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École AVOSZ 

École AVOSZ

Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES

122. Racine de 2 est irrationnel

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa, Niveau Terminale

Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l’équation $x^2=2.$

Vous allez démontrer qu’il n’existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

Un tel résultat constitue l’irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{u}{v}, u\in\Z, v\in\NN\right\}.$

Raisonnez par l’absurde

Supposez qu’il existe $a\in\Z$ et $b\in\NN$ tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

L’ensemble $A=\left\{m\in\NN, \exists n\in\Z, \sqrt{2}=\frac{n}{m}\right\}$ est une partie de $\N$, non vide puisque $b\in A.$

Notez $\beta$ le plus petit élément de $A$. Par définition du nombre $\beta$ qui appartient à $A$, il existe $\alpha\in\Z$ tel que $\sqrt{2}=\frac{\alpha}{\beta}.$ La stricte positivité de $\sqrt{2}$ et de $\beta$ impose $\alpha\in\NN.$

La mise au carré et la multiplication par $\beta^2$ fournit $\alpha^2 = 2\beta^2.$

Quelques inégalités

Comme $\beta > 0$, $\beta^2>0$ donc $2\beta^2 < 4 \beta^2$ d’où $\alpha^2 < 4\beta^2.$ La fonction racine carrée étant strictement croissante, son application fournit $\alpha < 2\beta.$

Dans l’autre sens, $\beta^2< 2\beta^2$ donc $\beta^2 < \alpha^2$ et $\beta < \alpha.$

Et une impossibilité

\begin{aligned}
(2\beta-\alpha)^2 &= 4\beta^2+\alpha^2-4\alpha\beta\\
&= 4\beta^2 + 2\beta^2- 4\alpha\beta\\
&=2(2\beta^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\
&=2(\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\
&=2(\alpha-\beta)^2.
\end{aligned}

De ce qui précède, $2\beta – \alpha > 0$ et $\alpha-\beta >0$ donc $2\beta-\alpha = \sqrt{2}(\alpha-\beta)$ et par suite $\sqrt{2} = \frac{2\beta-\alpha}{\alpha-\beta}.$ Vous en déduisez que $\alpha-\beta \in A.$ Or, $\alpha < 2\beta$ donc $\alpha-\beta< \beta.$ Comme $\beta$ est le minimum de $A$, $\alpha-\beta\notin A$ d’où la contradiction.

121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa

Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$

Quels outils seront utilisés ?

Vous allez utiliser le développement d’une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$

Vous allez utiliser des propriétés de la racine cubique. C’est une fonction définie sur $\R$, multiplicative et impaire :

$\forall (x,y)\in\R^2, \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}$ et $\forall x\in\R, \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}.$

Tentez de simplifier en élevant au cube

Pour calculer $a^3$, il sera commode de poser $u=18+\sqrt{325}$ et $v=18-\sqrt{325}.$ Remarquez que $u+v=36.$

\begin{align*}
a^3 &= \left(\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\right)^3 \\
&= u + 3\sqrt[3]{v}\left(\sqrt[3]{u}\right)^2+3\sqrt[3]{u}\left(\sqrt[3]{v}\right)^2+v\\
&= 36 + 3\sqrt[3]{v u^2}+3\sqrt[3]{u v^2}.
\end{align*}

Pour évaluer $vu^2$ vous calculez $(vu)u = (18^2-325)u = (324-325)u = -u.$ De même, $uv^2 = (uv)v = -v.$

Du coup :

\begin{align*}
a^3 &= 36+ 3\sqrt[3]{-u} + 3\sqrt[3]{-v} \\
&= 36 - 3\sqrt[3]{u} - 3\sqrt[3]{v}\\
&= 36-3a.
\end{align*}

Il en résulte que $a^3+3a-36=0.$

Concluez

Cette équation de degré 3 est polynomiale et possède le nombre $3$ pour solution.

En effet, $3^3+3\times 3 – 36$ est bien égal à $0.$

Vous en déduisez successivement :

\begin{align*}
a^3+3a-36 &= 3^3+3\times 3 - 36\\
a^3-3^3+3(a-3)&=0\\
(a-3)(a^2+3a+9)+3(a-3)&=0\\
(a-3)(a^2+3a+12)&= 0.
\end{align*}

Le discriminant du trinôme $x^2+3x+12$ est égal à $9-48$, il est strictement négatif, l’équation $x^2+3x+12 = 0$ n’admet pas de solution réelle, donc $a^2+3a+12 \neq 0$ et par conséquent $a-3=0$ et $a=3$, d’où :

\boxed{\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}} = 3.}

120. Aire sous la parabole

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa

Considérez la courbe $\cc$ d’équation $y=x^2$, lorsque $x$ parcourt l’intervalle $[0,1].$

On note $\aa$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\cc$, l’axe des abscisses et la droite verticale d’équation $x=1.$

Comment trouver la valeur de $\aa$ ?

Minorez la valeur de $\aa$ par des rectangles

Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérez la subdivision $x_0 < \dots < x_n$ de l’intervalle $[0,1]$ en posant, $\forall i \in\llbracket 0,n\rrbracket, x_i = \frac{i}{n}.$

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{i^2}{n^2}.$

La somme des aires de ces rectangles minore $\aa$, c’est-à-dire que :

\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i)\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} &\leq \aa\\
\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n}\frac{i^2}{n^2} &\leq \aa\\
\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 &\leq \aa.
\end{align*}

Avant de pouvoir poursuivre, vous vous retrouvez confronté à un problème technique : comment calculer la somme des carrés $\sum_{i=0}^{n-1} i^2$ et plus généralement, comment calculer $\sum_{i=0}^{n} i^2$ ?

Utilisez le triangle de Pascal

Etonnamment, les coefficients binomiaux permettent de régler cette question.

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n$, on note $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ le coefficient binomial appelé $k$ parmi $n$.

Le lemme fondamental est la relation de Pascal : $\forall n\in\N, \forall k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket, \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$

Pour prouver ce résultat, vous fixez $n\in\N$ et $k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket.$

\begin{align*}
\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} &= \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\\
&= \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\
&= \frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\
&=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\\
&=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-k-1)!}\\
&=\binom{n+1}{k+1}.
\end{align*}

Calculez la somme des entiers $1+2+\cdots+n$

La relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq 1$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

Pour $n=1$, $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \sum_{i=1}^1 \binom{i}{1} = \binom{1}{1}=1.$
Or $\binom{1+1}{2} = 1.$ Donc $P(1)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 1$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$, d’où $\sum_{i=1}^{n+1} \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{1} = \binom{n+2}{2}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n i = \frac{(n+1)n}{2}$ d’où $\forall n\geq 0, \sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.$

Calculez la somme des carrés $1^2+2^2+\cdots+n^2$

De même, la relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq2$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

Pour $n=2$, $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \sum_{i=2}^2 \binom{i}{2} = \binom{2}{2}=1.$
Or $\binom{2+1}{3} = 1.$ Donc $P(2)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 2$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$, d’où $\sum_{i=2}^{n+1} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} = \binom{n+2}{3}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{2} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ d’où $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}$ et donc $\forall n\in\N, \sum_{i=0}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}.$

Concluez.

\begin{align*}
\sum_{i=0}^n i^2 &=\sum_{i=0}^n i(i-1) + \sum_{i=0}^n i \\
&= \frac{(n+1)n(n-1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}\\
&=\frac{(n+1)n(2n-2)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6}\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\end{align*}

Minorez la valeur de $\aa$

De l’inégalité $\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 \leq \aa$, valable pour tout $n\geq 1$, vous déduisez $\frac{1}{(n+1)^3}\sum_{i=0}^{n} i^2 \leq \aa$, inégalité valable pour tout $n\geq 0$, soit $\forall n\in\N, \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)^3} \leq \aa.$ Quand $n\to+\infty$, le numérateur est équivalent à $2n^3$ et le dénominateur à $6n^3.$ Il s’ensuit, en passant à la limite quand $n\to +\infty$ que $\frac{1}{3}\leq \aa.$

Majorez la valeur de $\aa$

Vous formez une somme de rectangles en changeant la borne inférieure par la borne supérieure.

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\sup\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{(i+1)^2}{n^2}.$

Ainsi vous majorez $\aa$ par une somme d’aires de rectangles ayant pour largeur $\frac{1}{n}$ et pour hauteur $\frac{(i+1)^2}{n^2}.$

La suite est laissée au lecteur qui pourra montrer, comme pour la minoration après un passage à la limite quand $n\to \infty$, que $\frac{1}{3}\geq \aa.$

Concluez

L’aire $\aa$ a une valeur précise égale à $\frac{1}{3}.$

119. Homothéties et translations

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Reprenez la situation qui a été décrite dans dans l'article 118.

Vous partez de la figure ci-dessous comportant un carré et deux triangles équilatéraux.

Pour justifier que les points $D$ $E$ et $F$ sont alignés, vous allez ajouter trois points supplémentaires dans la figure.

Vous appelez $K$ le point d’intersection des droites $(DE)$ et $(BC)$, $I$ le milieu du segment $[BC]$. Comme le triangle $BCF$ est équilatéral, les droites $(FI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Soit $L$ le point de la droite $(CD)$ placé de sorte que le quadrilatère $CLFI$ soit un rectangle.

Utilisez une homothétie et calculez son rapport

Comme les points $C$, $K$ et $I$ sont alignés dans cet ordre, il existe une homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport positif telle que $h(K)=I.$

Le rapport $k$ de l’homothétie s’obtient en calculant $k=\dfrac{CI}{CK}.$

Utilisez une projection et deux milieux

Comme $ABE$ est un triangle équilatéral, la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $E$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $M$. Notez $p$ la projection sur la droite $(DK)$ parallèlement à la droite $(BC)$. Alors $p(A)=D$, $p(M)=E$ et $p(B)=K.$ Comme $p$ conserve les milieux, il en résulte que $E$ est le milieu du segment $[DK].$

Notez maintenant $N$ le milieu du segment $[DC]$ et $a$ le côté du carré $ABCD.$ La distance $EM$ est égale à $a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et par conséquent $EN = a-a\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a}{2}(2-\sqrt{3}).$

Comme la droite $(EN)$ est la droite des milieux dans le triangle $DCK$, $CK = 2 EN = a(2-\sqrt{3}).$ Aussitôt :

\begin{align*}
k &= \frac{CI}{CK}\\
&=\frac{\frac{a}{2}}{a(2-\sqrt{3})}\\
&=\frac{a}{2a(2-\sqrt{3})}\\
&=\frac{1}{2(2-\sqrt{3})}\\
&=\frac{2+\sqrt{3}}{2(4-3)}\\
&=\frac{2+\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}

Utilisez la composée d’une homothétie et d’une translation

Rappelez-vous que $h(C)=C$ et que $h(K)=I.$

Notez maintenant $t$ la translation de vecteur $\vv{IF}.$ Comme $IFLC$ est un rectangle, il vient $t(I)=F$ et $t(C)=L.$

Notez maintenant la composée $f = t\circ h.$ La composée d’une homothétie de rapport $k\neq 1$ et d’une translation est une homothétie de même rapport $k$. L’application $f$ est par conséquent une homothétie de rapport $k$ telle que $f(C) = t(h(C))=t(C)=L$ et $f(K)=t(h(K))=t(I)=F.$

Déterminez le centre de l’homothétie $f$

Le rapport de $f$ est connu, il est égal à $k=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Mais le rapport $\dfrac{DL}{DC}$ comme vous l’avez pressenti, est aussi égal à $k$.

En effet :

\begin{align*}
\dfrac{DL}{DC}&=\dfrac{a+a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a}\\
&=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\\
&=k.
\end{align*}

Comme les points $D$ $C$ et $L$ sont alignés dans cet ordre et que $k=\dfrac{DL}{DC}$, $D$ est le centre de l’homothétie $f$.

Concluez avec l’alignement des points $D$ $E$ et $F$

Comme $f$ est une homothétie de centre $D$ vérifiant $f(K)=F$, les points $D$ $K$ et $F$ sont alignés, donc $F$ appartient à la droite $(DK)$. Les droites $(DE)$ et $(DK)$ sont confondues donc $F$ appartient à la droite $(DE)$ et les points $D$ $E$ et $F$ sont alignés.

Prolongement

Notez $E$ l’ensemble des homothéties et des translations du plan. Quelle est la structure algébrique de $E$ ? Dans quels autres exemples utilisez-vous ses propriétés ?

118. Alignement de trois points

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Première

Considérez la figure ci-dessous.

$ABCD$ est un carré, le point $E$ est situé à l’intérieur de ce carré pour que le triangle $ABE$ soit équilatéral, le point $F$ est situé à l’extérieur de ce même carré pour que le triangle $BCF$ soit équilatéral.

Notez $a = AB$ la valeur du côté du carré.

Vous allez montrer uniquement avec des calculs de distances que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés dans cet ordre.

Calculez la distance entre $D$ et $F$

Comme le triangle $DCF$ est isocèle en $C$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*}
DF^2 &= DC^2+CF^2-2\times DC\times CF\times \cos 150°\\
&= 2a^2-2a^2 \cos 150°\\
&= 2a^2+2a^2\cos 30°\\
&=2a^2+2a^2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&=2a^2+a^2\sqrt{3}\\
&=a^2(2+\sqrt{3}).
\end{align*}

Avant de prendre la racine carrée, il convient de voir si $2+\sqrt{3}$ s’écrit comme un carré agréable, et c’est effectivement le cas.

Remarquez que :

\begin{align*}
(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 &= 2+6+2\sqrt{12}\\
&=8+2\times 2\sqrt{3}\\
&=8+4\sqrt{3}\\
&=4(2+\sqrt{3}).
\end{align*}

Ainsi :

\begin{align*}
4DF^2 &= 4a^2(2+\sqrt{3})\\
&= a^2(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2.
\end{align*}

Par positivité des distances $\boxed{2DF = a(\sqrt{2}+\sqrt{6}).}$

Calculez la distance entre $D$ et $E$

Comme le triangle $ADE$ est isocèle en $A$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*}
DE^2 &= AE^2+AD^2-2\times AE \times AD\times \cos 30°\\
&=2a^2-2a^2\cos30°\\
&=2a^2-a^2\sqrt{3}\\
&=a^2(2-\sqrt{3}).
\end{align*}

Remarquez comme dans le paragraphe précédent que :

\begin{align*}
(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 &= 6+2-2\sqrt{12}\\
&=8-2\times 2\sqrt{3}\\
&=8-4\sqrt{3}\\
&=4(2-\sqrt{3}).
\end{align*}

Par positivité des distances et du nombre $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, vous obtenez $\boxed{2DE = a(\sqrt{6}-\sqrt{2}).}$

Calculez la distance entre $E$ et $F$

Le triangle $EBF$ est isocèle en $B$. De plus, $\widehat{EBF} =\widehat{EBC}+\widehat{CBF} = 30°+60°=90°.$ Par conséquent, le triangle $EBF$ est rectangle isocèle en $B$. Le théorème de Pythagore fournit :

\begin{align*}
EF^2 &= BE^2+BF^2\\
&=2a^2.
\end{align*}

Du coup $EF = a\sqrt{2}.$

Montrez que $DE+EF=DF$

Par somme :

\begin{align*}
2DE+2EF &= a(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 2a\sqrt{2}\\
&=a(\sqrt{6}+\sqrt{2})\\
&=2DF.
\end{align*}

L’égalité $DE+EF=DF$ entraîne l’appartenance du point $E$ au segment $[DF]$ comme annoncé.

Prolongement

L’alignement des points $D$, $E$ et $F$ peut être démontrée autrement. Voici une autre méthode utilisant des homothéties, une projection et une translation.

117. La multiplication d’un chiffre par 9

Rédigé par on | Pour tous

Vous avez appris par coeur la table de multiplication par 9, oui mais… avez-vous compris comment elle est construite ?

Une conséquence d’un calcul algébrique

Prenez un chiffre non nul noté $c$, autrement dit, un nombre entier compris entre $1$ et $9.$

Pour calculer $c\times 9$, vous pouvez effectuer $c\times (10-1) = 10c -c.$ Cette méthode est largement connue, par exemple au lieu de calculer $7\times 9$ vous effectuez $70-7=63.$

Le problème c’est que cette écriture présente une soustraction qui ne donne pas directement les chiffres de l’écriture décimale du résultat. Vous souhaitez pouvoir obtenir $9\times 7 = 6\times 10 + 3$.

Il est tout à fait possible d’y parvenir.

Remarquez que :

\begin{aligned}
c\times 9 &= c\times (10-1)\\
&=10c-c\\
&= (10(c-1)+10)-c\\
&=10(c-1)+(10-c)
\end{aligned}

Comme $c$ est un chiffre non nul, vous constatez que $c-1$ est un chiffre et que $10-c$ est aussi un chiffre.

Par conséquent, l’égalité $\boxed{c\times 9 = (c-1)\times 10 + (10-c)}$ vous donne la lecture des deux chiffres du résultat de la multiplication $c\times 9.$

  • Le chiffre des dizaines est égal à $c-1$,
  • Le chiffre des unités est égal à $10-c.$

Comment calculer $7\times 9$ ?

Vous souhaitez calculer $7\times 9$ ? Vous avez $c=7$ donc $c-1 = 6$. Le résultat de $7\times 9$ commence par un $6$. Puis prenez le complément à $10$ du chiffre $c$, à savoir $10-c = 10-7=3.$ Vous obtenez le chiffre des unités de $7\times 9$ et finalement $7\times 9= 63.$

Pas convaincu ? Encore un autre exemple

Comment calculer le délicat $9\times 9$ ? Vous posez $c=9$, donc $c-1 = 8$ (8 dizaines) et $10-c = 10-9=1$ (1 unité). Donc $9\times 9 =81.$

Prolongement

D’après vous, peut-on généraliser la méthode vue ci-dessus pour calculer le produit d’un nombre à deux chiffres par 9 ? Par exemple $52\times 9$ ? $87\times 9$ ?

116. Comment savoir si un vecteur se décompose ?

Rédigé par on | Niveau Prépa

Considérez les vecteurs suivants de $\R^4$ : $\alpha_1=(1,1,2,-1)$, $\alpha_2 = (3,0,4,-1)$ et $\alpha_3 = (-1,2,5,2).$

Posez $\alpha = (4,-5,9,-7)$. Est-ce que $\alpha$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ ? Autrement dit, est-ce que $\alpha\in \vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ ? Ou encore existe-t-il $(a_1,a_2,a_3)\in\R^3$ tel que $\alpha = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2+a_3\alpha_3$ ?

En remplaçant chaque vecteur par sa valeur numérique, vous êtes amené à à résoudre un système de 4 équations d’inconnues $a_1$ puis $a_2$ et $a_3$. Cela répondrait à la question, mais il sera privilégié ici une présentation différente.

Formez la matrice suivante :

A= \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & -1\\
3 & 0 & 4 & -1\\
-1& 2 & 5 &2 
\end{pmatrix}.

Comme les opérations élémentaires sur les lignes de $A$ ne changent pas l’espace vectoriel engendré par les lignes de $A$ – notez que cet espace vectoriel n’est autre que $\vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ -, il revient au même de se poser la question : est-ce que $\alpha\in\vect(r_1,r_2,r_3)$ où $r_1$, $r_2$ et $r_3$ sont les vecteurs lignes de la matrice $R$ échelonnée réduite de $A$ ? L’intérêt des vecteurs $r_1$, $r_2$ et $r_3$ c’est que ce seront des vecteurs qui permettront de décomposer instantanément $\alpha$ dessus.

Calculez la matrice $R$, la vaguelette $\sim$ signifiant que l’on peut passer d’une matrice à l’autre par des opérations élémentaires sur les lignes de $A$. Il vient :

A= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
3 & 0 & 4 & -1\\
-1& 2 & 5 &2
\end{pmatrix}.

Puis $L_3\leftarrow L_3+L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
3 & 0 & 4 & -1\\
 0& 3 & 7 &1 
\end{pmatrix}.

Puis $L_2\leftarrow L_2-3L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 3 & 7 &1
\end{pmatrix}.

Puis $L_3\leftarrow L_3+L_2$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow 3L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
3 & 3 & 6 & -3\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow L_1+L_2$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
3 & 0 & 4 & -1\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow 5L_1$, $L_2\leftarrow 10L_2$, $L_3\leftarrow 4L_3$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix}
15 & 0 & 20 & -5\\
0 & -30 & -20 & 20\\
0& 0 & 20 &12
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow L_1-L_3$, $L_2\leftarrow L_2+L_3$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix}
15 & 0 & 0 & -17\\
0 & -30 & 0 & 32\\
0& 0 & 20 &12
\end{pmatrix}.

Puis $L_2\leftarrow L_2 / 2$, $L_3\leftarrow L_3/4$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix}
15 & 0 & 0 & -17\\
0 & -15 & 0 & 16\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis vous effectuez la normalisation des pivots :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{17}{15}\\
0 & 1 & 0 & -\frac{16}{15}\\
0& 0 & 1 & \frac{9}{15}
\end{pmatrix}.

Ainsi $r_1 = \left(1,0,0,-\dfrac{17}{15}\right)$, $r_2 = \left(0,1,0,-\dfrac{16}{15}\right)$ et $r_3 = \left(0,0,1,\dfrac{3}{5}\right)$.

Les coordonnées pivots de $\vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ sont $1$, $2$ et $3$ ce qui signifie que les positions des colonnes pivot de chacun des vecteurs pivots sont bien $1$, $2$ et $3$.

Comme $\alpha = (4,-5,9,-7)$, $\alpha\in \vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ si et seulement si $\alpha\in \vect(r_1,r_2,r_3).$ Comme $r_1$, $r_2$ et $r_3$ sont les vecteurs pivots, cette condition est équivalente à $\alpha = 4r_1-5r_2+9r_3.$

Regardez la 4ème coordonnée de $\alpha$ qui vaut $-7$.

Formez la 4ème coordonnée du vecteur $4r_1-5r_2+9r_3.$

Elle est égale à $\dfrac{-17\times 4}{15}+\dfrac{5\times 16}{15}+\dfrac{9\times 9}{15} = \dfrac{-68+80+81}{15}=\dfrac{93}{15}$ donc on n’a pas $\alpha = 4r_1-5r_2+9r_3$ donc $\alpha$ n’est pas une combinaison linéaire des vecteurs $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3.$

115. Structure d’un sous-espace vectoriel (2/2)

Rédigé par on | Niveau Agrégation

Tout sous-espace $E$ de $\F^n$ est isomorphe à $\F^r$ où $r\leq n$

Reprenez l’espace vectoriel $E$ de l'article 114 inclus dans $\F^n$ et notez $\{i_1, \dots, i_r\}$ l’ensemble des coordonnées pivots de $E$ dans l’ordre croissant $1\leq i_1 < \dots < i_r \leq n.$

Vous avez vu précédemment que les vecteurs pivots vérifient : $\forall j\in\llbracket 1, r\rrbracket, \exists! x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$

Considérez l’application liénaire $\varphi$ suivante qui va de $\F^r$ dans $E$, définie par $\varphi(a_1, \dots, a_r) = \sum_{j=1}^r a_j x_{i_j}.$

Montrez que c’est une injection

Il suffit de calculer son noyau.

Soit $(a_1, \dots, a_r)\in\F^r$ tel que $\sum_{j=1}^r a_j x_{i_j} = 0.$

Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $r$. Appliquez à cette relation la forme linéaire $L_{i_k}$.

$\sum_{j=1}^r a_j L_{i_k} (x_{i_j}) = 0$. Par construction des vecteurs pivots, $a_k = 0$.

Le noyau de $\varphi$ étant réduit au singleton $\{0\}$, l’application linéaire $\varphi$ est injective.

Montrez que c’est une surjection

Soit $x$ un vecteur de $E$. Considérez le vecteur $y=x-\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) x_{i_j}.$

Remarquez déjà que pour tout $k$ compris entre $1$ et $r$, $L_{i_k}(y) = L_{i_k}(x) -\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) L_{i_k}(x_{i_j}) = L_{i_k}(x)-L_{i_k}(x)=0. $

Le vecteur $y$ s’annule sur toutes les coordonnées pivots de $E$. Si $y$ était non nul, il existerait un nombre $i$ compris entre $1$ et $n$ avec $i\notin\{i_1,\dots,i_r\}$ tel que $L_i(y)\neq 0.$ Posez $z = \dfrac{1}{L_i(y)} y$. Alors $z\in E$ et $L_i(z) = 1.$ Notez $\ell$ le plus petit des entiers $i \in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i_1,\dots,i_r\}.$ Alors $L_{\ell}(z)=1$ et $\forall i < \ell L_i(z)=0$ donc $\ell$ est une coordonnée pivot donc $\ell\in \{i_1,\dots,i_r\},$ contradiction. Donc $y=0$ et $\varphi$ est surjective.

Conclusion

L’application $\varphi$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels, ce qui prouve le résultat annoncé. Au passage vous retrouvez que $E$ est de dimension finie et que sa dimension est inférieure ou égale à celle de $\F^n.$

Prolongement

Grâce aux vecteurs pivots, il est possible de déterminer une base de tout sous-espace vectoriel $E$ de $\F^n,$ ce qui permet de caractériser complètement $E$ avec des équations et d’obtenir sa dimension.

114. Structure d’un sous-espace vectoriel (1/2)

Rédigé par on | Niveau Agrégation

Soit $n$ un entier naturel non nul et $\F$ un corps.

Pour tout $i\in\llbracket 1,n \rrbracket$ notez $L_i$ la forme linéaire de $\F^n$ dans $\F$ définie par $\forall (x_1,\dots,x_n)\in\F^n, L_i(x_1, \dots, x_n) = x_i.$

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\F^n$ non réduit au singleton $\{0\}.$

Montrez qu’il existe une première coordonnée pivot

L’ensemble $A_1 = \{i\in\llbracket 1,n \rrbracket, \exists x\in E, L_i(x)\neq 0\}$ est non vide : cela traduit qu’il existe un vecteur non nul appartenant à $E$.

$A_1$ est une partie de $\N$ non vide. Notez $i_1$ son minimum.

Il existe un vecteur $x_1\in E$ tel que $L_{i_1}(x_1)\neq 0$ et $\forall x\in E, \forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket, i<i_1 \Longrightarrow L_i(x)=0.$ Par la suite, des implications de ce type seront notées plus simplement : $\forall x\in E, \forall i < i_1, L_i(x)=0.$

Multipliez le vecteur $x_1$ par $\dfrac{1}{L_{i_1}(x_1)}$, vous obtenez un vecteur $y_1 = \dfrac{1}{L_{i_1}(x_1)} x_1$ de $E$ tel que $L_{i_1}(y) = 1$ et $\forall i<i_1, L_i(y)=0.$

$i_1$ désigne le premier numéro de coordonnée pour lequel il existe un vecteur appartenant à $E$ de la forme $(0,\dots,0,1,\times, \dots, \times).$

$i_1$ sera appelé « coordonnée pivot » pour l’espace vectoriel $E$.

Cela conduit à la définition suivante.

Les coordonnées pivot dans le cas général

Pour tout $i\in\llbracket 1,n \rrbracket$ le nombre $i$ est appelé « coordonnée pivot » pour l’espace vectoriel $E$, si et seulement s’il existe un vecteur $x\in E$ tel que $L_i(x)=1$ et $\forall j < i, L_j(x)=0.$

Il existe au plus $n$ coordonnées pivots pour l’espace $E$. En notant $r$ le nombre d’éléments de l’ensemble formé par toutes les coordonnées pivots de $E$, vous pouvez noter $\{i_{1}, \dots, i_r\}$ avec $1\leq i_1<\dots<i_r\leq n$ l’ensemble des coordonnées pivots de $E$.

Par définition des coordonnées pivots, pour tout $j\in\llbracket 1, r\rrbracket$, il existe un vecteur $x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k < i_j, L_k(x_{i_j})=0.$

On dira qu’un vecteur $x\in E$ est un vecteur pivot de $E$ si et seulement s’il existe un nombre $i$ compris entre $1$ et $n$ tel que $L_i(x)=1$ et $\forall j < i, L_j(x)=0.$

Existence et unicité de vecteurs pivots

Rappelez-vous que $\{i_{1}, \dots, i_r\}$ désigne toutes les coordonnées pivots de $E$. Vous allez montrer un résultat plus fort, l’existence et l’unicité pour chaque $j$ compris entre $1$ et $r$, d’un vecteur pivot $x_{i_j}$ tel que : $L_{i_j}(x_{i_j})=1$, $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$

Montrez d’abord l’unicité

$\forall j\in\llbracket 1, r\rrbracket, \exists! x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$

Soit $j$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, r\rrbracket.$ Supposez qu’il existe deux vecteurs $x\in E$ et $y\in E$ tels que $L_{i_j}(x) = L_{i_j}(y)=1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x)=L_{i_k}(y)=0.$

Alors $\forall k \in \{i_{1}, \dots, i_r\}, L_k(x-y)=0.$ Si le vecteur $x-y$ n’était pas nul, il existerait $p\in\llbracket 1,n \rrbracket$ tel que $L_p(x-y)\neq 0.$ Soit $\ell$ le plus petit entier $p\in\llbracket 1,n \rrbracket$ tel que $L_p(x-y)\neq 0.$ Alors $\forall i<\ell, L_i(x-y)=0.$ Multipliez le vecteur $x-y$ par $\dfrac{1}{L_{\ell}(x-y)}$, pour constater que $z = \dfrac{1}{L_{\ell}(x-y)} (x-y)$ vérifie $L_{\ell}(z)=1$ et $\forall i < \ell, L_{i}(z)=0.$ Il en résulte que $\ell$ est une coordonnée pivot de $E$. Donc $\ell \in \{i_{1}, \dots, i_r\}$ et donc $L_{\ell} (x-y)=0$, ce qui contredit la définition de $\ell$. Ainsi $x=y$ et l’unicité est démontrée.

Montrez ensuite l’existence

C’est la partie la plus délicate. Elle est basée sur le processus de Gauss-Jordan.

Soit $j$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, r\rrbracket.$ Le nombre $i_j$ est une coordonnée pivot de $E$ donc il existe un vecteur pivot $x\in E$ tel que $L_{i_j}(x) = 1$ et $\forall k < i_j, L_k(x)=0.$

Pour tout entier $s$ compris entre $j+1$ et $r$, vous allez montrer qu’il existe un vecteur $y\in E$ tel que $L_{i_j}(y) = 1$, $\forall k\in \{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}, L_k(y)=0$ et $\forall k < i_j, L_k(y)=0.$

Vous procédez par récurrence limitée. Pour tout entier $s$ compris entre $j+1$ et $r$, notez $P(s)$ la propriété : « il existe un vecteur $y\in E$ tel que $L_{i_j}(y) = 1$, $\forall k\in \{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}, L_k(y)=0$ et $\forall k < i_j, L_k(y)=0.$ »

Initialisation. $i_{j+1}$ est une coordonnée pivot donc il existe un vecteur $z\in E$ tel que $L_{i_{j+1}}(z)=1$ et $\forall k < i_{j+1}, L_k(z)=0.$ Considérez le vecteur $y=x -L_{i_{j+1}}(x) z.$ Par combinaison linéaire, $y\in E.$ La condition $\forall k < i_j, L_k(y)=0$ est satisfaite puisqu’elle l’est pour $z$ et pour $x$ vu que $i_j < i_{j+1}.$ Vous avez $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(x)-L_{i_{j+1}}(x) L_{i_j}(z)$, or $L_{i_j}(z)=0$ donc $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(x) = 1.$ D’autre part, $L_{i_{j+1}}(y) =L_{i_{j+1}}(x)-L_{i_{j+1}}(x) L_{i_{j+1}}(z) $ or $L_{i_{j+1}}(z)=1$ donc $L_{i_{j+1}}(y) =L_{i_{j+1}}(x)-L_{i_{j+1}}(x) = 0.$ La propriété $P(j+1)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $s$ un entier compris entre $j+1$ et $r-1$. Supposez $P(s)$.

Il existe donc un vecteur $z\in E$ tel que $L_{i_j}(z) = 1$, $\forall k\in \{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}, L_k(z)=0$ et $\forall k < i_j, L_k(z)=0.$

$i_{s+1}$ étant une coordonnée pivot, il existe un vecteur $a\in E$ tel que $L_{i_{s+1}}(a)=1$ et $\forall k < i_{s+1}, L_k(a)=0.$

Considérez le vecteur $y=z -L_{i_{s+1}}(z) a$, alors $y\in E$ et la condition $\forall k < i_j, L_k(y)=0$ est satisfaite. Vous avez $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(z)-L_{i_{s+1}}(z) L_{i_j}(a)$, or $L_{i_j}(a) = 0$ donc $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(z) = 1.$ Soit $k$ appartenant à $\{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}$. $L_k(y) = L_k(z)-L_{i_{s+1}}(z) L_k(a)$, or $L_k(z) = 0$ et $L_k(a) = 0$ donc $L_k(y)=0.$ Pour le dernier calcul, $L_{i_{s+1}}(y)= L_{i_{s+1}}(z)-L_{i_{s+1}}(z) L_{i_{s+1}}(a)$, or $L_{i_{s+1}}(a) = 1$ donc $L_{i_{s+1}}(y)= L_{i_{s+1}}(z)-L_{i_{s+1}}(z) = 0.$ Le vecteur $y$ convient et la propriété $P(s+1)$ est vérifiée.

Par récurrence limitée, la propriété $P(r)$ est satisfaite.

Prolongement

Veillez à lire l'article 115 qui vous expliquera pourquoi les vecteurs pivots constituent, en fait, une base de $E.$

113. Diagonalisation et formules de changements de bases

Rédigé par on | Niveau Prépa

La relation $D = P^{-1}AP$ traduit l’associativité du produit matriciel.

Pour fixer les idées, soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $f$ un endomorphisme de $E$.

Considérez $(e_1, \dots, e_n)$, base de $E$ dans laquelle vous disposez de la matrice $A$ de $f$ dans cette base.

Traduisez le lien entre $(e_1\quad \dots\quad e_n)$ et $(f(e_1)\quad \dots\quad f(e_n))$

Soit $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$. La colonne numéro $i$ de $A$ est donnée par $\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni} \\ \end{pmatrix}$ les coefficients $a_{ji}$ donnant les coordonnées de la décomposition du vecteur $f(e_i)$ sur la base $(e_1,\dots,e_n)$, ce qui se traduit par le sigma $f(e_i)=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j.$

Il faut bien avouer que cette notation avec un sigma n’est guère pratique.

Il convient d’écrire, par produit matriciel, que $f(e_i) = (e_1\quad \dots\quad e_n)\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni}\end{pmatrix}.$

Vous en déduisez la relation fondamentale, la matrice ligne de vecteurs $(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n))$ est égale au produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) A.$

$\boxed{(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) =(e_1\quad \dots \quad e_n) A. }$

Ecrivez le lien entre deux bases de $E$

La base $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ étant déjà prise en compte plus haut, considérez une autre base $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ de $E$. Appelez $P$ la matrice de passage de $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ vers la base $(f_1\quad\dots\quad f_n).$

Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$, le vecteur $f_i$ se décompose avec un sigma : $f_i=\sum_{j=1}^n p_{ji}e_j$ et les coefficients $p_{ji}$ sont regroupés dans la matrice $P$ qui est définie par :

Comme tout à l’heure, l’écriture avec un sigma est peu agréable aussi, vous pouvez remarquer que $f_i$ s’écrit comme le produit matriciel $f_i = (e_1\quad \dots \quad e_n) \begin{pmatrix}p_{1i}\\\dots\\ p_{ni}\end{pmatrix}.$

La matrice ligne $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ s’écrit comme le produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) P.$

En résumé :

$\boxed{(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.}$

Et la relation de diagonalisation $D = P^{-1}AP$

Supposez que vous ayez trouvé une base de diagonalisation de $f$, autrement dit, il existe $n$ scalaires $\lambda_1$, …, $\lambda_n$ tels que $\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, f(f_i)=\lambda_i f_i.$

Remarquez que $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n).$

Cette matrice ligne s’écrit comme un produit matriciel en utilisant la matrice $D$ diagonale définie par :

qui vous permet d’écrire successivement :

\begin{align*}
(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n) \\
&= (f_1\quad\dots\quad f_n)D\\
&= [(e_1\quad \dots \quad e_n) P]D\\
&=(e_1\quad \dots \quad e_n) [PD].
\end{align*}

Notez l’utilisation des crochets qui soulignent l’associativité du produit matriciel.

Mais $(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.$ Comme $f$ est linéaire, vous obtenez $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P$ ce qui vous donne un autre calcul possible pour la matrice ligne $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)).$ Cela donne : 

\begin{align*}
(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P\\
&=[(e_1\quad \dots \quad e_n) A]P\\
&=(e_1\quad \dots \quad e_n) [AP].
\end{align*}

Vous déduisez l’égalité suivante de combinaisons linéaires : $(e_1\quad \dots \quad e_n)PD = (e_1\quad \dots \quad e_n)AP.$

Comme la famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, il y a unicité des coefficients et par suite $PD = AP.$

Comme la matrice $P$ est une matrice de passage d’une base vers une autre, elle est inversible et en multipliant à gauche par $P^{-1}$ vous obtenez le résultat annoncé : $\boxed{P^{-1}AP= D.}$