Déterminez une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice inversible admette une décomposition LU.
Catégorie : Niveau Agrégation
082. La matrice I-AB est inversible, si et seulement si, la matrice I-BA est inversible
Dans cet article, vous allez faire des calculs matriciels. Notez qu'il suffit de montrer que, si $I-BA$ est inversible, alors $I-AB$ l'est. En effet, en échangeant les matrices $A$ et $B$, vous déduisez le résultat "dans l'autre sens", stipulant que…
081. Polynômes caractéristiques de AB et de BA
Dans cet article, vous considérez deux matrices carrées $A$ et $B$ à coefficients dans un corps $\K$, lorsque $\K = \R$ ou $\K=\C.$ Notez $I$ la matrice identité. Que peut-on dire, en général, des polynômes caractéristiques des matrices $AB$ et…
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075. Construisez une solution de l’équation de degré 3 dans toutes les situations
Construisez une solution de l'équation du troisième degré.
073. Divergence de la série harmonique
Découvrez les coulisses de la divergence de la série harmonique.
072. Polynôme minimal d’un élément algébrique
Soit $\K$ un corps quelconque et $\L$ un corps contenant $\K$. Supposez que $\alpha$ est un élément algébrique sur $\K$, i.e. il existe un polynôme $P$ non nul de $\K[X]$ tel que $P(\alpha)=0.$ Remarquez déjà que $P$ est de degré…
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066. Espaces vectoriels et modules
Par analogie avec les $\mathbb{R}$-espaces vectoriels, on appelle $\mathbb{Z}$-module une structure algébrique qui vérifie les mêmes axiomes que ceux des espaces vectoriels. Soit $E$ un $\mathbb{Z}$-module. $E$ est muni d’une addition notée $+$ et d’une multiplication externe : un nombre…
062. Le théorème de d’Alembert avec l’algèbre linéaire
060. Décomposez en éléments simples une fraction rationnelle (niveau 4/5)
Voyez comment décomposer une fraction qui possède deux parties polaires avec exposants. Vous allez déterminer la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ de $\dfrac{2x^2-x+1}{(x-1)^3(x+1)^3}.$ La forme du dénominateur Pour décomposer $\dfrac{2x^2-x+1}{(x-1)^3(x+1)^3}$ vous allez vous occuper, disons en premier, de $(x-1)^3$…
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059. Décomposez en éléments simples une fraction rationnelle (niveau 3/5)
Vous voulez connaître la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ de $\dfrac{x^6}{(x^2+1)(x^4+1)}$ en travaillant avec les polynômes et les nombres réels? Explications. Etape 1 : trouvez la partie entière de $\dfrac{x^6}{(x^2+1)(x^4+1)}$ Divisez le polynôme $A(x)=x^6$ par le polynôme $B(x)=(x^2+1)(x^4+1)=x^6+x^4+x^2+1$. Vous…
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