Soit à résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $x^3+x^2+x+2 = 0.$
Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant qu’il existe un réel $x$ fixé dans toute la suite, tel que :
x^3+x^2+x+2 = 0.
Effectuez un changement de variable du second degré
Ne sachant pas pour le moment quel polynôme du second degré en $x$, vous choisissez un polynôme comportant des coefficients petits et posez $y=x^2+x+1$ avant de trouver une équation satisfaite par $y$, espérant qu’elle soit plus simple que celle de départ.
La variable $y$ s’exprime déjà comme un polynôme du second degré en $x.$ Vous allez constater qu’il en est de même pour $y^2$ et $y^3.$
Développez $y^2$ en utilisant l’identité remarquable $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ :
Vous avez déduit que $y$ est solution de l’équation suivante :
y^3-y^2+2y-4=0.
Cependant, cette nouvelle équation semble aussi difficile à résoudre que celle de départ.
Le changement de variable $y=x^2+x+1$ n’est par conséquent pas le bon.
Prolongement
Calculez la valeur du produit $xy$ et déduisez-en une autre façon de procéder pour retrouver l’équation de degré $3$ ci-dessus satisfaite par $y.$
Quel changement de variable de la forme $y=x^2+ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer, effectueriez-vous pour obtenir une équation de degré $3$ en $y$ qui soit plus simple que celle trouvée ci-dessus ?
Le contenu écrit dans l'article 256 a montré que les intégrales $\int_{0}^{+\infty} x^{n+2}\e^{-x^2}\dx$, $\int_{0}^{+\infty} x^{n+1}\e^{-x^2}\dx$ et $\int_{0}^{+\infty} x^{n}\e^{-x^2}\dx$ sont convergentes.
Remarquez que pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto x^n\e^{-x^2}$ est positive sur l’intervalle $[0,+\infty[.$
Par conséquent, l’intégrale $I_n$ est bien définie. Elle est égale à ce stade à un réel positif, ou bien à $+\infty.$
Etablissez la convergence de l’intégrale $I_n$
Soit $n$ un entier naturel.
Pour justifier que l’intégrale $I_n$ n’est pas égale à $+\infty$ vous pouvez utiliser des majorations.
Partez du fait que l’exponentielle domine tous les polynômes de n’importe quel degré, en particulier le degré $n+2$, ce qui s’écrit ainsi $\lim_{x\to +\infty} \frac{\e^x}{x^{n+2}} = +\infty.$ Vous déduisez que $\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{n+2}}{\e^x} = 0$ ce qui donne $\lim_{x\to +\infty} x^{n+2}\e^{-x} = 0.$
Par conséquent, il existe un réel $A>0$ tel que:
\begin{align*}
\forall x\geq A &, x^{n+2}\e^{-x}\leq 1 \\
\forall x\geq A &, x^{n}\e^{-x}\leq \frac{1}{x^2}.
\end{align*}
Posez $B = A+1.$
Soit maintenant $x$ un réel tel que $x\geq B.$ Comme $x\geq 1$ il vient $x^2\geq x$ donc $-x^2 \leq -x$ et $\e^{-x^2} \leq \e^{-x}.$ Vous déduisez que:
Via $\lim_{M\to +\infty} M^n\e^{-M} = 0$ et le théorème des gendarmes, vous déduisez $\lim_{M\to +\infty} M^n\e^{-M^2} = 0.$
D’autre part, $\lim_{M\to + \infty} \int_{0}^{M} x^{n}\e^{-x^2}\dx = I_n$ et $\lim_{M\to + \infty} \int_{0}^{M} x^{n+2}\e^{-x^2}\dx = I_{n+2}$ du coup en passant à la limite quand $M\to +\infty$ il vient $I_n = \frac{2}{n+1}I_{n+2}.$
Vous aboutissez à la relation de récurrence suivante :
Vous allez effectuer les calculs en fonction de l’intégrale de Gauss : $I = \int_{0}^{+\infty} \e^{-x^2}\dx.$ La valeur définitive de cette intégrale sera déterminée dans l'article 257.
Partez de la relation de récurrence $\forall n\in\N, I_{n+2} = \frac{n+1}{2}\times I_n.$
Vous obtenez successivement :
\begin{align*}
I_2 &=\frac{1}{2}\times I \\
I_4 &=\frac{3}{2}\times I_2 \\
&= \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}\times I \\
&= \frac{ 4!}{4\times 2\times 2^2}\times I \\
&= \frac{4!}{2!\times 2^4}\times I\\
I_6 &=\frac{5}{2}\times I_4 \\
&=\frac{5}{2}\times \frac{4!}{2!\times 2^4}\times I \\
&= \frac{5!}{2!\times 2^5}\times I\\
&=\frac{6!}{6\times 2!\times 2^5}\times I \\
&= \frac{6!}{3\times 2!\times 2^6}\times I \\
&= \frac{6!}{3\times 2!\times 2^6}\times I\\
&= \frac{6!}{3!\times 2^6}\times I.
\end{align*}
Ces calculs préliminaires étant effectués, vous êtes prêts à généraliser le tout en lançant une récurrence.
Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $I_{2n} = \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I.$ »
Initialisation. Pour $n=0$, $I_0 = I.$ D’autre part $ \frac{(2\times 0)!}{0! \times 2^{2\times 0}}\times I = 1\times I = I.$
Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n)$.
Vous avez alors :
\begin{align*}
I_{2n+2} &= \frac{2n+1}{2}\times I_{2n} \\
&= \frac{2n+1}{2}\times \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I \\
&= \frac{2n+2}{2n+2}\times \frac{2n+1}{2}\times \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{(2n+2)\times n! \times 2^{2n+1}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{2(n+1)\times n! \times 2^{2n+1}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{(n+1)\times n! \times 2^{2n+2}}\times I \\
&= \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \times 2^{2n+2}}\times I.
\end{align*}
Ainsi avec $\boxed{I = \int_{0}^{+\infty} \e^{-x^2}\dx}$ vous avez :
Dans le prolongement du contenu rédigé dans l'article 254, vous allez commencer par une majoration en suivant une démarche similaire.
Etablissez une majoration d’une intégrale
Soit $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez majorer l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ qui est égale à $\ln(n+1)-\ln n.$
Considérez la figure suivante, dans laquelle la courbe $\mathscr{C}$ représente la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}.$
Dans cette figure, le point $A$ admet pour coordonnées $(n,0).$
Le point $B$ admet pour coordonnées $(n+1,0).$
Le point $C$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n+1,\frac{1}{n+1}\right).$
Le point $D$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n,\frac{1}{n}\right).$
La convexité de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur l’intervalle $]0,+\infty[$ permet de déduire que l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ est majorée par l’aire du trapèze rectangle $ABCD.$
Des égalités : $AD = \frac{1}{n}$ et $BC = \frac{1}{n+1}$ vous déduisez:
Par conséquent la suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ est croissante.
Or, la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente vers un réel $\ell.$ Comme $\lim_{n\to +\infty} \e^{\frac{-1}{4n}} = 1$ vous déduisez que la suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ converge aussi vers $\ell.$
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ étant décroissante et convergente vers $\ell$ vous déduisez $\forall n\in\NN, u_n \geq \ell.$
La suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ étant croissante et convergente vers $\ell$ vous déduisez $\forall n\in\NN, u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \leq \ell.$
Vous avez montré qu’il existe un réel $\ell$ tel que, pour tout $n\in\NN$ :
En définitive de cette section, vous avez montré qu’il existe un nombre $\ell\in\left[\e^{\frac{3}{4}}, \e\right]$ ($\ell$ est ainsi strictement positif) tel que :
D’après le contenu rédigé dans l'article 253 le nombre $\pi$ est obtenu par la limite de la suite suivante définie avec des factorielles (appelée formule de Wallis) :
Soit maintenant $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez forcer l’apparition du nombre $\ell$ donc vous préparez le tout en rajoutant des éléments inspirés de la limite donnant $\ell$ :
Le but de cette série d’articles est de présenter une approche permettant de faire apparaître la formule de Stirling.
Vous allez partir de la fonction inverse $x\mapsto \frac{1}{x}$ qui est la dérivée de la fonction logarithme népérien $x\mapsto \ln x$ et utiliser ses propriétés pour en déduire une inégalité faisant apparaître une factorielle.
Etablissez une minoration d’une intégrale
Soit $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez minorer l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ qui est égale à $\ln(n+1)-\ln n.$
Considérez la figure suivante, dans laquelle la courbe $\mathscr{C}$ représente la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}.$
Le point $A$ admet pour coordonnées $(n,0).$
Le point $B$ admet pour coordonnées $(n+1,0).$
Le point $I$, milieu du segment $[AB]$ admet pour coordonnées $\left(n+\frac{1}{2},0\right).$
Le point $E$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n,\frac{1}{n}\right).$
Le point $F$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n+1,\frac{1}{n+1}\right).$
Le point $J$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n+\frac{1}{2},\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)$ c’est-à-dire $\left(n+\frac{1}{2}, \frac{2}{2n+1}\right).$
La droite $(CD)$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $J$ qui a pour abscisse $n+\frac{1}{2}.$
Le coefficient directeur de cette tangente est $m = \frac{-1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}.$
L’aire du trapèze $ABCD$ est inférieure ou égale à $\ln(n+1)-\ln n$ étant donné que la fonction $x\mapsto \frac{1}{x^2}$ est convexe sur l’intervalle $]0,+\infty[.$
Vous simplifiez cette écriture en supprimant les fractions empilées:
Cela vous invite à poser $\boxed{\forall n\in\NN, u_n = n! \e^n n^{-n-\frac{1}{2}}.}$ La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est strictement positive, elle est minorée par $0.$
D’après le résultat établi ci-dessus, $\forall n\in\NN, 1\leq \frac{u_n}{u_{n+1}}$ donc la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est décroissante.
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ étant décroissante et minorée il en résulte qu’elle converge.
Prolongement
Pour accéder à la formule de Stirling, allez jeter un oeil dans le contenu rédigé dans l'article 255.
Application avec un ordinateur. Pour $n=493$ vous trouverez l’encadrement suivant $3,140<\pi<3,144.$ La formule de Wallis n’est en pratique pas adaptée pour calculer efficacement les décimales de $\pi.$
Prolongement
En utilisant la formule de Wallis et en admettant qu’il existe une constante strictement positive $C$ telle que :
L’objectif de cette série d’articles est de démontrer l’existence de la fonction exponentielle réelle et d’établir ses principales propriétés.
Retrouvez le contexte
Dans les contenus écrits dans l'article 250 et dans l'article 251 vous avez établi l’existence d’une fonction $e$ qui va de $\R$ dans $\R$ et qui vérifie les propriétés suivantes :
Ce résultat vous a servi pour obtenir l’intuition selon laquelle $e(x) = \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ au sein du contenu écrit dans l'article 250.
Par souci de complétude, vous démontrez ce résultat.
Soit $x$ un réel fixé.
Pour tout entier naturel $n$, vous notez $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $e(nx)=(e(x))^n$ ».
Initialisation. Pour $n=0$, $e(0x)=e(0)=1.$
D’autre part $(e(x))^0 = 1$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $n\in\N$, supposez $\mathcal{P}(n).$
Vous noterez alors $E$ l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la suite $\left(e_n(x)\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel strictement positif. Pour tout $x\in E$ vous posez $e(x) = \lim_{n\to +\infty} e_n(x).$
Dans le contenu écrit dans l'article 250 il a été démontré que l’intervalle $[0,1[$ est inclus dans l’ensemble $E$ et que $e(0)=1.$
Il sera établi dans cet article que $E = \R$ en établissant que $E$ est stable par passage à l’opposé et stable par addition.
Des propriétés algébriques seront démontrées à partir d’un lemme important.
Lemme : pour toute suite $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ qui converge vers $0$, la suite $\left(\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n\right)_{n\geq 1}$ converge vers $1$
Soit $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ une suite qui converge vers $0.$
Il existe donc un entier $N\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq N$, $\varepsilon_n \in [-1/2, 1/2].$
Fixez un entier $n$ supérieur ou égal à $N$ et utilisez la formule du binôme :
Comme $\varepsilon_n \in [-1/2, 1/2]$ il vient $\left\vert \varepsilon_n \right\vert \leq 1/2$ et par suite $1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert \geq 1/2$ et donc $\frac{1}{1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert } \leq 2.$
Vous avez donc démontré qu’il existe un entier $N\geq 1$ tel que, pour tout entier $n\geq N$ :
Comme la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers $e(x)$ qui est non nul, il existe un entier $N\geq 1$ tel que :
\forall n\geq N, e_n(x) \neq 0.
Vous déduisez donc que :
\begin{align*}
\forall n\geq N, e_n(-x) &= \frac{\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n}{e_n(x)}.
\end{align*}
En vertu du lemme de cet article, $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n = 1.$
Comme $\lim_{n\to +\infty} e_n(x) = e(x)$ avec $e(x) \neq 0$, vous déduisez par quotient de limites que :
\lim_{n\to +\infty} e_n(-x) = \frac{1}{e(x)}.
La suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ converge vers $\frac{1}{e(x)}.$ Comme $e(x)$ est strictement positif, il en est de même de $\frac{1}{e(x)}.$ La suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif, donc $-x\in E.$
La limite de la suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ est notée $e(-x)$ et par conséquent $e(-x) = \frac{1}{e(x)}.$
Vous déduisez de ce paragraphe que :
\boxed{\forall x\in E, -x\in E \text{ et } e(x)e(-x)=1.}
Quels que soient $x\in E$ et $y\in E$, le réel $x+y$ appartient à $E$ et $e(x+y)=e(x)e(y)$
Soit un couple $(x,y)\in E^2.$
Il existe donc deux réels strictement positifs, $e(x)$ et $e(y)$ tels que :
Comme $e(x)$ et $e(y)$ sont strictement positifs, il en est de même de $e(x)e(y).$ La suite $(e_n(x+y))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif qui est égal à $e(x)e(y).$
De ce qui précède, vous déduisez que :
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, x+y\in E\text{ et } e(x+y)=e(x)e(y).}
Montrez que $\forall x\in\R, x\in E$
Dans le contenu écrit dans l'article 250 il a été démontré que l’intervalle $[0,1[$ est inclus dans l’ensemble $E.$ Dans l’article courant, il a été montré que l’ensemble $E$ est stable par addition et par passage à l’opposé.
Montrez d’abord que $\forall n\in\N, n\in E$
Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $n\in E.$ »
Initialisation. Comme $0\in [0,1[$ et comme $[0,1[\subset E$ il vient $0\in E$ donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $n\in E.$
Remarquez que $1/2 \in [0,1[.$ Comme $[0,1[\subset E$ il vient $1/2\in E.$
$E$ étant stable par addition, $1/2 + 1/2 \in E$ donc $1\in E.$
Comme $n\in E$ et comme $1\in E$, la stabilité par addition de $E$ permet d’obtenir $n+1\in E$ donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.
Conclusion. Vous avez établi par récurrence que $\forall n\in\N, n\in E.$
Montrez ensuite que $\forall n\in\Z, n\in E$
Soit $n\in \Z.$ Si $n\in\N$ alors vous avez déjà $n\in E.$
Si $n\notin \N$ vous déduisez $-n\in \N$, or $\N \subset E$ donc $-n \in E.$
Comme $E$ est stable par passage à l’opposé, vous déduisez $-(-n)\in E$ d’où $n\in E.$
Ainsi $\forall n\in\Z, n\in E.$
Montrez enfin que $\forall x\in\R, n\in E$
Soit $x$ un nombre réel. Notez $n$ la partie entière de $x$, à savoir le plus grand entier qui est inférieur ou égal à $x.$
Alors $n\leq x < n+1$ donc $x-n\in[0,1[.$ Comme $[0,1[\subset E$ vous déduisez $x-n\in E.$
Comme $n$ est un entier, l’inclusion $\Z\subset E$ permet d’en déduire que $n\in E.$
$E$ étant stable par addition, $(x-n)+n\in E$ c’est-à-dire $x\in E.$
Concluez
Quel que soit le réel $x$, $x$ appartient à $E$ donc pour tout réel $x$, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif qui est noté $e(x).$
Remarque. D’après ce qui précède, la suite $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre strictement positif qui est $e(1).$ Par convention, on note $\e$ le nombre égal à $e(1).$ Cela permet d’écrire que:
Vous noterez alors $E$ l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la suite $\left(e_n(x)\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel strictement positif. Pour tout $x\in E$ vous posez $e(x) = \lim_{n\to +\infty} e_n(x).$
Etudiez la croissance de la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ lorsque $x$ est positif
Soit $x$ un nombre réel positif ou nul.
Emettez une conjecture en calculant les valeurs approchées des coefficients de $e_4(x)$, $e_5(x)$ et $e_6(x)$
Comme $0,0000214335 x^6$ est positif, et comme $0,000771605 > 0,00032$, $0,0115741>0,008$, $0,0925926>0,08$, $0,416667 >0,4$ vous pouvez émettre la conjecture suivante : pour tout réel $x$ positif, il semble que la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ soit croissante.
Démontrez que pour tout réel $x$ positif, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est croissante
Soit $x$ un réel positif fixé.
Fixez un nombre entier $n$ supérieur ou égal à $1.$
L’inégalité $e_{n+1}(x) \geq e_n(x)$ sera acquise si la condition suffisante $\forall k\in\llbracket 0,n \rrbracket, \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$ est vérifiée.
Pour déterminer une condition équivalente à celle ci-dessus, vous remarquez que :
Or, l’inégalité $\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k$ est vérifiée comme étant une conséquence du lemme de Bernoulli que vous trouverez dans l'article 187.
Démontrez que pour tout $x\in[0,1[$, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est majorée
Ramenez-vous à la somme d’une suite géométrique
Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0,1[.$
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vv{i}, \vv{j})$ vous considérez l’ensemble $\mathscr{P}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ qui satisfont l’équation suivante :
x^2-4xy+4y^2-12x-6y-39=0.
Dans ce qui suit vous allez justifier que l’ensemble $\mathscr{P}$ est une parabole dont vous préciserez les coordonnées de son sommet et celles de son foyer.
Eliminez le fait que l’ensemble $\mathscr{P}$ ne soit pas à centre
Le début de l’équation formé par les termes de degré $2$ à savoir :
Le changement d’origine du repère ne semble pas adapté en première intention.
Vous allez donc continuer mais en effectuant une rotation du repère.
Effectuez une rotation
Soit $\theta$ un nombre réel qui sera choisi plus tard. Appliquez une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ vis-à-vis du repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ vous obtenez un nouveau repère orthonormé $(O, \vv{u}, \vv{v}).$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v}).$ Vous avez les relations suivantes :
Ce choix de $\theta$ conduirait à une équation qui commencerait par $5Y^2+\dots X +\dots Y – 39=0$ ce qui est possible à étudier, mais vous préférerez avoir plutôt une équation de la forme $Y=f(X)$ ce qui conduit à chercher à annuler le terme en $Y^2.$
Pour y parvenir, vous prenez l’autre possibilité pour l’angle $\theta.$
Effectuez le choix $\theta = \frac{\varphi+\pi}{2}$
Il a été vu plus haut que $ \varphi \in ]0, \pi/2[$ d’où $ \varphi +\pi \in ]\pi, 3\pi/2[$ et donc $ \frac{\varphi +\pi}{2} \in ]\pi/2, 3\pi/4[ \subset ]\pi /2 , \pi[.$ Ainsi $\theta \in ]\pi /2 , \pi[$ donc $\cos \theta < 0.$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère original $(O, \vv{i}, \vv{j})$ puis notez $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ obtenu en faisant subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation d’angle $\theta\in ]\pi/2, \pi[$ tel que $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ et $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
Vous avez alors obtenu les équivalences suivantes valables pour tout point $M$ du plan :
Cette équation est de la forme $Y’ = \frac{X’^2}{4p}$ où :
\begin{align*}
4p &= \frac{-6}{\sqrt{5}}\\
2p &=\frac{-3}{\sqrt{5}}\\
p &=\frac{-3\sqrt{5}}{10}.
\end{align*}
Ainsi l’ensemble $\mathscr{P}$ est la parabole de sommet $S$ et de foyer $F$, où $F$ est le point de coordonnées $\left(0, \frac{-3\sqrt{5}}{10}\right)$ dans le repère $(S, \vv{u}, \vv{v}).$
Déterminez les coordonnées du sommet $S$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$
Quand vous choisissez le point $S$, vous avez obtenu comme coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ :
