Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à $2$ et $p$ un nombre entier supérieur ou égal à $1.$
Vous désignez par $A$ une matrice rectangulaire qui possède $n$ lignes et $p$ colonnes, à coefficients dans un corps $\K.$
Il sera commode de noter $I$ la matrice identité d’ordre $n$ à coefficients dans $\K.$
Il existe ainsi $(a_{ij})_{ \substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} }$ tel que :
\left\{
\begin{array}{ll}
\forall i\in \llbracket1, n\rrbracket, \forall j\in \llbracket1, p\rrbracket, a_{ij}\in\K\\
A = (a_{ij})_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} }.
\end{array}\right.Décomposez la matrice $A$
Quels que soient les entiers $i\in \in \llbracket1, n\rrbracket$ et $j\in \llbracket1, p\rrbracket$ notez $E_{ij}$ la matrice rectangulaire comportant $n$ lignes et $p$ colonnes, dont toutes les lignes sont nulles excepté la ligne numéro $i.$ La ligne numéro $i$ ne comporte que des zéros sauf à la colonne numéro $j$ où elle est égale à $1$, le neutre de $\K$ pour la multiplication.
Autrement dit, $E_{ij}$ ne comporte que des zéros, sauf à la ligne $i$ et à la colonne $j$ où son coefficient vaut $1.$
De ce qui précède, la matrice $A$ s’écrit ainsi :
A = \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij}.Les matrices $F_{k \ell}$
Quels que soient les entiers $k\in \in \llbracket1, n\rrbracket$ et $\ell \in \llbracket1, n\rrbracket$ notez $F_{k \ell}$ la matrice carrée comportant $n$ lignes et $n$ colonnes, dont toutes les lignes sont nulles excepté la ligne numéro $k.$ La ligne numéro $k$ ne comporte que des zéros sauf à la colonne numéro $\ell$ où elle est égale à $1$, le neutre de $\K$ pour la multiplication.
Autrement dit, $F_{k \ell}$ ne comporte que des zéros, sauf à la ligne $k$ et à la colonne $\ell$ où son coefficient vaut $1.$
Multiplication à gauche d’une matrice $E_{ij}$ par une matrice $F_{k \ell}$
Vous êtes amené à vérifier que :
\forall k\in \llbracket 1, n\rrbracket, \forall \ell\in \llbracket 1, n\rrbracket, \forall i\in \llbracket 1, n\rrbracket, \forall j\in \llbracket 1, p\rrbracket, \left\{\begin{array}{ll} F_{k \ell} E_{ij} = E_{kj} &\text{ si } \ell=i\\ F_{k \ell} E_{ij} =0 &\text{ si } \ell \neq i.\end{array}\\\right.Effet des matrices élémentaires de premier type, dites de permutation
Soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ de sorte que $k\neq \ell.$
Par définition de la matrice $I$, vous avez :
I = \sum_{m=1}^n F_{mm}.Vous séparez les lignes $k$ et $\ell$ de la somme, pour obtenir :
I = F_{kk} + F_{\ell\ell} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} F_{mm}.On appelle matrice de permutation $J$ des lignes $k$ et $\ell$ la matrice $I$ qui subit la permutation de la ligne $k$ et de la ligne $\ell.$
Ainsi :
J = F_{k\ell} + F_{\ell k} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} F_{mm}.Vous allez maintenant montrer que la matrice $JA$ est la matrice $A$ qui subit la permutation de sa ligne $k$ avec sa ligne $\ell.$
\begin{align*}
JA &= \left(F_{k\ell} + F_{\ell k} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} F_{mm}\right)\left(\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij}\right) \\
&= \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{k\ell}E_{ij}
+ \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{\ell k}E_{ij}
+ \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p \\ m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} } a_{ij} F_{mm}E_{ij} \\
&= \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{\ell j} F_{k\ell}E_{\ell j}
+ \sum_{ 1\leq j \leq p } a_{kj} F_{\ell k}E_{kj}
+ \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p \\ m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} } a_{mj} F_{mm}E_{mj} \\
&= \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{\ell j} E_{k j}
+ \sum_{ 1\leq j \leq p } a_{kj} E_{\ell j}
+ \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p \\ m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} } a_{mj} E_{mj} \\
\end{align*}Cette dernière expression montre que les coefficients situés à la ligne $k$ de $JA$ sont ceux de la ligne $\ell$ de la matrice $A.$
De même les coefficients situés à la ligne $\ell$ de $JA$ sont ceux de la ligne $k$ de la matrice $A.$
D’autre part, quel que soit $m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}$ les lignes numéro $m$ des matrices $A$ et $JA$ ont les mêmes coefficients.
Concluez
Quels que soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $k\neq \ell$, permuter les lignes $k$ et $\ell$ de la matrice $A$ revient à la multiplier à gauche par une matrice élémentaire de permutation, cette matrice s’obtenant en faisant subir à la matrice identité $I$ la même permutation de lignes.
Visualisez cette propriété sur un exemple
Soit $A$ la matrice définie par :
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.Comme vous souhaitez multiplier $A$ à gauche, vous formez la matrice identité d’ordre $3$ :
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.Vous permutez les lignes $1$ et $2$ de la matrice $I$, vous obtenez la matrice $J$ suivante :
J=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.Effectuez le produit matriciel $JA.$
\begin{align*}
JA&=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}Vous constatez qu’en permutant les lignes $1$ et $2$ de la matrice $A$, vous obtenez bien $JA.$
