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École AVOSZ 

École AVOSZ

Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES

082. La matrice I-AB est inversible, si et seulement si, la matrice I-BA est inversible

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Pour tous

Dans cet article, vous allez faire des calculs matriciels.

Notez qu’il suffit de montrer que, si $I-BA$ est inversible, alors $I-AB$ l’est. En effet, en échangeant les matrices $A$ et $B$, vous déduisez le résultat « dans l’autre sens », stipulant que si $I-AB$ est inversible, alors $I-BA$ l’est aussi.

Passez à l’analyse, ce qui est le plus intéressant

Supposez que la matrice $I-BA$ soit inversible. Vous disposez d’une matrice inversible $J = (I-BA)^{-1}$, telle que :

\begin{aligned}
(I-BA)J&=I\\
J(I-BA)&=I.
\end{aligned}

Développez, vous avez $J-JBA = I$ et $J-BAJ=I.$

Vous cherchez à montrer que $I-AB$ est inversible, ce qui fait que vous cherchez une matrice $K$ telle que :

\begin{aligned}
(I-AB)K&=I\\
K(I-AB)&=I.
\end{aligned}

Toujours en développant, vous cherchez une matrice $K$ telle que $K-KAB=I$ et $K-ABK=I.$

Le but du jeu c’est de trouver une expression de $K$ en fonction de $A$, $B$ et $J$.

La relation $K-KAB=I$ permet d’écrire $K=I+KAB.$

Maintenant, il faut bien faire quelque chose à partir des relations existant avec la matrice $J$. Il faut utiliser les matrices $JBA$ ou $BAJ$ et elles ne vont pas apparaître toutes seules ! C’est parti, utilisez la méthode de la force.

De $K=I+KAB$, vous multipliez à droite par $AJ$.

$KAJ=AJ+KABAJ$.

De $J-BAJ=I$ vous avez $BAJ = J-I$. Du coup, $KAJ=AJ+KA(J-I).$

Développez : $KAJ=AJ+KAJ-KA$ et vous avez $0=AJ-KA$ soit $AJ=KA$.

Substituez dans $K=I+KAB$ et vous avez $\boxed{K=I+AJB}.$

Démontrez en bonne intelligence que les matrices $I-AB$ et $I+AJB$ sont inverses l’une de l’autre

L’analyse vous a permis de savoir pourquoi il fallait choisir $I+AJB$.

Maintenant que le plus dur est fait, développez :

\begin{aligned}
(I-AB)(I+AJB) &= I-AB+AJB+A(BAJ)B\\
&= I-AB+AJB-A(J-I)B\\
&=I-AB+AJB-AJB+AB\\
&=I.
\end{aligned}

Et dans l’autre sens.

\begin{aligned}
(I+AJB)(I-AB) &= I-AB+AJB-A(JBA)B\\
&= I-AB+AJB-A(J-I)B\\
&=I-AB+AJB+AJB+AB\\
&=I.
\end{aligned}

Vous voyez des prolongements ?

Ce résultat vous montre que $1$ est valeur propre de la matrice $AB$, si et seulement si, $1$ est valeur propre de la matrice $BA$.

Vous pouvez montrer que, pour tout scalaire $\lambda$, $\lambda I – AB$ est inversible, si et seulement si, $\lambda I -BA$ est inversible.

A vous de jouer !

081. Polynômes caractéristiques de AB et de BA

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Dans cet article, vous considérez deux matrices carrées $A$ et $B$ à coefficients dans un corps $\K$, lorsque $\K = \R$ ou $\K=\C.$ Notez $I$ la matrice identité.

Que peut-on dire, en général, des polynômes caractéristiques des matrices $AB$ et $BA$ ?

Les deux polynômes sont égaux quand $A$ est inversible

Supposez que $A$ soit inversible.

Les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables :
$A^{-1}(AB)A = (A^{-1}A)(BA) = IBA = BA.$

De ce fait elles ont le même polynôme caractéristique.

Que faire lorsque la matrice $A$ n’est pas inversible ?

Vous disposez d’un argument de topologie pour y répondre.

Notez $P(x) = \det(xI-A)$ le polynôme caractéristique de $A$. C’est un polynôme non constant à coefficients dans $\K$. Il est scindé dans $\C$ et admet un nombre fini de racines.

  • Soit $0$ est sa seule racine. Dans ce cas, pour tout $x\in ]0,+\infty[$, $P(x)\neq 0$. En particulier $\forall x\in ]0,1[, P(x)\neq 0.$
  • Soit il admet une ou plusieurs racines différentes de $0$. Notez $r>0$ le plus petit module de toutes ces racines. Alors $\forall x\in ]0,r[, P(x)\neq 0.$

Vous constatez que dans les deux cas énumérés ci-dessus il existe toujours un réel $\alpha>0$ tel que $\forall x\in ]0,\alpha[, P(x)\neq 0.$

Vous en déduisez que $\forall x\in ]0,\alpha[, A-xI$ est inversible.

D’après la partie précédente, pour tout $y$ tel que $0<y<\alpha$, $(A-yI)B$ et $B(A-yI)$ ont le même polynôme caractéristique.

Vous en déduisez que $\forall x\in\K, \forall y\in]0,r[$, $\det(xI-(A-yI)B)=\det(xI-B(A-yI)).$

Les deux déterminants ci-dessus sont des polynômes à deux variables en $x$ et $y$. Ce sont, en particulier, des fonctions continues à deux variables. Fixez $x\in\K$ et passez à la limite dans l’égalité $\det(xI-(A-yI)B)=\det(xI-B(A-yI))$ en faisant tendre $y$ vers $0$.

Vous obtenez l’égalité $\det(xI-AB)=\det(xI-BA).$

Concluez

Quelles que soient les matrices réelles ou complexes $A$ et $B$, les matrices $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.

080. Méthode de Le Verrier

Rédigé par on | Niveau Prépa

Cherchez les valeurs propres de $A$

Considérez la matrice suivante : $A = \begin{pmatrix}
6 & -3 & -2 \\
4 & -1 & -2 \\
10 & -5 & -3
\end{pmatrix}.$

Comment trouver ses valeurs propres ? Supposez que vous ne connaissez rien, mais absolument rien, au concept du déterminant… De même, résoudre $AX = \lambda X$ avec $X\neq 0$ serait possible, mais vous voulez trouver autre chose…

Pour accéder aux valeurs propres, mieux vaut se placer dans $\C$, puisque vous savez que dans ce corps, tous les polynômes non constants sont scindés.

Cette propriété implique que la matrice $A$ est trigonalisable. Autrement dit, il existe une matrice inversible $P$ à coefficients complexes, trois nombres complexes, $\lambda_1$, $\lambda_2$ et $\lambda_3$ tels que $P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
\lambda_1 &\times & \times \\
0 & \lambda_2 &\times \\
0 & 0 & \lambda_3 \\
\end{pmatrix}$

Et maintenant, la trace

La somme des valeurs propres

La trace de $A$ est égale à la somme des coefficients diagonaux de $A$, on la note $\tr(A)$ et bien-sûr $\tr(A)=2.$

La trace a une propriété très importante : quelles que soient les matrices complexes $C$ et $D$, $\tr(CD)=\tr(DC).$

Aussitôt, deux matrices semblables ont la même trace, d’où l’on déduit que $\boxed{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=2}.$

La somme des carrés des valeurs propres

Après calcul, vous trouvez que $A^2 = \begin{pmatrix}
4 & -5 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
10 & -10 & -1
\end{pmatrix}.$

Comme $P^{-1}A^2P = \begin{pmatrix}
\lambda_1^2 &\times & \times \\
0 & \lambda_2^2 &\times \\
0 & 0 & \lambda_3^2 \\
\end{pmatrix}$

En prenant la trace, vous trouvez $\boxed{\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=2}.$

La somme des cubes des valeurs propres

Après calcul, vous trouvez que $A^3 = \begin{pmatrix}
4 & -7 & 2 \\
-4 & 1 & 2 \\
10 & -15 & 3
\end{pmatrix}.$

Comme $P^{-1}A^3P = \begin{pmatrix}
\lambda_1^3 &\times & \times \\
0 & \lambda_2^3 &\times \\
0 & 0 & \lambda_3^3 \\
\end{pmatrix}$

En prenant la trace, vous trouvez $\boxed{\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3=8}.$

Les sommes de Newton et les fonctions symétriques

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique de $A$ défini par $P(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3).$

En développant $P(x)$ vous obtenez : $P(x) = x^3 – (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)x^2+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)x-\lambda_1\lambda_2\lambda_3.$

Introduisez les fonctions symétriques :

\begin{aligned}
\sigma_1 &= \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\\
\sigma_2 &=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3 \\
\sigma_3 &=\lambda_1\lambda_2\lambda_3.
\end{aligned}

Introduisez les sommes de Newton :

\begin{aligned}
N_1 &= \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\\
N_2 &=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2 \\
N_3 &=\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3.
\end{aligned}

Vous connaissez les valeurs de $N_1$, $N_2$, $N_3$. Vous cherchez les valeurs de $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3.$ C’est possible. Voilà comment procéder.

Vous avez déjà $\boxed{\sigma_1 = N_1}.$

Pour faire apparaître $\sigma_2$ une idée consiste à élever au carré la somme $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3.$

\begin{aligned}
(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2 &= \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+2 \lambda_1\lambda_2 + 2\lambda_1\lambda_3+2\lambda_2\lambda_3\\
N_1^2 &=N_2 + 2\sigma_2
\end{aligned}

Aussitôt : $\boxed{2\sigma_2 = N_1^2-N_2}.$

Pour faire apparaître $\sigma_3$, c’est plus long mais le principe reste le même. Vous élevez au cube la somme $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3.$

\begin{aligned}
(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^3 &= \lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3+3 \lambda_1^2\lambda_2 + 3 \lambda_1^2\lambda_3+3 \lambda_2^2\lambda_1 +3 \lambda_2^2\lambda_3+3\lambda_3^2\lambda_1+3\lambda_3^2\lambda_2+6\lambda_1\lambda_2\lambda_3\\
N_1^3 &=N_3+6\sigma_3+3 (\lambda_1^2\lambda_2 + \lambda_1^2\lambda_3+ \lambda_2^2\lambda_1 +\lambda_2^2\lambda_3+\lambda_3^2\lambda_1+\lambda_3^2\lambda_2).
\end{aligned}

Il reste à calculer la somme $\lambda_1^2\lambda_2 + \lambda_1^2\lambda_3+ \lambda_2^2\lambda_1 +\lambda_2^2\lambda_3+\lambda_3^2\lambda_1+\lambda_3^2\lambda_2.$ Vous développez le produit $Q=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)$ qui se sépare en 3 termes (ceux au cube) avec 6 autres termes.

\begin{aligned}
Q &= \lambda_1^3+\lambda_1\lambda_2^2+\lambda_1 \lambda_3^2 \\&\quad+\lambda_1^2\lambda_2 +\lambda_2^3+\lambda_2\lambda_3^2 \\
&\quad+ \lambda_1^2\lambda_3 +\lambda_2^2 \lambda_3 + \lambda_3^3\\
N_1N_2 &= N_3 + \lambda_1^2\lambda_2 + \lambda_1^2\lambda_3+\lambda_2^2\lambda_1 +\lambda_2^2\lambda_3+\lambda_3^2\lambda_1+\lambda_3^2\lambda_2.
\end{aligned}

Du coup, $\lambda_1^2\lambda_2 + \lambda_1^2\lambda_3+ \lambda_2^2\lambda_1 +\lambda_2^2\lambda_3+\lambda_3^2\lambda_1+\lambda_3^2\lambda_2 = N_1N_2-N_3$, que l’on substitue plus haut, donnant :

\begin{aligned}
N_1^3 &=N_3+6\sigma_3+3(N_1N_2-N_3)\\
&=6\sigma_3 +3N_1N_2-2N_3.
\end{aligned}

Aussitôt $\boxed{6\sigma_3 = N_1^3+2N_3-3N_1N_2}.$

Calculez les fonctions symétriques

Vous avez successivement :
\begin{aligned}
\sigma_1 &= N_1 = 2\\
2\sigma_2 &= N_1^2-N_2 = 4-2=2\\
6\sigma_3 &=N_1^3+2N_3-3N_1N_2 = 8+16-12 = 12.
\end{aligned}

Aussitôt :

$\left\{\begin{align*}
\sigma_1 & = 2\\
\sigma_2 & = 1\\
\sigma_3 & = 2.\\
\end{align*}\right.$

Ecrivez le polynôme caractéristique

\begin{aligned}
P(x) &= x^3-\sigma_1x^2+\sigma_2x-\sigma_3\\
&= x^3-2x^2+x-2.
\end{aligned}

Les valeurs propres de $A$ sont les racines du polynôme $P$, il y en a trois qui annulent $P$, ce sont $2$, $i$ et $-i$.

Un prolongement…

Quelles que soient les matrices $A$ et $B$, selon vous, est-ce que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique ?

079. Un endomorphisme réel non diagonalisable

Rédigé par on | Niveau Prépa

Considérez l’endomorphisme $f$ de $\R^3$ dont la matrice, dans la base canonique, est $A=\begin{pmatrix}6 & -3 & -2 \\ 4 & -1 & -2 \\ 10 & -5 & -3\end{pmatrix}.$

Pour savoir s’il est diagonalisable ou non, vous allez suivre les étapes suivantes :

  1. Calculez le polynôme caractéristique de la matrice $A$,
  2. Déterminez les valeurs propres de $A$,
  3. Déterminez la dimension des sous-espaces propres de $A$ avec le théorème du rang,
  4. Effectuer la somme des dimensions de ces sous-espaces propres ;
    si elle est égale à la dimension de $\R^3$, l’endomorphisme $f$ sera diagonalisable, sinon, il ne le sera pas.

Calculez le polynôme caractéristique de $A$

Effectuez des opérations élémentaires sur les lignes et/ou les colonnes pour calculer le polynôme caractéristique de $A.$

\begin{aligned}
\det (xI-A) &= \begin{vmatrix}x-6 & 3 & 2 \\ -4 & x+1 & 2\\ -10 & 5 & x+3\end{vmatrix} \\
&= \begin{vmatrix}x-2 & -x+2 & 0 \\ -4 & x+1 & 2\\ -10 & 5 & x+3\end{vmatrix} \\
&= (x-2)\begin{vmatrix}1 & -1 & 0 \\ -4 & x+1 & 2\\ -10 & 5 & x+3\end{vmatrix} \\
&= (x-2)\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ -4 & x-3 & 2\\ -10 &-5 & x+3\end{vmatrix} \\
&= (x-2)\begin{vmatrix} x-3 & 2\\ -5 & x+3\end{vmatrix} \\
&= (x-2)(x^2-9+10)\\
&=(x-2)(x^2+1).
\end{aligned}

Trouvez les valeurs propres de $A$

Ce sont les solutions de l’équation $(x-2)(x^2+1)=0.$

Il s’ensuit, comme $x$ est un nombre réel, que $x^2+1\neq 0$.
L’équation $(x-2)(x^2+1)=0$ admet $x=2$ pour solution unique.

La matrice $A$ admet exactement une seule valeur propre $2.$

Calculez la dimension des sous-espaces propres de $A$

Etudiez le seul espace propre associé à la valeur propre $2$. Vous formez la matrice : $$A-2I=\begin{pmatrix}4 & -3 & -2 \\ 4 & -3 & -2 \\ 10 & -5 & -5\end{pmatrix}.$$

Vous cherchez à déterminer la dimension du noyau de $A-2I$.

Vous constatez que les lignes $L_1$ et $L_2$ sont identiques et que les lignes $L_1$ et $L_3$ ne sont pas proportionnelles, donc le rang de la matrice $A$ est égal à $2$.

Par le théorème du rang, la dimension du noyau de $A-2I$ est égale à $1$.

En bonus, vous en déduisez que le sous espace propre associé à la valeur propre $2$ est la droite engendrée par le vecteur $u$ qui admet $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ dans la base canonique.

Concluez sur la diagonalisabilité de l’endomorphisme $f$

La somme de la dimension de tous les espaces propres (en fait il n’y en a qu’un seul) est égale à 1. Or $\R^3$ est de dimension $3$.

Aussitôt, l’endomorphisme $f$ de $\R^3$ n’est pas diagonalisable.

Remarque : par d’autres arguments, vous pouvez savoir que cet endomorphisme $f$ n’est pas diagonalisable. S’il l’était, il admettrait une base de diagonalisation. Comme il n’a qu’une seule valeur propre $2$, on en déduit que $f$ serait égal à deux fois l’application identité de $\R^3$. Mais alors la matrice $A$ serait égale à $A=2I$, ce qui n’est pas le cas.

078. Un endomorphisme réel diagonalisable

Rédigé par on | Niveau Prépa

Soit $T$ l’endomorphisme de $\R^3$ qui est représenté par la matrice suivante $A$ dans la base canonique : $A =
\begin{pmatrix}
-9 & 4 & 4 \\
-8 & 3 & 4 \\
-16 & 8 & 7
\end{pmatrix}.$

Déterminez les valeurs propres de $T$

Le polynôme caractéristique de $T$ est égal à celui de n’importe quelle matrice dans laquelle $T$ est représenté. Vous allez calculer le polynôme caractéristique de $T$, en calculant :

\begin{aligned}
\det(xI-A) &= \begin{vmatrix}
x+9 & -4 & -4 \\
8 & x-3 & -4 \\
16 & -8 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= \begin{vmatrix}
x+9 & 0 & -4 \\
8 & x+1 & -4 \\
16 & -x-1 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= (x+1)\begin{vmatrix}
x+9 & 0 & -4 \\
8 & 1 & -4 \\
16 & -1 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= (x+1)\begin{vmatrix}
x+9 & 0 & -4 \\
24 & 0 & x-11 \\
16 & -1 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= (x+1)\begin{vmatrix}
x+9 & -4 \\
24 & x-11 \\
\end{vmatrix}\\
&=(x+1)(x^2-2x-99+96)\\
&=(x+1)(x^2-2x-3)\\
&=(x+1)^2(x-3).\\
\end{aligned}

L’endomorphisme $T$ possède deux valeurs propres $-1$ et $3.$

Déterminez des vecteurs propres de $T$

Vecteurs propres associés à la valeur propre $-1$

Vous déterminez d’abord la dimension du noyau de l’endomorphisme $T+I.$ Il est représenté par la matrice $A+I$ dans la base canonique.

$A+I = \begin{pmatrix}
-8 & 4 & 4 \\
-8 & 4 & 4 \\
-16 & 8 &8
\end{pmatrix}$

Il est immédiat de voir que le rang de $A+I$ est égal à 1. Par le théorème du rang, le noyau de $A+I$ est de dimension 2.

Posons $V_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\

\end{pmatrix}$ et $V_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
2
\end{pmatrix}.$

$V_1$ et $V_2$ sont deux vecteurs non colinéaires, appartenant au noyau de $A+I$. Il s’ensuit que le noyau de $A+I$ est l’espace engendré par la famille $(V_1,V_2).$

Vecteurs propres associés à la valeur propre $3$

D’après ce qui précède, vous savez que la dimension du noyau de l’endomorphisme $T-3I$ est égale à $1$. Vérifiez-le directement.

$A-3I = \begin{pmatrix}
-12 & 4 & 4 \\
-8 & 0 & 4 \\
-16 & 8 &4
\end{pmatrix}.$

Les deux premières lignes de $A-3I$ sont linéairement indépendantes.
La troisième dépend des deux autres : $L_3 = 2L_1-L_2$. Le rang de $A-3I$ est égal à 2, donc son noyau est de dimension 1 par le théorème du rang.

Posons $V_3 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}.$

$V_3$ appartient au noyau de $A-3I$.

Formez une base de vecteurs propres

La famille $(V_1,V_2)$ est libre et $V_3$ ne peut appartenir à l’espace engendré par elle, parce que des vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont toujours linéairement indépendants.

Par conséquent la famille $(V_1,V_2,V_3)$ est libre et c’est une base de $\R^3$. Posez $P = (V_1 \vert V_2 \vert V_3) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & 2 &2
\end{pmatrix}.$

Notez $D$ la matrice diagonale $D = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 &3
\end{pmatrix}.$

La matrice $P$ est inversible et
\begin{aligned}
AP &= A(V_1 \vert V_2 \vert V_3)\\
&=(AV_1 \vert AV_2 \vert AV_3)\\
&=(-V_1 \vert -V_2 \vert 3V_3)\\
&=PD
\end{align*}.$

Par invisibilité de $P$, vous avez $P^{-1}AP = D.$

L’endomorphisme $T$ est diagonalisable et admet la base $(V_1,V_2,V_3)$ pour base de diagonalisation.

077. Pratiquez le calcul mental des carrés jusqu'à 25

Rédigé par on | Pour tous
⓵ Savez-vous combien fait le carré de  ?

⓶ Savez-vous combien fait le carré de  ?

⓷ Savez-vous combien fait le carré de  ?

⓸ Savez-vous combien fait le carré de  ?

⓹ Savez-vous combien fait le carré de  ?

Vous avez terminé !

076. Pour les Premières en ST2S

Rédigé par on | Niveau Première

Probabilités

22012020 - Capture d’écran 2020 01 22 à 09.48.08

Fonction de degré 3

22012020 - Capture d’écran 2020 01 22 à 09.47.42

Les suites numériques

22012020 - Capture d’écran 2020 01 22 à 09.49.50

Second degré

1 / Résoudre les équations suivantes : $x^2+x-1 = 0$, $-11x^2+x+1=0$, $x^2+x+1=0$, $4x^2+4x+1=0.$

2 / En déduire les solutions de l’inéquation $\dfrac{(x^2+x-1)(-11x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(4x^2+4x+1)}\geq 0.$

075. Construisez une solution de l’équation de degré 3 dans toutes les situations

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes

Toute équation réelle de degré 3 admet au moins une solution. Cet article vous donnera les armes permettant de construire une ou plusieurs solutions de cette équation.

La discussion du nombre de solutions de l’équation de degré 3 fait appel à la notion de discriminant qui ne sera pas traitée dans cet article.

Les outils

Fonctions hyperboliques

Sinus hyperbolique

La fonction sinus hyperbolique est définie par $\sh: x\mapsto \dfrac{\e^x-\e^{-x}}{2}$, c’est une bijection de $\R$ dans $\R$. Sa bijection réciproque est notée $\argsh$.

La fonction sinus hyperbolique vérifie une importante identité.

\begin{aligned}
(\sh x)^3 &= \dfrac{(\e^x-\e^{-x})^3}{8}\\
&=\dfrac{\e^{3x} -3\e^x+3\e^{-x}-\e^{-3x}}{8}\\
&=\dfrac{2\sh (3x)-6\sh x }{8}\\
&=\dfrac{\sh (3x)-3\sh x }{4}\\
\end{aligned}

Aussitôt : $\boxed{\sh (3x) = 4(\sh x)^3 + 3\sh x}.$

Cosinus hyperbolique

La fonction cosinus hyperbolique est définie par $\ch: x\mapsto \dfrac{\e^x+\e^{-x}}{2}$. Elle réalise une bijection de $\R_{+}$ dans $[1,+\infty[$, sa bijection réciproque est notée $\argch.$

La fonction cosinus hyperbolique une identité similaire :

\begin{aligned}
(\ch x)^3 &= \dfrac{(\e^x+\e^{-x})^3}{8}\\
&=\dfrac{\e^{3x} +3\e^x+3\e^{-x}+\e^{-3x}}{8}\\
&=\dfrac{2\ch (3x)+6\ch x }{8}\\
&=\dfrac{\ch (3x)+3\ch x }{4}\\
\end{aligned}

Aussitôt : $\boxed{\ch (3x) = 4(\ch x)^3 – 3\ch x}.$

Fonctions circulaires

Le sinus trigonométrique

La fonction sinus est définie par l’exponentielle complexe $\sin : x\mapsto \dfrac{\e^{ix}-\e^{-ix}}{2i}$. C’est une surjection de $\R$ dans $[-1,1]$.

\begin{aligned}
(\sin x)^3 &= \dfrac{(\e^{ix}-\e^{-ix})^3}{-8i}\\
&=\dfrac{\e^{3ix} -3\e^{ix}+3\e^{-ix}-\e^{-3ix}}{-8i}\\
&=\dfrac{2i\sin (3x)-6i\sin x }{-8i}\\
&=\dfrac{-\sin (3x)+3\sin x }{4}\\
\end{aligned}

Aussitôt $\boxed{\sin 3x = -4\sin^3 x + 3\sin x}.$

Cette propriété ne sera pas utilisée dans la suite de cet article, elle est donnée néanmoins par souci d’exhaustivité.

Le cosinus trigonométrique

La fonction cosinus est définie par l’exponentielle complexe $\cos: x\mapsto \dfrac{\e^{ix}+\e^{-ix}}{2}$. C’est une surjection de $\R$ vers $[-1,1]$ qui réalise une bijection de $[0,\pi]$ dans $[-1,1]$. On note $\arccos$ la bijection réciproque qui va de $[-1,1]$ dans $[0,\pi].$

\begin{aligned}
(\cos x)^3 &= \dfrac{(\e^{ix}+\e^{-ix})^3}{8}\\
&=\dfrac{\e^{3ix} +3\e^{ix}+3\e^{-ix}+\e^{-3ix}}{8}\\
&=\dfrac{2\cos (3x)+6\cos x }{8}\\
&=\dfrac{\cos (3x)+3\cos x }{4}\\
\end{aligned}

Aussitôt : $\boxed{\cos (3x) = 4(\cos x)^3 – 3\cos x}.$

Une stratégie pour expliciter une solution de l’équation de degré 3 : $x^3 – x -2 = 0$

Les coefficients de $x^3$ et de $x$ étant de signes contraires, vous choisirez en temps voulu une fonction $f$ vérifiant l’identité :

\forall \theta\in\R, f(3\theta) = 4f(\theta)^3-3f(\theta).

Vu ce qui précède, vous prendrez $f$ égale au cosinus trigonométrique ou au cosinus hyperbolique.

Une première idée

Vous essayez d’avoir une équation équivalente à $x^3 – x -2 = 0$ qui commence par $4x^3-3x.$

Multipliez par 4 vous donne un bon départ, mais…

\begin{aligned}
x^3 – x-2 = 0 &\Longleftrightarrow 4x^3 – 4x-8 = 0.
\end{aligned}

L’équation obtenue n’a pas le bon nombre de $x$.

Il faut donc falloir pousser la stratégie un cran plus loin.

Affinement du changement de variable

Essayez de chercher une solution sous la forme $x = rf(\theta)$ avec $r\neq 0$ et $\theta\in\R.$

\begin{aligned}
x^3 – x-2 = 0 &\Longleftrightarrow (rf( \theta))^3 – (rf(\theta))-2 = 0 \\
&\Longleftrightarrow r^3f( \theta)^3 – rf(\theta)-2 = 0\\
&\Longleftrightarrow r^2f( \theta)^3 – f(\theta) = \dfrac{2}{r}\\
&\Longleftrightarrow 3r^2f( \theta)^3 – 3f(\theta) = \dfrac{6}{r}.
\end{aligned}

Vous choisissez $r\neq 0$ pour que $3r^2 = 4$, ce qui est possible avec $r = \dfrac{2}{\sqrt{3}}.$ L’autre valeur possible de $r$, négative, est exclue puisqu’il vaut mieux avoir un second membre positif.

\begin{aligned}
x^3 – x-2 = 0 &\Longleftrightarrow 4f(\theta)^3 – 3f(\theta) = 3\sqrt{3}\\
&\Longleftrightarrow f(3\theta) = 3\sqrt{3}.
\end{aligned}

La fonction cosinus prend ses valeurs dans $[-1,1]$, or $3\sqrt{3}\not\in [-1,1]$, vous choisissez $f$ égal au cosinus hyperbolique.

Et maintenant une solution

Pour tout $\theta\in\R_{+}$, vous posez $x =\dfrac{2}{\sqrt{3}} \ch \theta.$

Comme $3\sqrt{3} \geq 1$, vous utilisez la bijection réciproque de $\ch$.

\begin{aligned}
x^3 – x-2 = 0 &\Longleftrightarrow \ch (3\theta) = 3\sqrt{3}\\
&\Longleftrightarrow 3\theta = \argch(3\sqrt{3})\\
&\Longleftrightarrow \theta = \dfrac{1}{3}\argch(3\sqrt{3})\\
&\Longleftrightarrow x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \ch\left(\dfrac{1}{3}\argch(3\sqrt{3}) \right).
\end{aligned}

Conclusion : $x =\dfrac{2}{\sqrt{3}} \ch\left(\dfrac{1}{3}\argch(3\sqrt{3}) \right)$ est solution de l’équation $x^3-x-2=0.$

Cette solution peut s’écrire avec des radicaux, étant donné que : $\forall x\geq 1, \argch x = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$, le cosinus hyperbolique fait apparaître des exponentielles qui se simplifieront avec le logarithme mais donneront naissance à des racines cubiques. Cet article ne développera pas ce point.

Une stratégie pour expliciter une solution de l’équation de degré 3 : $x^3 – 2x -\dfrac{1}{4} = 0$

Vous suivez la même technique que précédemment.

Les coefficients de $x^3$ et de $x$ étant de signes contraires, pour tout $\theta\in\R$ et pour tout $r\in\R^{*}$, vous posez $x = rf(\theta)$, $f$ étant égale au cosinus trigonométrique ou hyperbolique, selon le second membre trouvé dans l’équivalence.

\begin{aligned}
x^3 – 2x-\dfrac{1}{4} = 0 &\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}x^3 – x-\dfrac{1}{8} = 0 \\
&\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}x^3 – 3x-\dfrac{3}{8} = 0 \\
&\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}r^3f(\theta)^3-3rf(\theta)=\dfrac{3}{8}\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}r^2f(\theta)^3-3f(\theta)=\dfrac{3}{8r}\\
\end{aligned}

Vous choisissez $r$ pour que $\dfrac{3}{8r}$ soit positif et pour que $\dfrac{3}{2}r^2 = 4$, soit $r = \sqrt{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}.$

Remarquez que $0\leq \dfrac{3}{8r} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8\sqrt{8}}\leq 1$, cela conduit à choisir $f$ égale au cosinus trigonométrique.

Pour tout $\theta\in\R$, posez $x = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\cos \theta$.
\begin{aligned}
x^3 – 2x-\dfrac{1}{4} = 0
&\Longleftrightarrow 4\cos^3 \theta-3\cos \theta= \dfrac{3\sqrt{3}}{8\sqrt{8}}\\
&\Longleftrightarrow \cos(3\theta) = \dfrac{3\sqrt{3}}{8\sqrt{8}}\\
&\Longleftrightarrow \cos(3\theta) = \dfrac{3\sqrt{6}}{32}.\\
\end{aligned}

Posez
\begin{aligned}
\theta_1 &= \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{3\sqrt{6}}{32}\right) \\
\theta_2 &= \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{3\sqrt{6}}{32}\right) +\dfrac{2\pi}{3}\\
\theta_3 &= \dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{3\sqrt{6}}{32}\right)+\dfrac{4\pi}{3}. \\
\end{aligned}

Alors les trois réels
\begin{aligned}
x_1 &= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\theta_1\right) \\
x_2 &= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\theta_2\right)\\
x_3 &= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\theta_3\right). \\
\end{aligned}
sont des solutions de l’équation $x^3 – 2x-\dfrac{1}{4} = 0.$

Comme $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont deux à deux distincts, l’équation $x^3 – 2x-\dfrac{1}{4} = 0$ est complètement résolue parce que toute équation polynomiale réelle de degré 3 admet au maximum 3 solutions.

Conclusion : l’équation $x^3 – 2x-\dfrac{1}{4} = 0$ admet exactement 3 solutions qui sont données par les réels :
\begin{aligned}
x_1 &= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{3\sqrt{6}}{32}\right) \right) \\
x_2 &= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{3\sqrt{6}}{32}\right) + \dfrac{2\pi}{3}\right)\\
x_3 &= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos \left(\dfrac{3\sqrt{6}}{32}\right) + \dfrac{4\pi}{3}\right). \\
\end{aligned}

074. A propos d’un algorithme sur le PPCM

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa

Avec deux suites

Dans l’intégralité de cet article, $a$ et $b$ désignent deux entiers strictement positifs.

Pour déterminer leur PPCM, deux suites $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ sont définies par récurrence :

\left\{\begin{array}{l} 
u_0 = 0,\\
v_0 = 0.
\end{array}\right.
\forall n\in\N, u_{n+1} = 
\left\{\begin{array}{ll} 
u_n & \text{ si }u_n> v_n\\
 u_n+a& \text{ si } u_n \leq v_n
\end{array}\right.
\forall n\in\N, v_{n+1} = 
\left\{\begin{array}{ll} 
v_n+b & \text{ si }u_n > v_n\\
 v_n& \text{ si } u_n \leq v_n.
\end{array}\right.

L’objectif de cet article est d’étudier le comportement de ces deux suites. Vous verrez qu’elles sont à nouveau égales après leur valeur de départ commune. De plus, quand cela se produit pour la première fois, leurs valeurs sont égales au PPCM des entiers $a$ et $b$.

Croissance des deux suites

Ce résultat est très important. Pour le voir, fixez un entier $n\in\N$.

$u_{n+1}-u_n \in \{0,a\}$ donc $u_{n+1}\geq u_n$.
De même $v_{n+1}-v_n \in \{0,b\}$ donc $v_{n+1}\geq v_n$.

Vous avez montré que les suites $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ sont croissantes.

Un exemple

Prenez $a=15$ et $b=18$.

Vous obtenez successivement :

\begin{array}{|c | c| c |}
\hline
u_n& v_n & n\\
\hline
0 & 0 & 0\\
15 & 18 & 1\\
30 & 18 & 2\\
30 & 36 & 3\\
45 & 36 & 4\\
45 & 54 & 5\\
60 & 54 & 6\\
60 & 72 & 7\\
75 & 72 & 8\\
75 & 90 & 9\\
90 & 90 & 10\\
105 & 90 & 11\\
105 & 108 & 12\\ 
\hline
\end{array}

Vous observez que le premier rang $n\geq 1$ qui vérifie $u_n=v_n$ vous fournit $90$ qui est le PPCM de $15$ et de $18$.

Certaines personnes sont étonnées de constater qu’un tel rang existe. La question est légitime : pourquoi, après avoir démarré de $0$, les deux suites finissent par être de nouveau égales ? Et pourquoi sur le PPCM ?

Pour prouver ce résultat, vous avez besoin d’en savoir un peu plus.

La plus petite des deux suites finit par augmenter de façon arithmétique jusqu’à dépasser l’autre suite qui reste stationnaire.

Cela vous amène à étudier deux situations.

Les deux comportements

Comportement 1 : si $p$ est un rang tel que $u_p\leq v_p\dots$ qu’advient-il ?

La situation s’inverse, il existe un rang $q>p$ de sorte que les suites se comportent comme suit :

  • la suite $(u_n)_{p\leq n\leq q }$ est arithmétique de raison $a$,
  • la suite $(v_n)_{p\leq n\leq q}$ est stationnaire,
  • $\forall n\in\N, p\leq n\leq q-1 \Longrightarrow u_n\leq v_n$,
  • $u_q>v_q$.

Soit $p\in\N$ tel que $u_p\leq v_p.$

D’après les définitions des deux suites, $u_{p+1} = u_p+a$ et $v_{p+1}=v_p.$

Notez $A$ la partie de $\N$ égale à l’ensemble des entiers naturels $r$ tels que :

  • $r\geq p+1$,
  • la suite $(u_n)_{p\leq n\leq r }$ est arithmétique de raison $a$,
  • la suite $(v_n)_{p\leq n\leq r}$ est stationnaire,
  • $\forall n\in\N, p\leq n\leq r-1 \Longrightarrow u_n\leq v_n.$

Constatez que $p+1\in A$ donc $A\neq \emptyset.$

Supposez que $A$ n’est pas majorée.

Alors la suite $(u_n)_{p\leq n}$ est arithmétique de raison $a$ et la suite $(v_n)_{p\leq n}$ est stationnaire. D’autre part :

\begin{array}{l}
\forall r\in\N, r\geq p \Longrightarrow u_r\leq v_r\\
\forall r\in\N, r\geq p \Longrightarrow u_p + (r-p)a \leq v_p\\
\forall r\in\N, r\geq p \Longrightarrow r\leq p + \dfrac{v_p-u_p}{a}.
\end{array}

Mais il existe un entier supérieur à $p + 1 + \dfrac{v_p-u_p}{a}.$ Contradiction.

Par l’absurde, vous venez de montrer que $A$ est majorée.

La partie $A$ est incluse dans $\N$, elle est non vide et majorée.
Notez $q$ son plus grand élément. Vous savez que $q\in A$ :

  • $q\geq p+1$,
  • la suite $(u_n)_{p\leq n\leq q }$ est arithmétique de raison $a$,
  • la suite $(v_n)_{p\leq n\leq q}$ est stationnaire,
  • $\forall n\in\N, p\leq n\leq q-1 \Longrightarrow u_n\leq v_n.$

Supposez que $u_q \leq v_q$.

Alors $u_{q+1}=u_q + a$ donc la suite $(u_n)_{p\leq n\leq q+1}$ est arithmétique de raison $a$.

$v_{q+1}=v_q$ donc la suite $(v_n)_{p\leq n \leq q+1}$ est stationnaire.

D’autre part, $\forall n\in\N, p\leq n\leq q \Longrightarrow u_n\leq v_n$.

Donc $q+1\in A$. Contradiction, $q$ étant le plus grand élément de $A$.

Par l’absurde, vous venez de justifier que $u_q>v_q.$

Cela achève la démonstration.

Comportement 2 : si $p$ est un rang tel que $u_p> v_p\dots$ qu’advient-il ?

La situation s’inverse à nouveau, il existe un rang $q>p$ de sorte que les suites se comportent comme suit :

  • la suite $(u_n)_{p\leq n\leq q }$ est stationnaire,
  • la suite $(v_n)_{p\leq n\leq q}$ est arithmétique de raison $b$,
  • $\forall n\in\N, p\leq n\leq q-1 \Longrightarrow u_n > v_n$,
  • $u_q\leq v_q$.

Soit $p\in\N$ tel que $u_p> v_p.$

D’après les définitions des deux suites, $u_{p+1} = u_p$ et $v_{p+1}=v_p+b.$

Notez $A$ la partie de $\N$ égale à l’ensemble des entiers naturels $r$ tels que :

  • $r\geq p+1$,
  • la suite $(u_n)_{p\leq n\leq r }$ est stationnaire,
  • la suite $(v_n)_{p\leq n\leq r}$ est arithmétique de raison $b$,
  • $\forall n\in\N, p\leq n\leq r-1 \Longrightarrow u_n > v_n.$

Constatez que $p+1\in A$ donc $A\neq \emptyset.$

Supposez que $A$ n’est pas majorée.

Alors la suite $(u_n)_{p\leq n}$ est stationnaire et la suite $(v_n)_{p\leq n}$ est arithmétique de raison $b$. D’autre part :

\begin{array}{l}
\forall r\in\N, r\geq p \Longrightarrow u_r> v_r\\
\forall r\in\N, r\geq p \Longrightarrow u_p > v_p + (r-p)b\\
\forall r\in\N, r\geq p \Longrightarrow \dfrac{u_p-v_p}{b}+p>r.
\end{array}

Mais il existe un entier supérieur à $p + 1 + \dfrac{u_p-v_p}{b}.$ Contradiction.

Par l’absurde, vous venez de montrer que $A$ est majorée.

La partie $A$ est incluse dans $\N$, elle est non vide et majorée.
Notez $q$ son plus grand élément. Vous savez que $q\in A$ :

  • $q\geq p+1$,
  • la suite $(u_n)_{p\leq n\leq q }$ est stationnaire,
  • la suite $(v_n)_{p\leq n\leq q}$ est arithmétique de raison $b$,
  • $\forall n\in\N, p\leq n\leq q-1 \Longrightarrow u_n> v_n.$

Supposez que $u_q > v_q$.

Alors $u_{q+1}=u_q$ donc la suite $(u_n)_{p\leq n\leq q+1}$ est stationnaire.

$v_{q+1}=v_q+b$ donc la suite $(v_n)_{p\leq n \leq q+1}$ est arithmétique de raison $b$.

D’autre part, $\forall n\in\N, p\leq n\leq q \Longrightarrow u_n> v_n$.

Donc $q+1\in A$. Contradiction, $q$ étant le plus grand élément de $A$.

Par l’absurde, vous venez de justifier que $u_q\leq v_q.$

Cela achève la démonstration.

Etude des multiples de $a$ et de $b$ atteints par les suites

La suite $(u_n)$ est « tantôt stationnaire », sur une certaine plage de rangs, « tantôt arithmétique » de raison $a$, il vous semble « logique » que tous les multiples de $a$ soient atteints par cette suite. Et effectivement, c’est bien le cas. Passez à la démonstration de ce résultat.

Vous allez montrer que $\forall k\in\N, \exists n\in\N, ka =u_n.$

Pour tout $k\in\N$, notez $P(k)$ la propriété : « $\exists n\in\N, ka=u_n $ ».

Initialisation : pour $k=0$, $ka = 0\times a = 0.$ Or $u_0 = 0$ donc $0\times a=u_0$ et $P(0)$ est vérifiée.

Hérédité : soit $k\in\N$, supposez $P(k)$.

Il existe $n\in\N$ tel que $ka = u_n$.

Si $u_n\leq v_n$, alors $u_{n+1} = u_n+a = ka +a= (k+1)a$ et $P(k+1)$ est vérifiée.

Sinon, $u_n > v_n$. D’après le comportement 2, il existe un rang $m>n$ de sorte que :

  • la suite $(u_i)_{n\leq i\leq m }$ est stationnaire,
  • $u_m\leq v_m$.

Comme $u_m \leq v_m$, vous obtenez $u_{m+1} = u_{m} + a = u_n +a = ka+a = (k+1)a$ et $P(k+1)$ est encore vérifiée.

Cela finit la démonstration.

La suite $(v_n)$ possède un comportement similaire. Elle est « tantôt stationnaire », sur une certaine plage de rangs, « tantôt arithmétique » de raison $b$, il vous semble aussi « logique » que tous les multiples de $b$ soient atteints par cette suite. Et effectivement, c’est bien le cas. Passez à la démonstration de ce résultat.

Vous allez montrer que $\forall k\in\N, \exists n\in\N, kb =v_n.$

Pour tout $k\in\N$, notez $P(k)$ la propriété : « $\exists n\in\N, kb=v_n $ ».

Initialisation : pour $k=0$, $kb = 0\times b = 0.$ Or $v_0 = 0$ donc $0\times b=v_0$ et $P(0)$ est vérifiée.

Hérédité : soit $k\in\N$, supposez $P(k)$.

Il existe $n\in\N$ tel que $kb = v_n$.

Si $u_n> v_n$, alors $v_{n+1} = v_n+b = kb+b = (k+1)b$ et $P(k+1)$ est vérifiée.

Sinon, $u_n \leq v_n$. D’après le comportement 1, il existe un rang $m>n$ de sorte que :

  • la suite $(v_i)_{n\leq i\leq m }$ est stationnaire,
  • $u_m> v_m$.

Comme $u_m > v_m$, vous obtenez $v_{m+1} = v_{m} + b = v_n +b = kb+b = (k+1)b$ et $P(k+1)$ est encore vérifiée.

Cela finit la démonstration.

Le PPCM est atteint par les deux suites au même moment

Notez $\delta$ le PPCM des entiers $a$ et $b$. $\delta$ étant un multiple de $a$ et de $b$, il existe $(n,m)\in\N^2$, $\delta = u_n = v_m$.

Vous allez montrer que l’ensemble $\{i\in\N, \delta = u_i=v_i\}$ est non vide.

Cas 1 : $m\leq n$

Par croissance de la suite $(u_i)_{i\in\N}$, $u_m\leq u_n$, donc $u_m \leq v_m$.

D’après le comportement 1, il existe un rang $p>m$ de sorte que :

  • la suite $(u_i)_{m\leq i\leq p }$ est arithmétique de raison $a$,
  • la suite $(v_i)_{m\leq i\leq p}$ est stationnaire avec $\delta$ pour valeur,
  • $\forall n\in\N, m\leq i\leq p-1 \Longrightarrow u_i\leq v_i \leq \delta$,
  • $u_p>v_p\geq v_m\geq \delta$.

Si vous aviez $n\geq p$, par croissance de la suite $(u_i)_{i\in\N}$, $\delta \geq u_n\geq u_p>\delta$, contradiction.

Donc $m\leq n \leq p-1.$ Aussitôt : $\delta\leq u_n \leq v_n \leq \delta.$ Donc $\delta = v_n = u_n$.

Cas 2 : $n\leq m$

Par croissance de la suite $(v_i)_{i\in\N}$, $v_n\leq v_m \leq \delta \leq u_n$, donc $u_n \geq v_n$. Si $u_n=v_n$, alors $\delta = u_n=v_n$ et c’est terminé.

Supposez $u_n>v_n$.

D’après le comportement 2, il existe un rang $p>n$ de sorte que :

  • la suite $(u_i)_{n\leq i\leq p }$ est stationnaire de valeur $\delta$,
  • la suite $(v_i)_{n\leq i\leq p}$ est arithmétique de raison $b$,
  • $\forall i\in\N, n\leq i\leq p-1 \Longrightarrow \delta \geq u_i > v_i$,
  • $\delta \leq u_n \leq u_p\leq v_p$.

Si vous aviez $m\leq p-1$ alors $n\leq m \leq p-1$ et donc $\delta > v_m \geq \delta$, contradiction.

Donc $m\geq p$, donc $\delta \leq u_n \leq u_p \leq v_p \leq v_m \leq \delta$ aussitôt $\delta = v_p = u_p.$

Le plus petit rang non nul pour lequel les suites sont égales correspond au PPCM

D’après ce qui précède, il existe $n\in\N$, $\delta = u_n = v_n$. Or, $\delta\neq 0$, donc $n\neq 0$. L’ensemble $\{i\in\NN, u_i=v_i\}$ est une partie non vide de $\N$. Notez $s$ son minimum.

Vous voulez comprendre pourquoi $u_s = v_s = \delta$…

Premièrement, vous savez d’après ce qui précède qu’il existe un entier $p\in\N$ tel que $\delta = u_p = v_p.$ Par minimalité de $s$, vous avez $s\leq p$ et par croissance des suites $u$ et $v$ : $u_s\leq u_p \leq \delta$ et $ v_s \leq v_p \leq \delta$.

Ensuite, $u_s$ est un terme de la suite $(u_n)$ donc c’est un multiple de $a$, de même pour $v_s$ qui est un terme de la suite $(v_n)$ qui est un multiple de $b$. Comme $u_s = v_s$ vous en déduisez que $u_s$ est un multiple de $a$ et de $b$. Par définition du PPCM, $\delta \leq u_s$ et $\delta \leq v_s$.

Aussitôt $\delta \leq u_s\leq u_p \leq \delta$ et $\delta \leq v_s \leq v_p \leq \delta$ ce qui fournit le résultat.

073. Divergence de la série harmonique

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Pour tout $n\in\N^{*}$ considérez la suite définie par $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.

Cette suite est à termes positifs et $\forall n\in\N^{*}, u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est positif.

La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est croissante. Soit elle converge vers un réel, soit elle diverge vers $+\infty$.

Raisonnez par l’absurde

Supposez qu’il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell $.
Vous voulez arriver à une impossibilité.

Définissez des notations utiles

Notez $2\N$ l’ensemble des entiers naturels pairs et $2\N+1$ l’ensemble des entiers naturels impairs.

Pour tout réel $x$, notez $[x]$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, appelé aussi partie entière de $x$.

Séparez les termes pairs des termes impairs

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.

\begin{aligned}
u_{n} &= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{k\in[1,n]\cap 2\N} \dfrac{1}{k} + \sum_{k\in[1,n]\cap (2\N+1)} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{2p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
&=\dfrac{1}{2} \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
\end{aligned}

Aussitôt : $\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} = u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}.$

Effectuez une soustraction à partir de la relation précédente

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.

Vous allez effectuer une soustraction en majorant le dénominateur $2p+1$ par $2p+2$. Vous faites apparaître une nouvelle somme grâce à la relation :$ \forall p\in\N, \dfrac{1}{2p+1} – \dfrac{1}{2p+2} = \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}. $

\begin{aligned}
\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} -\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2} &= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{p+1}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]+1} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.\\
\end{aligned}

Aussitôt : $\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$

Vous avez dans le terme de gauche une somme de termes strictement positifs. Vous la minorez par son premier terme lorsque $p=0$ :

$\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$

Passez à la limite

Pour tout entier naturel $n$, $\left[\frac{n+1}{2}\right] > \frac{n+1}{2} -1$ et $\left[\frac{n}{2}\right] > \frac{n}{2} -1$.

Aussitôt, quand $n\to +\infty$, $\left[\frac{n+1}{2}\right]\to +\infty$ et $\left[\frac{n}{2}\right]\to +\infty.$

Et l’impossibilité apparaît

Par passage à la limite dans la relation : $\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}$

vous en déduisez que :
\begin{aligned}
\dfrac{1}{2}&\leq \ell – \dfrac{1}{2}\ell – \dfrac{1}{2}\ell\\
\dfrac{1}{2}&\leq 0.
\end{aligned}

Contradiction.

Conclusion

La série harmonique diverge vers $+\infty$.

$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k} = +\infty.$