Vous allez démontrer le lemme suivant, attribué à Gauss, qui stipule que, si un polynôme non constant à coefficients entiers est réductible dans $\Q[X]$, alors il est aussi réductible dans $\Z[X].$
Plus précisément, si $P$ est un polynôme non constant, de degré $n\geq 1$, à coefficients entiers de sorte que $P$ soit réductible dans $\Q[X]$ à savoir :
\exists (R,S)\in\Q[X]^2, P = RS
avec $R$ et $S$ non constants de sorte que :
\left\{\begin{align*}
\deg R < \deg P\\
\deg S < \deg P\\
\end{align*}
\right.alors, il existe un rationnel non nul $q$ tel que :
\left\{\begin{align*}
qR &\in\Z[X]\\
\frac{1}{q}S&\in\Z[X].
\end{align*}
\right.En posant $R’ = qR$ et $S’ = \frac{1}{q}S$ vous avez $\deg R = \deg R’$ et $\deg S’ = \deg S.$ Les polynômes $R’$ et $S’$ sont à coefficients entiers, $P = R’S’$ avec $\deg R’ < \deg P $ et $\deg S’ < \deg P$ ce qui signifie que $P$ est réductible dans $\Z[X].$
Illustration du lemme
Posez :
\begin{align*}
R &= 6 X - \frac{3}{2}\\
S &= \frac{28}{3}X+4\\
P &= RS.
\end{align*}Alors, en développant :
\begin{align*}
P &= 56X^2-14X+24X-6\\
&=56X^2+10X-6.
\end{align*}
D’après ce qui précède, le polynôme $P$ est réductible dans $\Q[X]$ et il est à coefficients entiers.
Or :
\begin{align*}
P &= RS\\
& = \left(6 X - \frac{3}{2}\right)\left(\frac{28}{3}X+4\right)\\
& = \left[\frac{1}{2}\left(12 X - 3\right)\right]\left[\frac{1}{3}\left(28X+12\right)\right]\\
& = \left[\frac{3}{2}\left(4 X - 1\right)\right]\left[\frac{4}{3}\left(7X+3\right)\right]\\
& =\left[ \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\right] (4 X - 1)(7X+3)\\
& =2(4 X - 1)(7X+3)\\
& =(8 X - 4)(7X+3)\\
& =\left[\frac{4}{3}\left(6 X - \frac{3}{2}\right)\right]\left[\frac{3}{4}\left(\frac{28}{3}X+4\right)\right].
\end{align*}Vous déduisez, en posant $q = \frac{4}{3}$ :
\begin{align*}
P &= (qR)\left(\frac{1}{q}S\right)\\
&= (8X-4)(7X+3).
\end{align*}
Cela montre bien que $P$ est réductible dans $\Z[X].$
Cet exemple illustre la méthode : vous factorisez d’abord $R$ en utilisant le PPCM des dénominateurs de ses coefficients. Puis vous factorisez $12X-3$ qui est à coefficients entiers, par le PGCD de tous ses coefficients. Vous effectuez le même procédé sur le polynôme $S.$ Vous obtenez à la fin deux polynômes à coefficients entiers.
Dans ce qui suit, vous allez démontrer que la méthode fonctionne dans tous les cas.
Une preuve du lemme de Gauss
Soient $R$ et $S$ deux polynômes à coefficients rationnels et non constants. Vous formez le produit $P = RS$ et vous supposez que $P\in\Z[X].$
En notant $r$ le degré du polynôme $R$ et $s$ celui du polynôme $S$ vous déduisez déjà que $r\geq 1$ et que $s\geq 1$ et qu’il existe $(a_0,a_1,\dots,a_r)\in\Z^{r+1}$, $(b_0,b_1,\dots,b_r)\in (\NN)^{r+1}$, $(u_0,u_1,\dots,u_s)\in\Z^{s+1}$, $(v_0,v_1,\dots,v_s)\in (\NN)^{s+1}$ tels que :
\left\{\begin{align*}
R &= \sum_{k=0}^{r}\frac{a_k}{b_k} X^k \\
S &= \sum_{\ell=0}^{s}\frac{u_{\ell}}{v_{\ell}} X^{\ell}.
\end{align*}
\right.Vous posez ensuite :
\left\{
\begin{align*}
b &= \mathrm{PPCM}(b_0,b_1,\dots, b_r) \\
v &= \mathrm{PPCM}(v_0,v_1,\dots, v_s).
\end{align*}
\right.Alors $b\geq 1$ et $v\geq 1.$ De plus, pour tout $k\in\llbracket 0, r\rrbracket$ vous avez $\frac{b}{b_k} \in\NN.$ De même, pour tout $\ell \in\llbracket 0, s\rrbracket$ vous avez $\frac{v}{v_{\ell}} \in\NN.$
Il vient :
\left\{\begin{align*}
R &=\frac{1}{b} \sum_{k=0}^{r}\frac{b\ a_k}{b_k} X^k \\
S &= \frac{1}{v} \sum_{\ell=0}^{s}\frac{v\ u_{\ell}}{v_{\ell}} X^{\ell}.
\end{align*}
\right.Pour tout $k\in\llbracket 0, r\rrbracket$ vous posez $c_k = \frac{b\ a_k}{b_k} \in\Z.$ De même, pour tout $\ell \in\llbracket 0, s\rrbracket$ vous posez $w_{\ell} = \frac{v\ u_{\ell}}{v_{\ell}} \in\Z.$ Dès lors :
\left\{\begin{align*}
R &=\frac{1}{b} \sum_{k=0}^{r}c_k X^k \\
S &= \frac{1}{v} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell} X^{\ell}.
\end{align*}
\right.Comme $c_r/b$ et $w_s/v$ sont les coefficients dominants respectifs des polynômes $R$ et $S$ qui sont non constants, vous avez $c_r \neq 0$ et $w_s\neq 0.$
Vous posez ensuite :
\left\{
\begin{align*}
c &= \mathrm{PGCD}(c_0,c_1,\dots, c_r) \\
w &= \mathrm{PGCD}(w_0,w_1,\dots, w_s).
\end{align*}
\right.Vous notez que $c$ et $w$ sont deux entiers supérieurs ou égaux à $1.$
Pour tout $k\in\llbracket 0, r\rrbracket$ vous posez $c_k^{\#} = \frac{c_k}{c} \in\Z.$ De même, pour tout $\ell \in\llbracket 0, s\rrbracket$ vous posez $w_{\ell}^{\#} = \frac{w_{\ell}}{w} \in\Z.$
Notez que $c_r^{\#} = \frac{c_r}{c}$ donc $c_r^{\#} \neq 0.$ De même, $w_s^{\#} = \frac{w_s}{w}$ donc $w_s^{\#} \neq 0.$
Dès lors :
\left\{
\begin{align*}
&\mathrm{PGCD}(c_0^{\#},c_1^{\#},\dots, c_r^{\#}) =1 \\
&\mathrm{PGCD}(w_0^{\#},w_1^{\#},\dots, w_s^{\#}) =1.
\end{align*}
\right.Les polynômes $R$ et $S$ sont enfin écrits sous la forme adéquate :
\left\{\begin{align*}
R &=\frac{c}{b} \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \\
S &= \frac{w}{v} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}.
\end{align*}
\right.Par produit, il vient :
P = \frac{cw}{bv} \left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right).Il s’agit maintenant de comprendre pourquoi le rationnel $\frac{cw}{bv}$ est un nombre entier naturel non nul.
Il a été noté que les quatre nombres entiers $c$, $w$, $b$ et $v$ sont tous strictement positifs. Le rationnel $\frac{cw}{bv}$ est donc strictement positif.
Pour comprendre pourquoi c’est un entier, vous allez multiplier l’expression de $P$ par $bv$ pour obtenir ceci :
bvP = cw \left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right).Dans la suite, vous notez $Q$ ce polynôme, qui est à coefficients entiers.
Pour tout $m\in\llbracket 0, r+s\rrbracket$ vous posez :
d_m = \sum_{\substack{k+\ell = m \\0\leq k \leq r \\0\leq \ell \leq s }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}de sorte qu’après développement :
\left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right) = \sum_{m=0}^{r+s} d_m X^m.Comme :
Q = bvP = \sum_{m=0}^{r+s} (cwd_m) X^mvous déduisez que tous les coefficients de $Q$ dont divisibles par l’entier $bv.$
Par identification des coefficients, vous déduisez :
\forall m\in \llbracket 0, r+s \rrbracket, bv \mid cwd_m.
Notez que par produit, $c_r^{\#} w_s^{\#} \neq 0.$ Ainsi, $d_{r+s} \neq 0$ et par suite $cw d_{r+s} \neq 0.$
Par conséquent :
\begin{align*}
&bv \mid \mathrm{PGCD}(cwd_0, cwd_1,\dots cwd_{r+s}) \\
&bv \mid cw\times \mathrm{PGCD}(d_0, d_1,\dots d_{r+s}).
\end{align*}
Démontrez que $\mathrm{PGCD}(d_0, d_1,\dots d_{r+s}) = 1$
C’est le point clef de la démonstration du lemme de Gauss.
Raisonnez par l’absurde et supposez que $\mathrm{PGCD}(d_0, d_1,\dots d_{r+s}) \geq 2.$
Il existe donc un nombre premier $p$ tel que :
p\mid \mathrm{PGCD}(d_0, d_1,\dots d_{r+s}).Notez que
\mathrm{PGCD}(c_0^{\#},c_1^{\#},\dots, c_r^{\#}) =1Il est donc impossible d’avoir :
\forall k\in\llbracket 0, r\rrbracket, p\mid c_k^{\#}sinon vous auriez :
p \mid \mathrm{PGCD}(c_0^{\#},c_1^{\#},\dots, c_r^{\#}) et donc $p=1$ ce qui contredit le fait que $p$ est premier.
L’ensemble suivant :
\{ k\in \llbracket 0, r\rrbracket, p \nmid c_k^{\#} \}est non vide.
De même, l’ensemble suivant :
\{ \ell \in \llbracket 0, s\rrbracket, p \nmid w_{\ell}^{\#} \}est aussi non vide.
Vous posez donc :
\begin{align*}
k' =\min \{ k\in \llbracket 0, r\rrbracket, p \nmid c_k^{\#} \} \\
\ell' =\min\{ \ell \in \llbracket 0, s\rrbracket, p \nmid w_{\ell}^{\#} \}.
\end{align*}
En calculant $d_{k’+\ell’}$ il vient :
\begin{align*}
d_{k'+\ell'} &= \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\0\leq k \leq r\\0\leq \ell \leq s }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#} \\
&=c_{k'}^{\#}w_{\ell'}^{\#}+ \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.
\end{align*}
Ainsi :
c_{k'}^{\#}w_{\ell'}^{\#} = d_{k'+\ell'} - \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.Comme $p\mid \mathrm{PGCD}(d_0, d_1,\dots d_{r+s})$ il vient $p \mid d_{k’+\ell’}.$
D’autre part par définition du minimum $k’$ :
\forall k\in\llbracket 0, k'-1\rrbracket, p\mid c_k^{\#}.Donc :
\forall k\in\llbracket 0, k'-1\rrbracket, \forall \ell \in\llbracket 0, s\rrbracket, p\mid c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.Vous déduisez que :
p \mid \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ k < k' \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.De même, par définition du minimum $\ell’$ :
\forall \ell \in\llbracket 0, \ell'-1\rrbracket, p\mid w_{\ell}^{\#}.Soient maintenant $k$ et $\ell$ deux entiers tels que :
\left\{
\begin{align*}
k+\ell = k'+\ell'\\
k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\}\\
k > k' \\
\ell\in\llbracket 0, s\rrbracket \setminus\{\ell'\}.
\end{align*}
\right.Il vient :
Or $k-k’>0$ donc $k-k’ \geq 1$ donc $\ell’-\ell \geq 1$ donc $\ell \leq \ell’-1$ et du coup $p\mid w_{\ell}^{\#}$ et $p \mid c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.$
Vous déduisez que :
p \mid \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket \\ k > k' \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.Ainsi :
\left\{\begin{align*}
&p\mid d_{k'+\ell'} \\
&p\mid \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.
\end{align*}
\right.Par différence, vous déduisez :
\left\{\begin{align*}
&p\mid d_{k'+\ell'} - \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#} \\
&p\mid c_{k'}^{\#}w_{\ell'}^{\#}
\end{align*}
\right.Via le lemme d’Euclide, il y a deux possibilités.
Soit $p\mid c_{k’}^{\#}$, mais cela contredit la définition de $k’$.
Soit $p\mid w_{\ell’}^{\#}$, mais cela contredit la définition de $\ell’$.
Il y a contradiction.
L’hypothèse $\mathrm{PGCD}(d_0, d_1,\dots d_{r+s}) \geq 2$ est donc fausse et par conséquent :
\mathrm{PGCD}(d_0, d_1,\dots d_{r+s}) =1.Concluez
Du coup :
Le nombre $\frac{cw}{bv}$ est un entier strictement positif. Notez-le $\alpha$ dans la suite.
Alors vous avez l’égalité :
\begin{align*}
P &= \alpha \left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right)\\
&= \left( \sum_{k=0}^{r}\alpha\ c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right).
\end{align*}
Cette égalité montre bien que le polynôme $P$ est réductible dans $\Z[X].$
Vous allez terminer en effectuant le lien avec les polynômes $R$ et $S$ de départ : il reste à définir un rationnel $q$ pour avoir $qR\in\Z[X]$ et $\frac{1}{q}S \in\Z[X].$ Remarquez que :
\begin{align*}
R &=\frac{c}{b} \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \\
&=\frac{c}{\alpha\ b} \sum_{k=0}^{r}\alpha\ c_k^{\#} X^k \\
\end{align*}
Posez $q = \frac{\alpha b }{c}$, vous avez :
qR = \sum_{k=0}^{r}\alpha\ c_k^{\#} X^k.Donc $qR \in\Z[X].$
D’autre part :
\begin{align*}
\frac{1}{q}S &= \frac{c}{\alpha\ b}\frac{w}{v} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell} \\
&= \frac{cw}{\alpha\ bv} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}.
\end{align*}Or : $\frac{cw}{bv} = \alpha$ donc $cw = \alpha bv$ et par suite :
\frac{1}{q}S = \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}.Donc $\frac{1}{q}S \in\Z[X].$
Il a été démontré que :
P = (qR)\left(\frac{1}{q}S\right).Comme les polynômes $qR$ et $\frac{1}{q}S$ sont à coefficients entiers, le polynôme $P$ se réduit bien dans $\Z[X].$
Prolongement
Vous souhaitez utiliser le résultat établi pour démontrer qu’un polynôme précis est irréductible ? Allez jeter un oeil dans le contenu rédigé dans l'article 315.
