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École AVOSZ 

École AVOSZ

Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES

073. Divergence de la série harmonique

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Pour tout $n\in\N^{*}$ considérez la suite définie par $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.

Cette suite est à termes positifs et $\forall n\in\N^{*}, u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est positif.

La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est croissante. Soit elle converge vers un réel, soit elle diverge vers $+\infty$.

Raisonnez par l’absurde

Supposez qu’il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell $.
Vous voulez arriver à une impossibilité.

Définissez des notations utiles

Notez $2\N$ l’ensemble des entiers naturels pairs et $2\N+1$ l’ensemble des entiers naturels impairs.

Pour tout réel $x$, notez $[x]$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, appelé aussi partie entière de $x$.

Séparez les termes pairs des termes impairs

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.

\begin{aligned}
u_{n} &= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{k\in[1,n]\cap 2\N} \dfrac{1}{k} + \sum_{k\in[1,n]\cap (2\N+1)} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{2p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
&=\dfrac{1}{2} \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
\end{aligned}

Aussitôt : $\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} = u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}.$

Effectuez une soustraction à partir de la relation précédente

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.

Vous allez effectuer une soustraction en majorant le dénominateur $2p+1$ par $2p+2$. Vous faites apparaître une nouvelle somme grâce à la relation :$ \forall p\in\N, \dfrac{1}{2p+1} – \dfrac{1}{2p+2} = \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}. $

\begin{aligned}
\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} -\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2} &= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{p+1}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]+1} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.\\
\end{aligned}

Aussitôt : $\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$

Vous avez dans le terme de gauche une somme de termes strictement positifs. Vous la minorez par son premier terme lorsque $p=0$ :

$\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$

Passez à la limite

Pour tout entier naturel $n$, $\left[\frac{n+1}{2}\right] > \frac{n+1}{2} -1$ et $\left[\frac{n}{2}\right] > \frac{n}{2} -1$.

Aussitôt, quand $n\to +\infty$, $\left[\frac{n+1}{2}\right]\to +\infty$ et $\left[\frac{n}{2}\right]\to +\infty.$

Et l’impossibilité apparaît

Par passage à la limite dans la relation : $\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}$

vous en déduisez que :
\begin{aligned}
\dfrac{1}{2}&\leq \ell – \dfrac{1}{2}\ell – \dfrac{1}{2}\ell\\
\dfrac{1}{2}&\leq 0.
\end{aligned}

Contradiction.

Conclusion

La série harmonique diverge vers $+\infty$.

$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k} = +\infty.$

072. Polynôme minimal d’un élément algébrique

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes

Soit $\K$ un corps quelconque et $\L$ un corps contenant $\K$.

Supposez que $\alpha$ est un élément algébrique sur $\K$, i.e. il existe un polynôme $P$ non nul de $\K[X]$ tel que $P(\alpha)=0.$

Remarquez déjà que $P$ est de degré supérieur à égal à $1$. Si tel n’était pas le cas, $P$ serait constant et non nul et l’égalité $P(\alpha)=0$ forcerait la valeur de cette constante à $0$ et donc $P$ serait nul, ce qui constitue une contradiction.

Vers un polynôme irréductible

Vous savez que dans $\R[X]$, tout comme dans $\C[X]$ les polynômes s’écrivent tous comme produits de polynômes irréductibles.

Pour le corps $\K$, rappelez-vous ce que signifie la notion de « polynôme irréductible ». La définition est analogue à celle des nombres premiers.

Par exemple, $1$ n’est pas un nombre premier pour assurer l’unicité de la décomposition d’un entier $n\geq 2$ comme produit de nombres premiers. Pour les polynômes, on effectue l’analogie et on définit les polynômes constants comme n’étant pas irréductibles. Ces remarques conduisent à la définition suivante.

Un polynôme $A\in \K[X]$ est dit irréductible sur $\K$, si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
$A$ est de degré supérieur ou égal à 1,
$\forall B \in \K[X]$, $ B$ divise $A \Rightarrow (\exists \lambda\in \K^{*}, A = \lambda$ ou $B=\lambda A)$.

La dernière condition peut être remplacée par : « les seuls polynômes qui divisent $A$ sont les polynômes constants et les polynômes associés à $A$« .

Vous voulez montrer maintenant qu’il existe un et un seul polynôme unitaire et irréductible $A\in \K[X]$ tel que $A(\alpha)=0$. Cela sera montré en deux étapes.

Existence d’un polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule $\alpha$

Parmi tous les polynômes unitaires de $\K[X]$ qui annulent $\alpha$, vous allez considérer « les plus petits », c’est-à-dire ceux qui ont un degré minimal. Cela conduit à considérer l’ensemble suivant.
$E = \{ n\in \N^{*}, \exists Q\in\K[X], Q\text{ est unitaire, de degré }n, \text{ tel que }Q(\alpha)=0.\}$

Soit $c\neq 0$ le coefficient dominant du polynôme $P$. Considérez $P_0 = \dfrac{1}{c} P$.
Il s’ensuit que $\mathrm{deg} P_0 \in E $ vu que $P_0$ est unitaire de même degré que $P$ et annulant $\alpha$.

L’ensemble $E$ est non vide. Comme $E\subset \N^{*}$ notons $m\geq 1$ le plus petit élément de $E$. Il existe ainsi un polynôme $Q\in\K[X]$ unitaire, de degré $m\geq 1$, tel que $Q(\alpha)=0$. Il reste à montrer que $Q$ est irréductible sur $\K$.

Vous allez y parvenir grâce à ce lemme : si $B$ est un diviseur de $Q$ dans $\K[X]$ tel que $B(\alpha)=0$, alors $B$ et $Q$ sont associés.

Preuve du lemme. Soit $B$ un diviseur de $Q$ dans $\K[X]$ tel que $B(\alpha)=0$. Il existe $C\in\K[X]$ tel que $Q(X)=B(X)C(X)$.

Si $B$ était constant, on aurait $B(X)=B(\alpha)=0$ et $Q=BC=0$, contradiction. Donc $B$ n’est pas constant. Notez $b\neq 0$ le coefficient dominant de $B$ et considérez $B_0 = \dfrac{1}{b}B$.

Comme $\mathrm{deg} B_0 = \mathrm{deg} B$ vous constatez que $B_0$ est unitaire, annule $\alpha$ et a un degré supérieur ou égal à $1$. Donc $\mathrm{deg} B_0\in E$.
Il s’ensuit que, par minimalité de $m$, $m\leq \mathrm{deg} B_0 \leq \mathrm{deg} B$. Comme $B$ divise $Q$, $\mathrm{deg} B \leq m$ donc $\mathrm{deg} B = m$. $Q$ et $B$ ayant le même degré, $C(X)$ est constant. Cette constante est non nulle sinon $Q$ serait nul. Par conséquent, il existe $\mu \in \K^{*}$ tel que $C(X)=\mu$ et vous obtenez $B(X)=\dfrac{1}{\mu}Q(X)$. Le lemme est démontré.

Maintenant, vous avez tous les outils pour montrer que $Q$ est irréductible sur $\K$.

Remarquez que $Q$ est de degré supérieur ou égal à 1.
Notez $B\in \K[X]$ un diviseur de $Q$. Il existe un polynôme $C\in\K[X]$ tel que $Q=BC$.
Supposez que $B(\alpha)=0$. Par application du lemme à $B$, $B$ est associé à $Q$.
Supposez maintenant que $B(\alpha)\neq 0$. Posez $\lambda = B(\alpha) $, $\lambda\in\K^{*}$. Comme $Q(\alpha)=0=B(\alpha)C(\alpha)$, par intégrité du corps $\K$, vous avez $C(\alpha)=0$. Comme $C$ est un diviseur de $Q$ dans $\K[X]$, par application du lemme à $C$, $C$ et $Q$ sont associés. Ils ont le même degré. Aussitôt, $B$ est constant, donc $B(X)=\lambda$.

Unicité du polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule $\alpha$

Soient $R$ et $S$ deux polynômes unitaires et irréductibles sur $\K$ tels que $R(\alpha)=S(\beta)=0.$

Notez $T$ le PGCD des deux polynômes $R$ et $S$. Ce PGCD est le polynôme unitaire de plus haut degré divisant à la fois $R$ et $S$. Par l’algorithme d’Euclide, vous savez que $T\in\K[X]$.
Supposez que $T$ est constant. D’après la relation de Bézout, il existe $U$ et $V$, deux polynômes à coefficients dans $K$, tels que $T(X)= U(X)R(X)+V(X)S(X)$. Alors $T(\alpha) = U(\alpha)\times 0 + V(\alpha)\times 0 = 0.$ Donc $T(X)=T(\alpha)=0$. Comme $R$ est un multiple de $T$, c’est que $R=0$. Contradiction avec $\mathrm{deg}R \geq 1.$

Donc $T$ n’est pas constant. $\mathrm{deg} T \geq 1.$ Comme $T$ est un diviseur de $R$ qui est irréductible sur $\K$, $T$ est associé à $R$. Comme $T$ et $R$ sont unitaires, $T=R$. De même, comme $T$ est un diviseur de $S$ qui est irréductible sur $\K$, $T$ et $S$ sont associés. Ils sont unitaires donc $T=S$.

Finalement $R=T=S$.

Quels sont les polynômes de $\K[X]$ qui annulent $\alpha$ ?

Soit $A$ un polynôme de $\K[X]$ qui annule $\alpha$. Notez $\Pi$ l’unique polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule aussi $\alpha$.

Notez $B$ le PGCD des polynômes $\Pi$ et $A$. Alors $B\in\K[X]$. Il existe deux polynômes de Bézout $U$ et $V$ de $\K[X]$ tels que $B = UA+V\Pi$. En substituant $\alpha$, vous trouvez $B(\alpha)=0$.
Or, $B$ divise $\Pi$ qui est irréductible. Si $B$ est constant alors il est identiquement nul, donc $\Pi$ est nul, contradiction. Donc $B$ n’est pas constant. Il est donc associé à $\Pi$. Comme $B$ divise $A$ et que $B$ et $\Pi$ sont associés, aussitôt $\Pi$ divise $A$.

L’ensemble des multiples de $\Pi$ dans $\K[X]$ est l’ensemble des polynômes de $\K[X]$ qui annulent $\alpha$. C’est pour cette raison que le polynôme $\Pi$ est aussi appelé « polynôme minimal » de $\alpha$.

Que peut-on dire d’un polynôme de $\K[X]$ qui n’annule pas $\alpha$ ?


Soit $Q$ un polynôme à coefficients dans $\K$ tel que $Q(\alpha)\neq 0$. Vous pourrez former l’inverse $\dfrac{1}{Q(\alpha)}$ et l’exprimer comme un polynôme en $\alpha$.

C’est ainsi qu’il est possible d’écrire une expression de la forme $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ sans racine carrée au dénominateur…

Reprenez le polynôme $Q$ et diminuez son degré en le divisant par le polynôme minimal $\Pi$.

De l’algorithme d’Euclide, vous déduisez l’existence de deux polynômes $A$ et $B$ à coefficients dans $\K$ tels que $Q=A\Pi+B$ avec la condition de degré $\mathrm{deg} B < \mathrm{deg} \Pi.$

En substituant $\alpha$ vous trouvez $Q(\alpha) = B(\alpha)$. Il reste à montrer que $\dfrac{1}{B(\alpha)}$ s’exprime comme un polynôme en $\alpha$.

Considérez les coefficients de Bézout dans le calcul du PGCD de $\Pi$ et de $B$ noté $R$. Comme $\mathrm{deg}R \leq \mathrm{deg}B < \mathrm{deg} \Pi$, $R$ ne peut être associé à $\Pi$. Comme $\Pi$ est irréductible, $R$ est une constante non nulle. Donc il existe $\lambda\in\K^{*}$ et deux polynômes $U$ et $V$ à coefficients dans $\K$ tels que $\lambda = U\Pi + VB.$ En substituant $\alpha$, vous trouvez $\lambda = V(\alpha)B(\alpha)$ aussitôt $\dfrac{1}{Q(\alpha)} = \dfrac{1}{B(\alpha)}=\dfrac{V(\alpha)}{\lambda}.$

071. Comment simplifier une expression ? (2/2)

Rédigé par on | Niveau Prépa

Soit $\alpha$ un réel vérifiant la relation $\boxed{4\alpha^3 = 3\alpha+8}$. Vous souhaitez simplifier la fraction suivante : $\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}.$

Les coefficients de Bézout

Vous allez chercher deux polynômes $P$ et $Q$ tels que $P(X)(4X^3-3X-8)+Q(X)(4X^2-1)=1$.

Pourquoi ? Si vous y parvenez, en remplaçant l’indéterminée $X$ par $\alpha$, vous obtiendrez $P(\alpha)(4\alpha^3-3\alpha-8)+Q(\alpha)(4\alpha^2-1)=1$. Comme $4\alpha^3-3\alpha-8=0$, vous aurez l’égalité $\dfrac{1}{4\alpha^2-1} = Q(\alpha)$.

Pour la suite, posez $A(X)=4X^3-3X-8$ et $B(X)=4X^2-1.$

Commencez par les relations fondamentales.

\begin{aligned}
1A(X)+0B(X) &= 4X^3-3X-8 \\
0A(X)+1B(X) &=4X^2-1.
\end{aligned}

Effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivi de $L_2 \leftarrow L_2-XL_1.$

\begin{aligned}
0A(X)+1B(X) &= 4X^2-1 \\
1A(X)-XB(X) &=-2X-8.
\end{aligned}

Effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivi de $L_2 \leftarrow L_2+2XL_1.$

\begin{aligned}
1A(X)-XB(X) &=-2X-8\\
2XA(X)+(-2X^2+1)B(X) &=-16X-1 \\
\end{aligned}

Effectuez la combinaison $ -8L_1+L_2$ qui élimine $X$ dans le membre de droite, pour obtenir $(2X-8)A(X)+(-2X^2+8X+1)B(X)=63.$

Cela vous donne : $\dfrac{63}{4\alpha^2-1} = -2\alpha^2+8\alpha+1.$

Ainsi : $\dfrac{63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} = (\alpha^3+1)(-2\alpha^2+8\alpha+1).$

Dernière partie, la simplification cherchée

Pour utiliser l’expression $4\alpha^3=3\alpha+8$, vous multipliez par $4$ :

\begin{align*}
\dfrac{4\times 63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &= (4\alpha^3+4)(-2\alpha^2+8\alpha+1) \\
&=(3\alpha+12)(-2\alpha^2+8\alpha+1)\\
&=-6\alpha^3+24\alpha^2+3\alpha-24\alpha^2+96\alpha+12\\
&=-6\alpha^3+99\alpha+12.
\end{align*}

Vous divisez par $3$ :
$\dfrac{4\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =-2\alpha^3+33\alpha+4.$

Vous multipliez par $2$ :
\begin{aligned}
\dfrac{8\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &=-4\alpha^3+66\alpha+8\\
&= -3\alpha-8+66\alpha+8\\
&=63\alpha.
\end{aligned}

Vous divisez par $21$ :
$\dfrac{8(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =3\alpha$

et finalement vous retrouvez : $\boxed{\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} =\dfrac{3\alpha}{8}}.$

070. Comment simplifier une expression ? (1/2)

Rédigé par on | Niveau Prépa, Niveau Terminale

Ce qui motive cet article, c’est la simplification de la fraction $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}$, sachant que $\alpha$ est un réel vérifiant la relation $4\alpha^3=3\alpha + 8.$

Le plan d’action

Il faut faire disparaître le dénominateur présent dans $f(\alpha)$, ce qui motive le choix de poser $\beta = 4\alpha^2-1$.

Vous allez calculer les puissances successives de $\beta$.

Elles s’expriment toutes en fonction de $\alpha$ et de $\alpha^2.$

Vous utilisez l’élimination exactement comme si vous résolvez un système linéaire d’équations. De là, vous éliminez tous les $\alpha$ et $\alpha^2$.

Vous en tirez une expression avec des puissances successives de $\beta$ uniquement.

Vous pouvez exprimer $\dfrac{1}{\beta}$ en fonction de $\alpha$ et $\alpha^2$ et supprimer le dénominateur de $f(\alpha)…$

Etude des puissances de $\beta$

\begin{aligned}
\beta^2 &= ( 4\alpha^2-1)^2 \\
&=16\alpha^4-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha(4\alpha^3)-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha(3\alpha + 8)-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha^2+32\alpha+1.
\end{aligned}

\begin{aligned}
\beta^3 &= \beta^2( 4\alpha^2-1) \\
&=(4\alpha^2+32\alpha+1)(4\alpha^2-1)\\
&=16\alpha^4-4\alpha^2+32( 4\alpha^3)-32\alpha+4\alpha^2-1\\
&=4\alpha (4\alpha^3)+32 (4\alpha^3)-32\alpha-1\\
&=4\alpha (3\alpha + 8)+32(3\alpha + 8)-32\alpha-1\\
&=12\alpha^2+32\alpha+96\alpha+256-32\alpha-1\\
&=12\alpha^2+96\alpha+255.
\end{aligned}

Elimination de $\alpha$

Le système suivant est obtenu :

\begin{aligned}
1 +0\alpha +0\alpha^2 &=1\\
-1 +0\alpha +4\alpha^2 &=\beta\\
1 +32\alpha +4\alpha^2 &=\beta^2\\
255 +96\alpha +12\alpha^2 &=\beta^3.
\end{aligned}

Vous effectuez des opérations élémentaires.

\begin{aligned}
1 &+0\alpha +0\alpha^2 =1\\
&+0\alpha +4\alpha^2 =1+\beta\\
&+32\alpha +4\alpha^2 =-1+\beta^2\\
&+96\alpha +12\alpha^2 =-255+\beta^3.
\end{aligned}

Une permutation de deux lignes.

\begin{aligned}
1 &+0\alpha +0\alpha^2 =1\\
&+32\alpha +4\alpha^2 =-1+\beta^2\\
&+0\alpha +4\alpha^2 =1+\beta\\
&+96\alpha +12\alpha^2 =-255+\beta^3.
\end{aligned}

Et une opération élémentaire.

\begin{aligned}
1 +0\alpha +0\alpha^2 &=1\\
+32\alpha +4\alpha^2 & =-1+\beta^2\\
+4\alpha^2 &=1+\beta\\
0 &=\beta^3-3\beta^2-252.
\end{aligned}

On en déduit le résultat : $\dfrac{252}{\beta}=\beta^2-3\beta.$

Le calcul de $f(\alpha)$

\begin{aligned}
f(\alpha) &=\dfrac{\alpha^3+1}{\beta}\\
252f(\alpha) &= \dfrac{252}{\beta} (\alpha^3+1) \\
&= (\beta^2-3\beta)(\alpha^3+1)\\
&=(4\alpha^2+32\alpha+1 -12\alpha^2+3)(\alpha^3+1)\\
&=(-8\alpha^2+32\alpha +4)(\alpha^3+1)\\
&=(-2\alpha^2+8\alpha +1)(4\alpha^3+4)\\
&=(-2\alpha^2+8\alpha +1)(3\alpha+12)\\
&=-6\alpha^3-24\alpha^2+24\alpha^2+96\alpha+3\alpha+12\\
&=-6\alpha^3+99\alpha+12.\\
\end{aligned}

On simplifie par 3.

\begin{aligned}
84f(\alpha) &=-2\alpha^3+33\alpha+4\\
168f(\alpha) &=-4\alpha^3+66\alpha+8\\
&=-3\alpha-8+66\alpha+8\\
&=63\alpha\\
\end{aligned}

On simplifie par 7 puis par 3.

\begin{aligned}
168f(\alpha) &=63\alpha\\
24f(\alpha) &=9\alpha\\
8f(\alpha)&=3\alpha
\end{aligned}

et on obtient le résultat $f(\alpha)=\dfrac{3}{8}\alpha.$

068. Comment savoir si un polynôme possède une racine multiple ?

Rédigé par on | Niveau Prépa

Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb{C}.$

Pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $K$, vous allez voir que $P$ est à racines simples dans $\mathbb{C}$, si et seulement si, les polynômes $P$ et $P’$ sont premiers entre eux.

Pour démontrer ce résultat, vous aller démontrer l’équivalence suivante, en prenant les contraires : pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $K$, $P$ possède au moins une racine multiple dans $\mathbb{C}$, si et seulement si, les polynômes $P$ et $P’$ ne sont pas premiers entre eux.

Implication $\Longrightarrow$

Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $K$, possédant au moins une racine multiple. Notez $a\in \mathbb{C}$ une telle racine. Il existe un polynôme $Q\in \mathbb{C}[X]$ tel que $P(X)=(X-a)^2 Q(X)$. Il s’ensuit que $P'(X)=2(X-a)Q(X)+(X-a)^2Q'(X)=(X-a)\left(2Q(X)+(X-a)Q'(X)\right).$

Le polynôme $X-a$ divise les polynômes $P$ et $P’$ qui se sont pas premiers entre eux.

Implication $\Longleftarrow$

Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $K$, tel que $P$ et $P’$ ne soient pas premiers entre eux. Il existe un polynôme $Q\in K[X]$ de degré supérieur ou égal à 1, tel que $Q$ divise $P$ et $P’$. Notez que $P’$ est de degré 1 ou plus, donc $P$ est de degré $n\geq 2$. Comme on a aussi $Q\in\mathbb{C}[X]$ vous appliquez le théorème de d’Alembert. Il existe $a\in\mathbb{C}$ tel que $Q(a)=0$. Il en résulte que $P(a)=0$ et que $P'(a)=0$.

La formule de Taylor appliquée au polynôme $P$ permet de conclure.

\begin{aligned}
P(X) &= \sum_{k=0}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= \sum_{k=2}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= (X-a)^2\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{P^{(k+2)}(a)}{(k+2)!}(X-a)^k.\end{aligned}

Comment savoir si $P$ et $P’$ sont premiers entre eux par le calcul (avec les coefficients de Bezout pour le fun) ?

Considérez le polynôme $P$ défini par :
$P(X)=X^6-6X^5 + 15X^4- 20X^3 + 12X^2-4.$

Dérivez :
$P'(X)=6X^5-30X^4+60X^3-60X^2+24X = 6(X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X).$

Posez $Q(X)=X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X.$

Vous allez déterminer le PGCD des polynômes $P$ et $Q$, avec les coefficients de Bezout avec l’algorithme décrit ci-dessous.

\begin{aligned}
X^6-6X^5 + 15X^4- 20X^3 + 12X^2-4 &= 1 P(X) + 0 Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}

Cherchant à diminuer le degré 6 de la première ligne, on effectue l’opération élémentaire $L_1 \leftarrow L_1-XL_2.$

\begin{aligned}
-X^5 + 5X^4- 10X^3 + 8X^2-4 &= 1 P(X) -X Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}

On continue en éliminant le degré 5 de la première équation. On effectue $L_1 \leftarrow L_1+L_2.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}

Pour éviter les fractions, multipliez la ligne 2 par 2.

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
2X^5-10X^4+20X^3-20X^2+8X &= 0P(X) + 2Q(X)
\end{aligned}

Eliminez le degré 5 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2+X^3L_1.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
-6X^4+16X^3-20X^2+8X&= X^3P(X) + (-X^4+X^3+2)Q(X)
\end{aligned}

Eliminez le degré 4 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2-3X^2L_1.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
4X^3-8X^2+8X&= (X^3-3X^2)P(X) + (-X^4+4X^3-3X^2+2)Q(X)
\end{aligned}

Eliminez le degré 3 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2+2XL_1.$

\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
0 &= (X^3-3X^2+2X) P(X) +(-X^4+4X^3-5X^2+2X+2 ) Q(X)
\end{aligned}

L’algorithme s’arrête. Il montre que $PGCD(P,Q)=X^2-2X+2.$

Du coup $PGCD(P,P’)=X^2-2X+2.$

Le polynôme $P$ possède donc au moins une racine multiple dans $\mathbb{C}.$

067. Quelle est la différence entre une fonction et une application ?

Rédigé par on | Niveau Capes

La différence est subtile…

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On rappelle que le produit cartésien $E\times F$ de ces deux ensembles est défini par un ensemble de couples, c’est-à-dire : $E\times F = \{(x,y)  , x\in E, y\in F\}$. 

Définition d’une application

Une application $f$ de $E$ dans $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$ tel que, pour tout $x\in E$, il existe un unique $y\in F$ tel que $(x,y)\in f$. L’unicité permet de donner le nom $f(x)$ à ce seul $y$ pour $x$. 

Définition d’une fonction

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est une sous-ensemble de  $E\times F$ tel que, pour tout $x\in E$, il existe au plus un  $y\in F$ tel que  $(x,y)\in f$.

Remarques

Une fonction de $E$ dans $F$ est une application d’une partie $E’$ de $E$ dans $F$.

Exemples

$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$ est une fonction.
$g: \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = \sqrt{x}$ est une application.

066. Espaces vectoriels et modules

Rédigé par on | Niveau Agrégation

Par analogie avec les $\mathbb{R}$-espaces vectoriels, on appelle $\mathbb{Z}$-module une structure algébrique qui vérifie les mêmes axiomes que ceux des espaces vectoriels.

Soit $E$ un $\mathbb{Z}$-module. $E$ est muni d’une addition notée $+$ et d’une multiplication externe : un nombre entier multiplié par un élément de $E$ donne un élément de $E$.

$E$ vérifie en tant que $\mathbb{Z}$-module les axiomes suivants :

  • $(E,+)$ est un groupe abélien,
  • $\forall n\in\mathbb{Z}, \forall(u,v)\in E^2, n(u+v)=nu+nv,$
  • $\forall (n,m)\in\mathbb{Z}^2, \forall u\in E, (n+m)u=nu+mu,$
  • $\forall (n,m)\in\mathbb{Z}^2, \forall u\in E, n(mu)=(nm)u,$
  • $ \forall u\in E, 1u=u.$

De même les concepts de familles libres, liées, de bases sont les mêmes.

Des modules ? Pour en faire quoi ?

On a pris les mêmes axiomes que ceux des espaces vectoriels… alors à quoi bon créer deux mots différents pour ce qui ressemble à une même structure ?

Changer $\mathbb{R}$ par $\mathbb{Z}$ dans les axiomes peut avoir l’air innocent… il va se passer quelque chose pour les modules qui n’existe pas pour les espaces vectoriels.

L’ensemble $E=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est muni d’une structure de $\mathbb{Z}$-module. Il est fini donc il est engendré par la famille finie constituée de ses trois éléments. On s’attendrait, en raisonnant comme avec les espaces vectoriels, à ce que ce $\mathbb{Z}$-module possède une base de 3 vecteurs ou moins. Et il n’en est rien : tout famille finie de ce $\mathbb{Z}$-module est liée vu que $\forall a\in E, 3a = 0…$

Un espace vectoriel engendré par une famille finie admet automatiquement une base finie… mais pour les modules il n’en est rien !

065. Calculez 96 au carré aussi facilement que 7 au carré

Rédigé par on | Pour tous

Vous savez tous que $7^2$ vaut $7\times 7$ soit $49$. Vous l’avez probablement appris par coeur. Sauf que le par coeur, ça finit par saturer la mémoire. Une autre façon de comprendre s’impose !

La technique qui se généralise…

Je vais vous l’expliquer autrement… une soustraction suffit pour comprendre.

$7$ est un nombre proche de $10$, leur distance est $10-7=3$.

Maintenant prenez $7$, retranchez-lui cette distance, vous trouvez $7-3=4$ qui est le premier chiffre de la réponse de $7^2$.

Mettez cette distance au carré $3^2 = 9$ et hop, vous avez le second chiffre de $7^2.$

Voyez avec $96^2$

La distance entre $96$ et $100$ c’est $4$.

Vous faites $96-4 = 92$.

Vous faites ensuite $4^2 = 16.$

Vous collez les deux $9216$ et… on a bien $96^2 = 9216$ (lisez-le quatre-vingt douze seize au lieu de neuf mille deux cent seize, plus facile pour la mémoire).

064. Pour votre entrée en Terminale S

Rédigé par on | Niveau Terminale

L’algèbre permet de démontrer l’existence d’un nombre noté $i$, qui n’a pas de valeur décimale… Le nombre $i$ n’est ni positif ni négatif, il n’appartient pas à l’ensemble des nombres réels $i\not\in\mathbb{R}$ et il vérifie la propriété $i^2=-1.$

Avec ce nombre non réel $i$, toutes les règles opératoires (addition, soustraction, multiplication, division) que vous connaissez dans $\mathbb{R}$ sont encore valables.

Entraînez-vous sur des calculs : développez et simplifiez au maximum

1 / $(1+i)^2$

2 / $(1+i)^4$

3 / $(1+i)^9$

4 / $(1+i)^{18}$

Des solutions… non réelles !

Montrez que l’équation $x^2+x+1=0$ admet deux solutions non réelles et écrivez chacune de ces solutions en utilisant le nombre $i$.