transposable, limitée… et finalement… dénuée d’intérêt, se rapprochant d’une forme de bachotage ou de bourrage de crâne.
L’équation $-x^2+3x-2=0$ admet exactement deux solutions…
Je vous propose de la résoudre. Accrochez-vous, il n’y a pas de recette miracle ici.
$-x^2+3x-2=0$
est une équation difficile, parce que $x^2$ et $x$ ne sont pas regroupables. Essayer de factoriser, développer, écrire que $-x^2+3x = x(3-x)$ ne vous amènera à rien et vous fera tourner en rond.
L’idée c’est que cette équation est compliquée… parce que $x$ n’est pas la bonne inconnue.
Fort de ce constat, essayez de changer d’inconnue. Que prendre d’autre ? Essayez $y=x+1,$ ce qui signifie que $x=y-1.$ On en arrive à :
$-(y-1)^2+3(y-1)-2=0.$
Ouch cela fait mal à la tête ? Il faut développer eh… oui, mais développer est une opération que tout le monde peut faire à condition de s’entraîner suffisamment. C’est un moyen de développer son attention et ses capacités mentales.
\begin{aligned}
-y^2+2y-1+3y-3-2&=0\\
-y^2+5y-6&=0.
\end{aligned}
Stop ! Arrêtons-nous là. On retrouve $y$ et $y^2.$ Donc on retombe sur une équation que l’on ne pourra pas résoudre. Mais en dépit des apparences, on a avancé… on est passé de $-x^2+3x-2=0$ à $-y^2+5y-6=0.$
Observez. Vous êtes passé de 3 à 5. Quoi ? Comment ça ? $3x$ est devenu $5y.$ En posant $y=x+1$ vous avez augmenté le résultat de 2 : en augmentant y de 1, le résultat augmente de 2.
Peut-on passer de 3 à 0 ? Si cela se produisait, vous pourriez enfin résoudre l’équation proposée… et pour cela il vous faut chercher un peu et oser. Si vous aviez posé $y=x+2,$ vous seriez passé de 3 à 7, $3x$ serait devenu $7y$. En montant y de 2, le résultat aurait augmenté de 4.
Mais vous, vous voulez baisser de 3. Il vous semble logique d’essayer de poser $y=x-1,5.$
La bonne nouvelle c’est que quand vous choisissez $y = x-1,5$ cela va effectivement fonctionner. Vérification ci-dessous.
Posez $y=x-1,5$ alors
$x = y+1,5.$
Les calculs s’enchaînent et se déroulent :
\begin{aligned}
-x^2+3x-2&=0\\
-(y+1,5)^2+3(y+1,5)-2&=0\\
-y^2-3y-2,25+3y+4,5-2&=0\\
-y^2+0,25&=0\\
0,25&=y^2\\
y=0,5 &\text{ ou } y=-0,5\\
x-1,5=0,5 &\text{ ou } x-1,5=-0,5\\
x=2 &\text{ ou } x=1.
\end{aligned}
L’équation a donc exactement deux solutions et elle est totalement résolue.
J’aurais très bien pu vous dire « je me suis levé ce matin, j’ai posé y=x-1,5 et ça marche ». Allez-vous me croire ? Omettre toute la démarche qui a été faite avant pour trouver une solution, c’est cela la clé, c’est cela qui est omis…
La personne qui vous fait le cours et vous « balance » que $$\Delta=b^2-4ac$$ permet de résoudre toutes les équations de degré 2, c’est bien mignon…
Il ne s’agit pas de montrer que ça marche, mais plutôt de comprendre ce qui se cache derrière pour le faire apparaître, ce fameux $\Delta=b^2-4ac.$
Rappelez-vous des étapes importantes qui ont permis d’avancer.
Suivez ces étapes dans le cas général et vous verrez que $\Delta=b^2-4ac$ apparaît dans les calculs.
La démarche pédagogique est essentielle.
Les mathématiques – ainsi que la physique dans une moindre mesure – s’apprennent essentiellement en pratiquant, et en augmentant progressivement le niveau de difficulté.
Apprendre à calculer est essentiel dans un premier temps. Il permet de vous assurer que vous maîtrisez l’application de procédures dans un ordre donné, en étant attentif. Il ne s’agit pas de produire un résultat ; il s’agit de procéder par petites étapes successives que l’on maîtrise toutes, afin d’arriver au but.
La décomposition d’un objectif en petits problèmes simples est la clé.
Tous les comportements d’évitement sont… à éviter !
Combien fait « 1/2″ ? Vous ne vous sentez pas à l’aise avec cela ? Vous sentez l’envie pressante de prendre une calculatrice ? Vous vous trouvez des excuses en disant que « vous êtes littéraire », que « les mathématiques ne sont pas faites pour vous », que « les mathématiques ne vous aiment pas », que « vous avez toujours été en difficulté en mathématiques »…
Tous ces comportements montrent qu’en fait, vous n’êtes pas à l’aise, à cause d’une notion qui n’est pas comprise.
Je connais peu de monde qui ne sache pas combien fait « 10/2 ».
Vous savez que « 10/2 » fait 5. A partir de là vous avez la clé.
Comment passe-t-on de « 10/2 » à « 1/2″ ? Un zéro de moins certes, c’est-à-dire dix fois moins. Or 10 fois moins, c’est juste décaler la virgule d’un cran sur la gauche.
Vous me direz que 5 n’a pas de virgule. En fait si : $$5=5,0.$$
Une fois la virgule placée, on ne change pas le nombre en ajoutant un zéro à gauche : $$5=05,0.$$
Vous décalez cette virgule un cran à gauche et trouvez que « 1/2 » est égal à : $$0,50.$$
Vous obtenez la réponse sans savoir d’où elle vient, vous faites confiance à la calculatrice, au fait que vous avez bien tapé sur les touches. 3 mois plus tard, quand on vous reposera la même question, combien fait « 1/2″ ? Vous reprendrez votre calculatrice à nouveau, et ainsi de suite, du collège, au lycée, y compris après le baccalauréat.
Vous savez d’où vient la réponse et entendre « 1/2 » vous fait sourire, on vous l’a déjà faite celle-là ! Fort de cet atout, vous développez vos compétences, parce que derrière juste le « 1/2 » c’est votre capacité à décaler la virgule que vous maîtrisez. Du coup, vous vous posez des questions ouvertes. Tiens, et « 1/4″ ? Combien cela ferait-il et pourquoi ?
Vous voulez multiplier efficacement n’importe quel nombre à deux chiffres par 8 ?
Effectuez d’abord les calculs de la forme $8\times 65$ ou $8\times 85$ dans lesquels vous vous intéressez aux nombres à deux chiffres finissant par $5.$
Le résultat suivant $8\times 25 = 200$ est très important à connaître et à comprendre.
Vous vous demandez d’où vient ce résultat ? C’est une technique de calcul qui utilise la multiplication par 2 et la propriété dite associative de la multiplication, qui consiste à déplacer les parenthèses.
\begin{align*}
8\times25 &= (4\times 2)\times 25 \\
&= 4\times (2\times 25)\\
&=4\times 50\\
&=(2\times 2)\times 50\\
&=2\times (2\times 50)\\
&=2\times 100\\
&=200.\end{align*}Effectuez le même raisonnement pour $50.$
\begin{align*}
8\times 50 &= (4\times 2)\times 50 \\
&= 4\times (2\times 50)\\
&=4\times 100\\
&=400.\end{align*}Pour $75$ vous utilisez sa proximité avec $100.$
\begin{align*}
8\times 75 &= 8\times 100 - 8\times 25 \\
&= 800-200\\
&=600.\end{align*}Vous pouvez aussi constater que $75$ est égal à $25$ fois $3$ ce qui donne :
\begin{align*}
8\times 75 &= 8\times (25 \times 3) \\
&= (8\times 25) \times 3 \\
&= 200\times 3\\
&=600.\end{align*}Pour calculer 8 fois 15, vous pouvez utiliser le fait que 15 est égal à 25 moins 10.
\begin{align*}
8\times 15 &= 8\times 25 - 8\times 10 \\
&= 200-80\\
&=120.\end{align*}Pour calculer 8 fois 35, vous pouvez utiliser le fait que 35 est égal à 25 plus 10.
\begin{align*}
8\times 35 &= 8\times 25 + 8\times 10 \\
&= 200+80\\
&=280.\end{align*}Pour calculer 8 fois 65, vous pouvez constater que 65 est égal à 75 moins 10.
\begin{align*}
8\times 65 &= 8\times 75 - 8\times 10 \\
&= 600-80\\
&=520.\end{align*}Pour calculer 8 fois 85, vous pouvez constater que 85 est égal à 75 plus 10.
\begin{align*}
8\times 85 &= 8\times 75 + 8\times 10 \\
&= 600+80\\
&=680.\end{align*}Pour calculer 8 fois 45, vous pouvez constater que 45 est égal à 50 moins 5.
\begin{align*}
8\times 45 &= 8\times 50 - 8\times 5 \\
&= 400-40\\
&=360.\end{align*}
Pour calculer 8 fois 55, vous pouvez constater que 55 est égal à 50 plus 5.
\begin{align*}
8\times 55 &= 8\times 50 + 8\times 5 \\
&= 400+40\\
&=440.\end{align*}Et vous concluez :
\begin{align*}
8\times 95 &= 8\times 100 - 8\times 5 \\
&= 800-40\\
&=760.\end{align*}