Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES

Pourriez-vous trouver la décomposition en éléments simples dans $ \mathbb{R}(X)$ de la fraction rationnelle $\dfrac{x^4+1}{ (x^2+x+1) ^3 (x^2-x+1) ^2}$ ?

Les objectifs sont multiples : vous pourrez développer vos compétences techniques, muscler votre calcul mental, développer votre attention et organiser des calculs complexes avec minutie.

Traitez la partie polaire en $x^2+x+1$

Posez $y=x^2+x+1$ et faites une division suivant les puissances croissantes de la fraction $\dfrac{x^4+1}{(x^2-x+1)^2}$. Le reste devra être un multiple de $y^3$ et il est interdit d’avoir $x^2$, $x^3$ ou plus dans le quotient.

Transformez l’écriture de $x^4+1$

Le numérateur est à recalculer comme un polynôme en $y$, avec des coefficients de la forme $a+bx$ où a et b sont réels.

\begin{aligned} x^4+1 &= (x^2)^2+1\\&=(y-x-1)^2+1\\&=y^2+x^2+1-2xy-2y+2x+1\\&=y^2+x^2-2xy-2y+2x+2\\&=y^2+(y-x-1)-2xy-2y+2x+2\\
&=y^2-2xy-y+x+1\end{aligned}

Transformez l’écriture de $(x^2-x+1)^2$

\begin{aligned} (x^2-x+1)^2&= ((y-x-1)-x+1)^2
\\&=(y-2x)^2\\&=y^2+4x^2-4xy
\\&=y^2+4(y-x-1)-4xy
\\&=y^2-4xy+4y-4x-4.
\end{aligned}

Effectuez la division

Avant de l’effectuer, vous devez savoir ce que donne la multiplication de $x$ avec $y^2-4xy+4y-4x-4$.

\begin{aligned} x(y^2-4xy+4y-4x-4) &= xy^2-4y(y-x-1)+4xy-4(y-x-1)-4x\\ &=
xy^2-4y^2+8xy+4.
\end{aligned}

1ère étape

Faire sauter le $x+1$ dans $y^2-2xy-y+x+1$.

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
-\dfrac{1}{4}y^2+xy-y+x+1 &-\dfrac{1}{4}\\
\dfrac{5}{4}y^2-3xy & \\
\end{array}

2ème étape

Faire sauter le $-3xy$ dans $\dfrac{5}{4}y^2-3xy$.

Plus difficile. Regardez comment vous pouvez agir sur le dénominateur $y^2-4xy+4y-4x-4$.

\begin{aligned}
x(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^2+(8x)y+4 \\
1(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^2+(-4x+4)y-4x-4
\end{aligned}

Multipliez ces relations par $y$.

\begin{aligned}
xy(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^3+(8x)y^2+4y \\
y(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^3+(-4x+4)y^2-4xy-4y
\end{aligned}

Vous additionnez les deux lignes, vous trouvez :

$(xy+y)(y^2-4xy+4y-4x-4)=(x-3)y^3+(4x+4)y^2-4xy$

Et vous y êtes.

$\dfrac{3}{4}(xy+y)(y^2-4xy+4y-4x-4)=\left(\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}\right)y^3+(3x+3)y^2-3xy$

\begin{array}{r|l}
\dfrac{5}{4}y^2-3xy & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
\left(\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}\right)y^3+(3x+3)y^2-3xy & \dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy \\
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & \\
\end{array}

Or vous avez déjà grâce à l’étape 1 :

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
-\dfrac{1}{4}y^2+xy-y+x+1 &-\dfrac{1}{4}\\
\dfrac{5}{4}y^2-3xy & \\
\end{array}

Du coup vous avez :

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
... &-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy\\
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & \\
\end{array}

3ème étape

Faire sauter le $\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2$ dans $\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2$.

Reprenez les outils vus précédemment. Partez des relations :

\begin{aligned}
xy(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^3+(8x)y^2+4y \\
y(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^3+(-4x+4)y^2-4xy-4y
\end{aligned}

Vous les multipliez par $y$ à nouveau.

\begin{aligned}
xy^2(y^2-4xy+4y-4x-4)&=(x-4)y^4+(8x)y^3+4y^2 \quad [1]\\
y^2(y^2-4xy+4y-4x-4)&=y^4+(-4x+4)y^3+(-4x-4)y^2 \quad [2]
\end{aligned}

Prenez la relation [2] et faites apparaître le $-3x$ apparaissant dans $-3x-\dfrac{7}{4}$.
Vous multipliez [2] par $\dfrac{3}{4}$.

$\dfrac{3}{4}y^2(y^2-4xy+4y-4x-4)=\dfrac{3}{4}y^4+(-3x+3)y^3+(-3x-3)y^2\quad [3]$

Des $y^2$ vous en avez $-3x-3=-3x-\dfrac{12}{4}$ et vous en voulez $-3x-\dfrac{7}{4}$, il vous faut en former $\dfrac{5}{4}$.
Vous multipliez [1] par $\dfrac{5}{16}$.

$\dfrac{5}{16}xy^2(y^2-4xy+4y-4x-4)=\left(\dfrac{5}{16}x-\dfrac{5}{4}\right)y^4+\left(\dfrac{5}{2}x\right)y^3+\dfrac{5}{4}y^2\quad [4]$

Maintenant vous ajoutez les relations [3] et [4].

\left(\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2\right)(y^2-4xy+4y-4x-4)=\left(\dfrac{5}{16}x-\dfrac{1}{2}\right)y^4
+\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2

\begin{array}{r|l}
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
 \left(\dfrac{5}{16}x-\dfrac{1}{2}\right)y^4+\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2
 &\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2 \\
 \left(-\dfrac{5}{16}x+\dfrac{1}{2}\right)y^4+\left(-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{4}\right)y^3 & \\
\end{array}

Fin de la division

Vous avez établi précédemment que :

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
... &-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy\\
\left(-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)y^3+\left(-3x-\dfrac{7}{4}\right)y^2 & \\
\end{array}

En combinant cette relation avec la précédente, vous terminez la division selon les puissances croissantes en $y$.

\begin{array}{r|l}
y^2-2xy-y+x+1 & y^2-4xy+4y-4x-4 \\ \hline
... &-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy+\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2\\
\left(-\dfrac{5}{16}x+\dfrac{1}{2}\right)y^4+\left(-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{4}\right)y^3 & \\
\end{array}

Séparez la partie polaire en $x^2+x+1$

D’après la division effectuée, vous obtenez :

$y^2-2xy-y+x+1 = ( y^2-4xy+4y-4x-4)\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{3}{4}xy+\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{5}{16}xy^2\right) +\dfrac{1}{16}y^3 \left(-5xy+8y-4x-12\right)$

$\dfrac{y^2-2xy-y+x+1}{y^3( y^2-4xy+4y-4x-4)} = -\dfrac{1}{4y^3}+\dfrac{3}{4y^2}+\dfrac{3x}{4y^2}+\dfrac{3}{4y}+\dfrac{5x}{16y}+\dfrac{-5xy+8y-4x-12}{16( y^2-4xy+4y-4x-4)}$

La partie polaire en $x^2+x+1$ est ainsi trouvée.

$\dfrac{x^4+1}{(x^2+x+1)^3(x^2-x+1)^2} = \dfrac{12+5x}{16(x^2+x+1)}+\dfrac{3+3x}{4(x^2+x+1)^2}-\dfrac{1}{4(x^2+x+1)^3}+\dfrac{-5xy+8y-4x-12}{16(x^2-x+1 )^2}$

Vous développez $-5xy+8y-4x-12$.

\begin{aligned} -5xy+8y-4x-12 &= -5x(x^2+x+1)+8(x^2+x+1)-4x-12 \\ &= -5x^3+3x^2-x-4.\end{aligned}

$\dfrac{x^4+1}{(x^2+x+1)^3(x^2-x+1)^2} = \dfrac{12+5x}{16(x^2+x+1)}+\dfrac{3+3x}{4(x^2+x+1)^2}-\dfrac{1}{4(x^2+x+1)^3}+\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{16(x^2-x+1 )^2}$

Traitez la dernière partie polaire

Vous allez vous occuper maintenant de $\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{(x^2-x+1 )^2}$.

Vous posez $z = x^2-x+1$. Le numérateur est à recalculer comme un polynôme en $z$, avec des coefficients de la forme $a+bx$ où $a$ et $b$ sont réels.

\begin{aligned} -5x^3+3x^2-x-4 &= -5x(z+x-1)+3(z+x-1)-x-4 \\ &=
-5xz-5x^2+5x+3z+3x-3-x-4\\ &=
-5xz-5(z+x-1)+3z+7x-7\\ &=
-5xz-2z+2x-2 \\ &=
(-5x-2)z+(2x-2).
\end{aligned}

Vous divisez le tout par $z^2$.

$\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{z^2} = \dfrac{-5x-2}{z}+\dfrac{2x-2}{z^2}$

D’où finalement la dernière partie polaire.

$\dfrac{-5x^3+3x^2-x-4}{(x^2-x+1)^2} = \dfrac{-5x-2}{x^2-x+1}+\dfrac{2x-2}{(x^2-x+1)^2}$

Et vous avez la décomposition finale

$\boxed{\dfrac{x^4+1}{(x^2+x+1)^3(x^2-x+1)^2} = \dfrac{12+5x}{16(x^2+x+1)}+\dfrac{3+3x}{4(x^2+x+1)^2}+\dfrac{-1}{4(x^2+x+1)^3}+ \dfrac{-5x-2}{16(x^2-x+1)}+\dfrac{x-1}{8(x^2-x+1)^2}}.$

Vous souhaitez voir comment on produit la décomposition de $\dfrac{2x^2+1}{(x-1)^2}$ en éléments simples ? C’est ici.

Posez $y=x-1$ et concluez

Le dénominateur devient $y^2$ il reste à observer que $y+1=x$ pour développer le numérateur. La fraction à décomposer en est facilitée.

\begin{aligned} \dfrac{2x^2+1}{(x-1)^2}&=\dfrac{2(1+y)^2+1}{y^2} \\ &=\dfrac{3+2y^2+4y}{y^2}\\ &=2+\dfrac{4}{y}+ \dfrac{3}{y^2} \\ &=2+\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{3}{(x-1)^2}.\end{aligned}

Vous voulez décomposer $\dfrac{x^2+1}{x-2}$ en éléments simples, pas à pas, acquérir les bonnes connaissances ? Cela se passe ici.

Le bon changement de variable

Posez $y=x-2$ pour simplifier le dénominateur. Puis vous calculez le numérateur en remplaçant $x$ par $2+y$.

\begin{aligned} x^2+1&=(2+y)^2+1\\ &=4+y^2+4y+1 \\ &=y^2+4y+5.\end{aligned}

Et la conclusion arrive !

\begin{aligned} \dfrac{x^2+1}{x-2}&=\dfrac{y^2+4y+5}{y}\\ &=y+4+\dfrac{5}{y}\\ &= x+2+\dfrac{5}{x-2}.\end{aligned}