Soit $\K$ un corps quelconque et $\L$ un corps contenant $\K$.
Supposez que $\alpha$ est un élément algébrique sur $\K$, i.e. il existe un polynôme $P$ non nul de $\K[X]$ tel que $P(\alpha)=0.$
Remarquez déjà que $P$ est de degré supérieur à égal à $1$. Si tel n’était pas le cas, $P$ serait constant et non nul et l’égalité $P(\alpha)=0$ forcerait la valeur de cette constante à $0$ et donc $P$ serait nul, ce qui constitue une contradiction.
Vers un polynôme irréductible
Vous savez que dans $\R[X]$, tout comme dans $\C[X]$ les polynômes s’écrivent tous comme produits de polynômes irréductibles.
Pour le corps $\K$, rappelez-vous ce que signifie la notion de « polynôme irréductible ». La définition est analogue à celle des nombres premiers.
Par exemple, $1$ n’est pas un nombre premier pour assurer l’unicité de la décomposition d’un entier $n\geq 2$ comme produit de nombres premiers. Pour les polynômes, on effectue l’analogie et on définit les polynômes constants comme n’étant pas irréductibles. Ces remarques conduisent à la définition suivante.
Un polynôme $A\in \K[X]$ est dit irréductible sur $\K$, si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
$A$ est de degré supérieur ou égal à 1,
$\forall B \in \K[X]$, $ B$ divise $A \Rightarrow (\exists \lambda\in \K^{*}, A = \lambda$ ou $B=\lambda A)$.
La dernière condition peut être remplacée par : « les seuls polynômes qui divisent $A$ sont les polynômes constants et les polynômes associés à $A$« .
Vous voulez montrer maintenant qu’il existe un et un seul polynôme unitaire et irréductible $A\in \K[X]$ tel que $A(\alpha)=0$. Cela sera montré en deux étapes.
Existence d’un polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule $\alpha$
Parmi tous les polynômes unitaires de $\K[X]$ qui annulent $\alpha$, vous allez considérer « les plus petits », c’est-à-dire ceux qui ont un degré minimal. Cela conduit à considérer l’ensemble suivant.
$E = \{ n\in \N^{*}, \exists Q\in\K[X], Q\text{ est unitaire, de degré }n, \text{ tel que }Q(\alpha)=0.\}$
Soit $c\neq 0$ le coefficient dominant du polynôme $P$. Considérez $P_0 = \dfrac{1}{c} P$.
Il s’ensuit que $\mathrm{deg} P_0 \in E $ vu que $P_0$ est unitaire de même degré que $P$ et annulant $\alpha$.
L’ensemble $E$ est non vide. Comme $E\subset \N^{*}$ notons $m\geq 1$ le plus petit élément de $E$. Il existe ainsi un polynôme $Q\in\K[X]$ unitaire, de degré $m\geq 1$, tel que $Q(\alpha)=0$. Il reste à montrer que $Q$ est irréductible sur $\K$.
Vous allez y parvenir grâce à ce lemme : si $B$ est un diviseur de $Q$ dans $\K[X]$ tel que $B(\alpha)=0$, alors $B$ et $Q$ sont associés.
Preuve du lemme. Soit $B$ un diviseur de $Q$ dans $\K[X]$ tel que $B(\alpha)=0$. Il existe $C\in\K[X]$ tel que $Q(X)=B(X)C(X)$.
Si $B$ était constant, on aurait $B(X)=B(\alpha)=0$ et $Q=BC=0$, contradiction. Donc $B$ n’est pas constant. Notez $b\neq 0$ le coefficient dominant de $B$ et considérez $B_0 = \dfrac{1}{b}B$.
Comme $\mathrm{deg} B_0 = \mathrm{deg} B$ vous constatez que $B_0$ est unitaire, annule $\alpha$ et a un degré supérieur ou égal à $1$. Donc $\mathrm{deg} B_0\in E$.
Il s’ensuit que, par minimalité de $m$, $m\leq \mathrm{deg} B_0 \leq \mathrm{deg} B$. Comme $B$ divise $Q$, $\mathrm{deg} B \leq m$ donc $\mathrm{deg} B = m$. $Q$ et $B$ ayant le même degré, $C(X)$ est constant. Cette constante est non nulle sinon $Q$ serait nul. Par conséquent, il existe $\mu \in \K^{*}$ tel que $C(X)=\mu$ et vous obtenez $B(X)=\dfrac{1}{\mu}Q(X)$. Le lemme est démontré.
Maintenant, vous avez tous les outils pour montrer que $Q$ est irréductible sur $\K$.
Remarquez que $Q$ est de degré supérieur ou égal à 1.
Notez $B\in \K[X]$ un diviseur de $Q$. Il existe un polynôme $C\in\K[X]$ tel que $Q=BC$.
Supposez que $B(\alpha)=0$. Par application du lemme à $B$, $B$ est associé à $Q$.
Supposez maintenant que $B(\alpha)\neq 0$. Posez $\lambda = B(\alpha) $, $\lambda\in\K^{*}$. Comme $Q(\alpha)=0=B(\alpha)C(\alpha)$, par intégrité du corps $\K$, vous avez $C(\alpha)=0$. Comme $C$ est un diviseur de $Q$ dans $\K[X]$, par application du lemme à $C$, $C$ et $Q$ sont associés. Ils ont le même degré. Aussitôt, $B$ est constant, donc $B(X)=\lambda$.
Unicité du polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule $\alpha$
Soient $R$ et $S$ deux polynômes unitaires et irréductibles sur $\K$ tels que $R(\alpha)=S(\beta)=0.$
Notez $T$ le PGCD des deux polynômes $R$ et $S$. Ce PGCD est le polynôme unitaire de plus haut degré divisant à la fois $R$ et $S$. Par l’algorithme d’Euclide, vous savez que $T\in\K[X]$.
Supposez que $T$ est constant. D’après la relation de Bézout, il existe $U$ et $V$, deux polynômes à coefficients dans $K$, tels que $T(X)= U(X)R(X)+V(X)S(X)$. Alors $T(\alpha) = U(\alpha)\times 0 + V(\alpha)\times 0 = 0.$ Donc $T(X)=T(\alpha)=0$. Comme $R$ est un multiple de $T$, c’est que $R=0$. Contradiction avec $\mathrm{deg}R \geq 1.$
Donc $T$ n’est pas constant. $\mathrm{deg} T \geq 1.$ Comme $T$ est un diviseur de $R$ qui est irréductible sur $\K$, $T$ est associé à $R$. Comme $T$ et $R$ sont unitaires, $T=R$. De même, comme $T$ est un diviseur de $S$ qui est irréductible sur $\K$, $T$ et $S$ sont associés. Ils sont unitaires donc $T=S$.
Finalement $R=T=S$.
Quels sont les polynômes de $\K[X]$ qui annulent $\alpha$ ?
Soit $A$ un polynôme de $\K[X]$ qui annule $\alpha$. Notez $\Pi$ l’unique polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule aussi $\alpha$.
Notez $B$ le PGCD des polynômes $\Pi$ et $A$. Alors $B\in\K[X]$. Il existe deux polynômes de Bézout $U$ et $V$ de $\K[X]$ tels que $B = UA+V\Pi$. En substituant $\alpha$, vous trouvez $B(\alpha)=0$.
Or, $B$ divise $\Pi$ qui est irréductible. Si $B$ est constant alors il est identiquement nul, donc $\Pi$ est nul, contradiction. Donc $B$ n’est pas constant. Il est donc associé à $\Pi$. Comme $B$ divise $A$ et que $B$ et $\Pi$ sont associés, aussitôt $\Pi$ divise $A$.
L’ensemble des multiples de $\Pi$ dans $\K[X]$ est l’ensemble des polynômes de $\K[X]$ qui annulent $\alpha$. C’est pour cette raison que le polynôme $\Pi$ est aussi appelé « polynôme minimal » de $\alpha$.
Que peut-on dire d’un polynôme de $\K[X]$ qui n’annule pas $\alpha$ ?
Soit $Q$ un polynôme à coefficients dans $\K$ tel que $Q(\alpha)\neq 0$. Vous pourrez former l’inverse $\dfrac{1}{Q(\alpha)}$ et l’exprimer comme un polynôme en $\alpha$.
C’est ainsi qu’il est possible d’écrire une expression de la forme $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ sans racine carrée au dénominateur…
Reprenez le polynôme $Q$ et diminuez son degré en le divisant par le polynôme minimal $\Pi$.
De l’algorithme d’Euclide, vous déduisez l’existence de deux polynômes $A$ et $B$ à coefficients dans $\K$ tels que $Q=A\Pi+B$ avec la condition de degré $\mathrm{deg} B < \mathrm{deg} \Pi.$
En substituant $\alpha$ vous trouvez $Q(\alpha) = B(\alpha)$. Il reste à montrer que $\dfrac{1}{B(\alpha)}$ s’exprime comme un polynôme en $\alpha$.
Considérez les coefficients de Bézout dans le calcul du PGCD de $\Pi$ et de $B$ noté $R$. Comme $\mathrm{deg}R \leq \mathrm{deg}B < \mathrm{deg} \Pi$, $R$ ne peut être associé à $\Pi$. Comme $\Pi$ est irréductible, $R$ est une constante non nulle. Donc il existe $\lambda\in\K^{*}$ et deux polynômes $U$ et $V$ à coefficients dans $\K$ tels que $\lambda = U\Pi + VB.$ En substituant $\alpha$, vous trouvez $\lambda = V(\alpha)B(\alpha)$ aussitôt $\dfrac{1}{Q(\alpha)} = \dfrac{1}{B(\alpha)}=\dfrac{V(\alpha)}{\lambda}.$
