Vous allez voir qu'il est tout à fait possible de trouver la décomposition en éléments simples en effectuant, dès le début, un changement de variable sur les éléments de seconde espèce. Soit à trouver la décomposition en éléments simples dans…
En savoir plus 105. Décomposition en éléments simples dans les nombres réels (niveau3)
Il a été vu dans l'article précédent que si $E$ est une partie de $\C$, alors l'intérieur de $E$ est égal à $\overset{\circ}{E} = E \setminus \partial E$, c'est-à-dire à $E$ privé de sa frontière et l'adhérence de $E$ est…
En savoir plus 104. Topologie, notions de complémentaire, d’adhérence et d’intérieur
Pour fixer les idées, soit $E$ une partie de $\C.$ Pour tout $x\in E$ et pour tout réel $r>0$, on note $B_x(r)$ la boule (au sens topologique) ouverte de centre $x$ et de rayon $r$, définie par l'ensemble $\{z\in\C, |z-x|<r\}.$…
Au lieu de séparer d'un seul coup toutes les parties polaires, vous allez utiliser la division selon les puissances croissantes, qui va séparer une partie polaire des autres. La dernière partie polaire sera traitée avec la division euclidienne. Utilisez la…
En savoir plus 102. Décomposition en éléments simples dans les réels (niveau2)
Pour comprendre le principe général et trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F(X)=\dfrac{X^4+1}{X^2(X^2+X+1)^2}$, vous pouvez utiliser avec le théorème de Bezout et la division euclidienne comme outils. Le théorème de Bezout va vous permettre de séparer…
En savoir plus 101. Décomposition en éléments simples dans les réels (niveau1)
Vous êtes sur un espace vectoriel $E$ de dimension finie. Cet article illustre sur un exemple la propriété suivante : Etant donnée une famille d'endomorphismes de $E$ tous diagonalisables qui commutent deux à deux, il existe une base de $E$…
En savoir plus 100. Diagonalisez deux matrices simultanément
Le problème de l'intégrale impropre Remarquez déjà que, pour tout réel $x$, $\begin{align*}\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x+ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \\&=\sqrt{2} \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \\&= \sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\end{align*}$ Il apparaît…
Une base de Frobenius ? Une matrice de Frobenius ? Qu'est-ce ? Connaissez-vous la matrice compagnon d'un polynôme unitaire ? Pour $P_1(X) = X^3 + X^2 -3X +7$, vous associez l'équation de ses racines en isolant le terme de plus…
Soit $n$ un entier naturel non nul, $\K$ un corps et $A$ une matrice appartenant à $M_n(\K).$ $\K^n$ désigne l'ensemble des matrices colonnes à $n$ lignes à coefficients dans $\K.$ Il existe un polynôme unitaire de degré minimal, noté $\Pi\in\K[X]$…
En savoir plus 096. Comment calculer le polynôme minimal d’une matrice ?
Considérez la matrice $A = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\3 & 3 & -4\\3 & 1 & -2\end{pmatrix}.$ Notez $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice est $A$ dans la base canonique. Une idée, pour chercher à trouver une base…
En savoir plus 095. Comprendre la réduction de Frobenius et de Jordan pour un endomorphisme cyclique
