École AVOSZ

123. Une équation de degré 5

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 14/03/202117/09/2024| Niveau Agrégation

Considérez le nombre $\alpha = \sqrt[5]{\frac{-75+21\sqrt{10}}{125}} + \sqrt[5]{\frac{-75-21\sqrt{10}}{125}}+\sqrt[5]{\frac{225+72\sqrt{10}}{125}} + \sqrt[5]{\frac{225-72\sqrt{10}}{125}}.$
Il va s’agir de montrer que $\alpha$ vérifie une équation de degré 5 à coefficients entiers !

Afin de calculer $\alpha^5$, vous allez poser successivement :

\left\{\begin{align*} x_1 &= \frac{-75+21\sqrt{10}}{125}\\ x_2 &= \frac{-75-21\sqrt{10}}{125}\\ y_1 &= \frac{225+72\sqrt{10}}{125}\\ y_2 &= \frac{225-72\sqrt{10}}{125} \end{align*}\right.

\left\{\begin{align*} A &= \sqrt[5]{x_1}\\ B &= \sqrt[5]{x_2}\\ C &= \sqrt[5]{y_1}\\ D &= \sqrt[5]{y_2} \end{align*}\right.

de sorte que $\alpha = A+B+C+D.$

Tableaux de calculs

\begin{align*} x_1x_2 &=\frac{-75+21\sqrt{10}}{125}\times \frac{-75-21\sqrt{10}}{125} \\ &= \frac{75^2-21^2\times 10}{125^2}\\ &=\frac{5625-4410}{125^2}\\ &=\frac{1215}{125^2}\\ &=\frac{243}{3125} \end{align*}

si bien que $\sqrt[5]{\frac{243}{3125}} = \frac{3}{5}.$

Comment développer $(A+B+C+D)^5$ ? Première idée

Les exposants de $A$, $B$, $C$, $D$ doivent avoir une somme égale à $5$.

Le terme $A^aB^bC^cD^d$ apparaît dans la somme autant de fois qu’il est possible de choisir $a$ fois le nombre $A$, $b$ fois le nombre $B$, $c$ fois le nombre $C$ et $d$ fois le nombre $D$. Ce nombre de fois est le coefficient multinomial $\binom{5}{a,b,c,d} = \frac{5!}{a!b!c!d!}.$

Autrement dit :

\begin{align*} (A+B+C+D)^5&=\sum_{a+b+c+d=5}\binom{5}{a,b,c,d}A^{a}B^bC^cD^d \\ &=A^5 + A^4 \sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d \\ &\quad+ A^3 \sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d + A^2 \sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d \\ &\quad +A\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d + \sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d \\ \end{align*}

La somme $\sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d$

\begin{align*} \sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{4,1,0,0}B + \binom{5}{4,0,1,0}C + \binom{5}{4,0,0,1}D \\ &= 5B+5C+5D. \end{align*}

La somme $\sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d$

\begin{align*} \sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{3,2,0,0}B^2 + \binom{5}{3,1,1,0}BC + \binom{5}{3,1,0,1}BD \\ &\quad+ \binom{5}{3,0,2,0}C^2+ \binom{5}{3,0,1,1}CD + \binom{5}{3,0,0,2}D^2 \\ &= 20B^2+5BC+5BD+20C^2+5CD+20D^2. \end{align*}

La somme $\sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d$

\begin{align*} \sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{2,3,0,0}B^3 + \binom{5}{2,2,1,0}B^2C + \binom{5}{2,2,0,1}B^2D \\ &\quad+\binom{5}{2,1,2,0}BC^2+\binom{5}{2,1,1,1}BCD+\binom{5}{2,1,0,2}BD^2 \\ &\quad+\binom{5}{2,0,3,0}C^3+\binom{5}{2,0,2,1}C^2D + \binom{5}{2,0,1,2}CD^2+ \binom{5}{2,0,0,3}D^3 \\ &=10B^3+30B^2C+30B^2D+30BC^2+60BCD \\ &\quad+30BD^2+10C^3+30C^2D+30CD^2+10D^3. \end{align*}

La somme $\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d$

\begin{align*} \sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{1,4,0,0}B^4+\binom{5}{1,3,1,0}B^3C+\binom{5}{1,3,0,1}B^3D \\ &\quad+\binom{5}{1,2,2,0}B^2C^2+\binom{5}{1,2,1,1}B^2CD+\binom{5}{1,2,0,2}B^2D^2 \\ &\quad+\binom{5}{1,1,3,0}BC^3+\binom{5}{1,1,2,1}BC^2D+\binom{5}{1,1,1,2}BCD^2 \\ &\quad+\binom{5}{1,1,0,3}BD^3+\binom{5}{1,0,4,0}C^4+\binom{5}{1,0,3,1}C^3D+ \\ &\quad+\binom{5}{1,0,2,2}C^2D^2+\binom{5}{1,0,1,3}CD^3+\binom{5}{1,0,0,4}D^4 \\ &=5B^4+20B^3C+20B^3D+30B^2C^2+60B^2CD \\ &\quad+30B^2D^2+20BC^3+60BC^2D+60BCD^2+20BD^3 \\ &\quad+5C^4+20C^3D+30C^2D^2+20CD^3+5D^4. \end{align*}

La somme $\sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d$

\begin{align*} \sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{0,5,0,0}B^5+\binom{5}{0,4,1,0}B^4C+\binom{5}{0,4,0,1}B^4D \\ &\quad+\binom{5}{0,3,2,0}B^3C^2+\binom{5}{0,3,1,1}B^3CD+\binom{5}{0,3,0,2}B^3D^2 \\ &\quad+\binom{5}{0,2,3,0}B^2C^3+\binom{5}{0,2,2,1}B^2C^2D+\binom{5}{0,2,1,2}B^2CD^2 \\ &\quad+\binom{5}{0,2,0,3}B^2D^3+\binom{5}{0,1,4,0}BC^4+\binom{5}{0,1,3,1}BC^3D \\ &\quad+\binom{5}{0,1,2,2}BC^2D^2+\binom{5}{0,1,1,3}BCD^3+\binom{5}{0,1,0,4}BD^4 \\ &\quad+\binom{5}{0,0,5,0}C^5+\binom{5}{0,0,4,1}C^4D+\binom{5}{0,0,3,2}C^3D^2 \\ &\quad+\binom{5}{0,0,2,3}C^2D^3+\binom{5}{0,0,1,4}CD^4+\binom{5}{0,0,0,5}D^5 \\ &=B^5+5B^4C+5B^4D+10B^3C^2+20B^3CD+10B^3D^2+10B^2C^3 \\ &\quad+30B^2C^2D+30B^2CD^2+10B^2D^3+5BC^4+20BC^3D+30BC^2D^2+20BCD^3 \\ &\quad+5BD^4+C^5+5CD^4+10C^3D^2+10C^2D^3+5CD^4+D^5. \end{align*}

Les calculs deviennent de plus en plus longs et deviennent de moins en moins compréhensibles. Cela vous indique que cette manière de procéder n’est pas à privilégier.

Comment développer $(A+B+C+D)^5$ ? Seconde idée

Dans le développement précédent, vous constatez l’apparition de coefficients multinomiaux identiques, 1, 5, 10, 20, 30 et même 60. Il semble intéressant d’écrire la somme en factorisant ces nombres, de façon à faire apparaître des sommes symétriques.

L’idée sous-jacente consiste à décomposer 5 l’exposant de $(A+B+C+D)^5$ comme somme de 4 entiers naturels.

$5 = 5+0+0+0$ donne le coefficient multinomial égal à $\frac{5!}{5!0!0!0!}=1$,
$5 = 4+1+0+0$ donne celui égal à $5=\frac{5!}{4!1!0!0!} = 5$,
$5 = 3+2+0+0$ donne celui égal à $\frac{5!}{3!2!0!0!}=10$,
$5 = 3+1+1+0$ donne celui égal à $\frac{5!}{3!1!0!0!} = 20$,
$5 = 2+2+1+0$ donne celui égal à $\frac{5!}{2!2!1!0!} = 30$,
$5 = 2+1+1+1$ donne celui égal à $\frac{5!}{2!1!1!1!} = 60$,

Ainsi :

\begin{align*} (A+B+C+D)^5 &= A^5+B^5+C^5+D^5\\ &\quad+5(A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D+AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4) \\ &\quad+10(A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2+C^3A^2+C^3B^2+C^3D^2+D^3A^2+D^3B^2+D^3C^2) \\ &\quad+20(A^3BC+A^3BD+A^3CD+B^3AC+B^3AD+B^3CD+C^3AB+C^3AD+C^3BD+D^3AB+D^3AC+D^3BC) \\ &\quad+30(A^2B^2C+A^2B^2D+A^2C^2B+A^2C^2D+A^2D^2B+A^2D^2C+B^2C^2A+B^2C^2D+B^2D^2A+B^2D^2C+C^2D^2A+C^2D^2B) \\ &\quad+60(A^2BCD+B^2ACD+C^2ABD+D^2ABC). \end{align*}

Attaquez-vous à $A^5+B^5+C^5+D^5$

\begin{align*} A^5+B^5+C^5+D^5&=x_1+x_2+y_1+y_2\\ &=\frac{-75+21\sqrt{10}}{125} + \frac{-75-21\sqrt{10}}{125}\\ &\quad+ \frac{225+72\sqrt{10}}{125} + \frac{225-72\sqrt{10}}{125}\\ &=\frac{-150}{125}+\frac{450}{125}\\ &=\frac{300}{125}\\ &=\frac{60}{25}\\ &=\frac{12}{5}. \end{align*}

Attaquez-vous à $A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D$

\begin{align*} A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{21723471 \sqrt{10} - 68726475 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{6803028 \sqrt{10} - 21414375 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-1144772028\sqrt{10} +3620086425 }{125}} \\ &\quad+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-21723471 \sqrt{10} - 68726475 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{1144772028\sqrt{10} +3620086425 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-6803028 \sqrt{10} - 21414375 }{125}} \end{align*}

Attaquez-vous à $AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4$

\begin{align*} AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-2281987971 \sqrt{10} - 7216279875 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-37556404029 \sqrt{10} - 118763777475 }{125}} +\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-712839528 \sqrt{10} - 2254195575 }{125}} \\ &\quad+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-2281987971 \sqrt{10} - 7216279875 }{125}} +\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{37556404029\sqrt{10} - 118763777475 }{125}} +\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{712839528\sqrt{10} - 2254195575 }{125}} \end{align*}

Attaquez-vous à $A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2$

\begin{align*} A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{1240029\sqrt{10} - 4428675 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-693279\sqrt{10} - 3007125 }{125}}\\ &\qquad+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{3664718721\sqrt{10} - 11588858325 }{125}} \\ &\qquad+... \end{align*}

À vous de poursuivre ! Arrivez-vous à conclure ?

122. Racine de 2 est irrationnel

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 14/03/202130/09/2023| Niveau Capes, Niveau Prépa, Niveau Terminale

Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l’équation $x^2=2.$

Vous allez démontrer qu’il n’existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

Un tel résultat constitue l’irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{u}{v}, u\in\Z, v\in\NN\right\}.$

Raisonnez par l’absurde

Supposez qu’il existe $a\in\Z$ et $b\in\NN$ tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

L’ensemble $A=\left\{m\in\NN, \exists n\in\Z, \sqrt{2}=\frac{n}{m}\right\}$ est une partie de $\N$, non vide puisque $b\in A.$

Notez $\beta$ le plus petit élément de $A$. Par définition du nombre $\beta$ qui appartient à $A$, il existe $\alpha\in\Z$ tel que $\sqrt{2}=\frac{\alpha}{\beta}.$ La stricte positivité de $\sqrt{2}$ et de $\beta$ impose $\alpha\in\NN.$

La mise au carré et la multiplication par $\beta^2$ fournit $\alpha^2 = 2\beta^2.$

Quelques inégalités

Comme $\beta > 0$, $\beta^2>0$ donc $2\beta^2 < 4 \beta^2$ d’où $\alpha^2 < 4\beta^2.$ La fonction racine carrée étant strictement croissante, son application fournit $\alpha < 2\beta.$

Dans l’autre sens, $\beta^2< 2\beta^2$ donc $\beta^2 < \alpha^2$ et $\beta < \alpha.$

Et une impossibilité

$\begin{aligned} (2\beta-\alpha)^2 &= 4\beta^2+\alpha^2-4\alpha\beta\\&= 4\beta^2 + 2\beta^2- 4\alpha\beta\\&=2(2\beta^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\&=2(\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\&=2(\alpha-\beta)^2.\end{aligned}$

De ce qui précède, $2\beta – \alpha > 0$ et $\alpha-\beta >0$ donc $2\beta-\alpha = \sqrt{2}(\alpha-\beta)$ et par suite $\sqrt{2} = \frac{2\beta-\alpha}{\alpha-\beta}.$ Vous en déduisez que $\alpha-\beta \in A.$ Or, $\alpha < 2\beta$ donc $\alpha-\beta< \beta.$ Comme $\beta$ est le minimum de $A$, $\alpha-\beta\notin A$ d’où la contradiction.

121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 08/03/202117/09/2024| Niveau Capes, Niveau Prépa

Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$

Quels outils seront utilisés ?

Vous allez utiliser le développement d’une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$

Vous allez utiliser des propriétés de la racine cubique. C’est une fonction définie sur $\R$, multiplicative et impaire :

$\forall (x,y)\in\R^2, \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}$ et $\forall x\in\R, \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}.$

Tentez de simplifier en élevant au cube

Pour calculer $a^3$, il sera commode de poser $u=18+\sqrt{325}$ et $v=18-\sqrt{325}.$ Remarquez que $u+v=36.$

\begin{align*} a^3 &= \left(\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\right)^3 \\ &= u + 3\sqrt[3]{v}\left(\sqrt[3]{u}\right)^2+3\sqrt[3]{u}\left(\sqrt[3]{v}\right)^2+v\\ &= 36 + 3\sqrt[3]{v u^2}+3\sqrt[3]{u v^2}. \end{align*}

Pour évaluer $vu^2$ vous calculez $(vu)u = (18^2-325)u = (324-325)u = -u.$ De même, $uv^2 = (uv)v = -v.$

Du coup :

\begin{align*} a^3 &= 36+ 3\sqrt[3]{-u} + 3\sqrt[3]{-v} \\ &= 36 - 3\sqrt[3]{u} - 3\sqrt[3]{v}\\ &= 36-3a. \end{align*}

Il en résulte que $a^3+3a-36=0.$

Concluez

Cette équation de degré 3 est polynomiale et possède le nombre $3$ pour solution.

En effet, $3^3+3\times 3 – 36$ est bien égal à $0.$

Vous en déduisez successivement :

\begin{align*} a^3+3a-36 &= 3^3+3\times 3 - 36\\ a^3-3^3+3(a-3)&=0\\ (a-3)(a^2+3a+9)+3(a-3)&=0\\ (a-3)(a^2+3a+12)&= 0. \end{align*}

Le discriminant du trinôme $x^2+3x+12$ est égal à $9-48$, il est strictement négatif, l’équation $x^2+3x+12 = 0$ n’admet pas de solution réelle, donc $a^2+3a+12 \neq 0$ et par conséquent $a-3=0$ et $a=3$, d’où :

\boxed{\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}} = 3.}

120. Aire sous la parabole

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 26/02/202112/01/2026| Niveau Capes, Niveau Prépa

Considérez la courbe $\cc$ d’équation $y=x^2$, lorsque $x$ parcourt l’intervalle $[0,1].$

On note $\aa$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\cc$, l’axe des abscisses et la droite verticale d’équation $x=1.$

Comment trouver la valeur de $\aa$ ?

Minorez la valeur de $\aa$ par des rectangles

Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérez la subdivision $x_0 < \dots < x_n$ de l’intervalle $[0,1]$ en posant, $\forall i \in\llbracket 0,n\rrbracket, x_i = \frac{i}{n}.$

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{i^2}{n^2}.$

La somme des aires de ces rectangles minore $\aa$, c’est-à-dire que :

\begin{align*} \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i)\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} &\leq \aa\\ \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n}\frac{i^2}{n^2} &\leq \aa\\ \frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 &\leq \aa. \end{align*}

Avant de pouvoir poursuivre, vous vous retrouvez confronté à un problème technique : comment calculer la somme des carrés $\sum_{i=0}^{n-1} i^2$ et plus généralement, comment calculer $\sum_{i=0}^{n} i^2$ ?

Utilisez le triangle de Pascal

Etonnamment, les coefficients binomiaux permettent de régler cette question.

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n$, on note $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ le coefficient binomial appelé $k$ parmi $n$.

Le lemme fondamental est la relation de Pascal : $\forall n\in\N, \forall k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket, \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$

Pour prouver ce résultat, vous fixez $n\in\N$ et $k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket.$

\begin{align*} \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} &= \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\\ &= \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\ &= \frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\ &=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\\ &=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-k-1)!}\\ &=\binom{n+1}{k+1}. \end{align*}

Calculez la somme des entiers $1+2+\cdots+n$

La relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq 1$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

Pour $n=1$, $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \sum_{i=1}^1 \binom{i}{1} = \binom{1}{1}=1.$
Or $\binom{1+1}{2} = 1.$ Donc $P(1)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 1$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$, d’où $\sum_{i=1}^{n+1} \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{1} = \binom{n+2}{2}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n i = \frac{(n+1)n}{2}$ d’où $\forall n\geq 0, \sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.$

Calculez la somme des carrés $1^2+2^2+\cdots+n^2$

De même, la relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq2$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

Pour $n=2$, $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \sum_{i=2}^2 \binom{i}{2} = \binom{2}{2}=1.$
Or $\binom{2+1}{3} = 1.$ Donc $P(2)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 2$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$, d’où $\sum_{i=2}^{n+1} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} = \binom{n+2}{3}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{2} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ d’où $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}$ et donc $\forall n\in\N, \sum_{i=0}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}.$

Concluez.

\begin{align*} \sum_{i=0}^n i^2 &=\sum_{i=0}^n i(i-1) + \sum_{i=0}^n i \\ &= \frac{(n+1)n(n-1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{(n+1)n(2n-2)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6}\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \end{align*}

Minorez la valeur de $\aa$

De l’inégalité $\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 \leq \aa$, valable pour tout $n\geq 1$, vous déduisez $\frac{1}{(n+1)^3}\sum_{i=0}^{n} i^2 \leq \aa$, inégalité valable pour tout $n\geq 0$, soit $\forall n\in\N, \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)^3} \leq \aa.$ Quand $n\to+\infty$, le numérateur est équivalent à $2n^3$ et le dénominateur à $6n^3.$ Il s’ensuit, en passant à la limite quand $n\to +\infty$ que $\frac{1}{3}\leq \aa.$

Majorez la valeur de $\aa$

Vous formez une somme de rectangles en changeant la borne inférieure par la borne supérieure.

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\sup\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{(i+1)^2}{n^2}.$

Ainsi vous majorez $\aa$ par une somme d’aires de rectangles ayant pour largeur $\frac{1}{n}$ et pour hauteur $\frac{(i+1)^2}{n^2}.$

La suite est laissée au lecteur qui pourra montrer, comme pour la minoration après un passage à la limite quand $n\to \infty$, que $\frac{1}{3}\geq \aa.$

Concluez

L’aire $\aa$ a une valeur précise égale à $\frac{1}{3}.$

119. Homothéties et translations

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 22/12/202012/01/2026| Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Reprenez la situation qui a été décrite dans dans l'article 118.

Vous partez de la figure ci-dessous comportant un carré et deux triangles équilatéraux.

Pour justifier que les points $D$ $E$ et $F$ sont alignés, vous allez ajouter trois points supplémentaires dans la figure.

Vous appelez $K$ le point d’intersection des droites $(DE)$ et $(BC)$, $I$ le milieu du segment $[BC]$. Comme le triangle $BCF$ est équilatéral, les droites $(FI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Soit $L$ le point de la droite $(CD)$ placé de sorte que le quadrilatère $CLFI$ soit un rectangle.

Utilisez une homothétie et calculez son rapport

Comme les points $C$, $K$ et $I$ sont alignés dans cet ordre, il existe une homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport positif telle que $h(K)=I.$

Le rapport $k$ de l’homothétie s’obtient en calculant $k=\dfrac{CI}{CK}.$

Utilisez une projection et deux milieux

Comme $ABE$ est un triangle équilatéral, la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $E$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $M$. Notez $p$ la projection sur la droite $(DK)$ parallèlement à la droite $(BC)$. Alors $p(A)=D$, $p(M)=E$ et $p(B)=K.$ Comme $p$ conserve les milieux, il en résulte que $E$ est le milieu du segment $[DK].$

Notez maintenant $N$ le milieu du segment $[DC]$ et $a$ le côté du carré $ABCD.$ La distance $EM$ est égale à $a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et par conséquent $EN = a-a\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a}{2}(2-\sqrt{3}).$

Comme la droite $(EN)$ est la droite des milieux dans le triangle $DCK$, $CK = 2 EN = a(2-\sqrt{3}).$ Aussitôt :

\begin{align*} k &= \frac{CI}{CK}\\ &=\frac{\frac{a}{2}}{a(2-\sqrt{3})}\\ &=\frac{a}{2a(2-\sqrt{3})}\\ &=\frac{1}{2(2-\sqrt{3})}\\ &=\frac{2+\sqrt{3}}{2(4-3)}\\ &=\frac{2+\sqrt{3}}{2}. \end{align*}

Utilisez la composée d’une homothétie et d’une translation

Rappelez-vous que $h(C)=C$ et que $h(K)=I.$

Notez maintenant $t$ la translation de vecteur $\vv{IF}.$ Comme $IFLC$ est un rectangle, il vient $t(I)=F$ et $t(C)=L.$

Notez maintenant la composée $f = t\circ h.$ La composée d’une homothétie de rapport $k\neq 1$ et d’une translation est une homothétie de même rapport $k$. L’application $f$ est par conséquent une homothétie de rapport $k$ telle que $f(C) = t(h(C))=t(C)=L$ et $f(K)=t(h(K))=t(I)=F.$

Déterminez le centre de l’homothétie $f$

Le rapport de $f$ est connu, il est égal à $k=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Mais le rapport $\dfrac{DL}{DC}$ comme vous l’avez pressenti, est aussi égal à $k$.

En effet :

\begin{align*} \dfrac{DL}{DC}&=\dfrac{a+a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a}\\ &=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ &=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\\ &=k. \end{align*}

Comme les points $D$ $C$ et $L$ sont alignés dans cet ordre et que $k=\dfrac{DL}{DC}$, $D$ est le centre de l’homothétie $f$.

Concluez avec l’alignement des points $D$ $E$ et $F$

Comme $f$ est une homothétie de centre $D$ vérifiant $f(K)=F$, les points $D$ $K$ et $F$ sont alignés, donc $F$ appartient à la droite $(DK)$. Les droites $(DE)$ et $(DK)$ sont confondues donc $F$ appartient à la droite $(DE)$ et les points $D$ $E$ et $F$ sont alignés.

Prolongement

Notez $E$ l’ensemble des homothéties et des translations du plan. Quelle est la structure algébrique de $E$ ? Dans quels autres exemples utilisez-vous ses propriétés ?

118. Alignement de trois points

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 21/12/202012/01/2026| Niveau Capes, Niveau Première

Considérez la figure ci-dessous.

$ABCD$ est un carré, le point $E$ est situé à l’intérieur de ce carré pour que le triangle $ABE$ soit équilatéral, le point $F$ est situé à l’extérieur de ce même carré pour que le triangle $BCF$ soit équilatéral.

Notez $a = AB$ la valeur du côté du carré.

Vous allez montrer uniquement avec des calculs de distances que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés dans cet ordre.

Calculez la distance entre $D$ et $F$

Comme le triangle $DCF$ est isocèle en $C$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*} DF^2 &= DC^2+CF^2-2\times DC\times CF\times \cos 150°\\ &= 2a^2-2a^2 \cos 150°\\ &= 2a^2+2a^2\cos 30°\\ &=2a^2+2a^2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ &=2a^2+a^2\sqrt{3}\\ &=a^2(2+\sqrt{3}). \end{align*}

Avant de prendre la racine carrée, il convient de voir si $2+\sqrt{3}$ s’écrit comme un carré agréable, et c’est effectivement le cas.

Remarquez que :

\begin{align*} (\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 &= 2+6+2\sqrt{12}\\ &=8+2\times 2\sqrt{3}\\ &=8+4\sqrt{3}\\ &=4(2+\sqrt{3}). \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} 4DF^2 &= 4a^2(2+\sqrt{3})\\ &= a^2(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2. \end{align*}

Par positivité des distances $\boxed{2DF = a(\sqrt{2}+\sqrt{6}).}$

Calculez la distance entre $D$ et $E$

Comme le triangle $ADE$ est isocèle en $A$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*} DE^2 &= AE^2+AD^2-2\times AE \times AD\times \cos 30°\\ &=2a^2-2a^2\cos30°\\ &=2a^2-a^2\sqrt{3}\\ &=a^2(2-\sqrt{3}). \end{align*}

Remarquez comme dans le paragraphe précédent que :

\begin{align*} (\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 &= 6+2-2\sqrt{12}\\ &=8-2\times 2\sqrt{3}\\ &=8-4\sqrt{3}\\ &=4(2-\sqrt{3}). \end{align*}

Par positivité des distances et du nombre $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, vous obtenez $\boxed{2DE = a(\sqrt{6}-\sqrt{2}).}$

Calculez la distance entre $E$ et $F$

Le triangle $EBF$ est isocèle en $B$. De plus, $\widehat{EBF} =\widehat{EBC}+\widehat{CBF} = 30°+60°=90°.$ Par conséquent, le triangle $EBF$ est rectangle isocèle en $B$. Le théorème de Pythagore fournit :

\begin{align*} EF^2 &= BE^2+BF^2\\ &=2a^2. \end{align*}

Du coup $EF = a\sqrt{2}.$

Montrez que $DE+EF=DF$

Par somme :

\begin{align*} 2DE+2EF &= a(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 2a\sqrt{2}\\ &=a(\sqrt{6}+\sqrt{2})\\ &=2DF. \end{align*}

L’égalité $DE+EF=DF$ entraîne l’appartenance du point $E$ au segment $[DF]$ comme annoncé.

Prolongement

L’alignement des points $D$, $E$ et $F$ peut être démontrée autrement. Voici une autre méthode utilisant des homothéties, une projection et une translation.

117. La multiplication d’un chiffre par 9

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 20/12/202015/01/2021| Pour tous

Vous avez appris par coeur la table de multiplication par 9, oui mais… avez-vous compris comment elle est construite ?

Une conséquence d’un calcul algébrique

Prenez un chiffre non nul noté $c$, autrement dit, un nombre entier compris entre $1$ et $9.$

Pour calculer $c\times 9$, vous pouvez effectuer $c\times (10-1) = 10c -c.$ Cette méthode est largement connue, par exemple au lieu de calculer $7\times 9$ vous effectuez $70-7=63.$

Le problème c’est que cette écriture présente une soustraction qui ne donne pas directement les chiffres de l’écriture décimale du résultat. Vous souhaitez pouvoir obtenir $9\times 7 = 6\times 10 + 3$.

Il est tout à fait possible d’y parvenir.

Remarquez que :

$\begin{aligned} c\times 9 &= c\times (10-1)\\&=10c-c\\&= (10(c-1)+10)-c\\&=10(c-1)+(10-c)\end{aligned}$

Comme $c$ est un chiffre non nul, vous constatez que $c-1$ est un chiffre et que $10-c$ est aussi un chiffre.

Par conséquent, l’égalité $\boxed{c\times 9 = (c-1)\times 10 + (10-c)}$ vous donne la lecture des deux chiffres du résultat de la multiplication $c\times 9.$

Le chiffre des dizaines est égal à $c-1$,
Le chiffre des unités est égal à $10-c.$

Comment calculer $7\times 9$ ?

Vous souhaitez calculer $7\times 9$ ? Vous avez $c=7$ donc $c-1 = 6$. Le résultat de $7\times 9$ commence par un $6$. Puis prenez le complément à $10$ du chiffre $c$, à savoir $10-c = 10-7=3.$ Vous obtenez le chiffre des unités de $7\times 9$ et finalement $7\times 9= 63.$

Pas convaincu ? Encore un autre exemple

Comment calculer le délicat $9\times 9$ ? Vous posez $c=9$, donc $c-1 = 8$ (8 dizaines) et $10-c = 10-9=1$ (1 unité). Donc $9\times 9 =81.$

Prolongement

D’après vous, peut-on généraliser la méthode vue ci-dessus pour calculer le produit d’un nombre à deux chiffres par 9 ? Par exemple $52\times 9$ ? $87\times 9$ ?

116. Comment savoir si un vecteur se décompose ?

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 28/11/202018/09/2024| Niveau Prépa

Considérez les vecteurs suivants de $\R^4$ : $\alpha_1=(1,1,2,-1)$, $\alpha_2 = (3,0,4,-1)$ et $\alpha_3 = (-1,2,5,2).$

Posez $\alpha = (4,-5,9,-7)$. Est-ce que $\alpha$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ ? Autrement dit, est-ce que $\alpha\in \vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ ? Ou encore existe-t-il $(a_1,a_2,a_3)\in\R^3$ tel que $\alpha = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2+a_3\alpha_3$ ?

En remplaçant chaque vecteur par sa valeur numérique, vous êtes amené à à résoudre un système de 4 équations d’inconnues $a_1$ puis $a_2$ et $a_3$. Cela répondrait à la question, mais il sera privilégié ici une présentation différente.

Formez la matrice suivante :

A= \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & -1\\ 3 & 0 & 4 & -1\\ -1& 2 & 5 &2 \end{pmatrix}.

Comme les opérations élémentaires sur les lignes de $A$ ne changent pas l’espace vectoriel engendré par les lignes de $A$ – notez que cet espace vectoriel n’est autre que $\vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ -, il revient au même de se poser la question : est-ce que $\alpha\in\vect(r_1,r_2,r_3)$ où $r_1$, $r_2$ et $r_3$ sont les vecteurs lignes de la matrice $R$ échelonnée réduite de $A$ ? L’intérêt des vecteurs $r_1$, $r_2$ et $r_3$ c’est que ce seront des vecteurs qui permettront de décomposer instantanément $\alpha$ dessus.

Calculez la matrice $R$, la vaguelette $\sim$ signifiant que l’on peut passer d’une matrice à l’autre par des opérations élémentaires sur les lignes de $A$. Il vient :

A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1\\ 3 & 0 & 4 & -1\\ -1& 2 & 5 &2 \end{pmatrix}.

Puis $L_3\leftarrow L_3+L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1\\ 3 & 0 & 4 & -1\\ 0& 3 & 7 &1 \end{pmatrix}.

Puis $L_2\leftarrow L_2-3L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1\\ 0 & -3 & -2 & 2\\ 0& 3 & 7 &1 \end{pmatrix}.

Puis $L_3\leftarrow L_3+L_2$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1\\ 0 & -3 & -2 & 2\\ 0& 0 & 5 &3 \end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow 3L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix} 3 & 3 & 6 & -3\\ 0 & -3 & -2 & 2\\ 0& 0 & 5 &3 \end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow L_1+L_2$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 & -1\\ 0 & -3 & -2 & 2\\ 0& 0 & 5 &3 \end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow 5L_1$, $L_2\leftarrow 10L_2$, $L_3\leftarrow 4L_3$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix} 15 & 0 & 20 & -5\\ 0 & -30 & -20 & 20\\ 0& 0 & 20 &12 \end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow L_1-L_3$, $L_2\leftarrow L_2+L_3$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix} 15 & 0 & 0 & -17\\ 0 & -30 & 0 & 32\\ 0& 0 & 20 &12 \end{pmatrix}.

Puis $L_2\leftarrow L_2 / 2$, $L_3\leftarrow L_3/4$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix} 15 & 0 & 0 & -17\\ 0 & -15 & 0 & 16\\ 0& 0 & 5 &3 \end{pmatrix}.

Puis vous effectuez la normalisation des pivots :

A \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{17}{15}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{16}{15}\\ 0& 0 & 1 & \frac{9}{15} \end{pmatrix}.

Ainsi $r_1 = \left(1,0,0,-\dfrac{17}{15}\right)$, $r_2 = \left(0,1,0,-\dfrac{16}{15}\right)$ et $r_3 = \left(0,0,1,\dfrac{3}{5}\right)$.

Les coordonnées pivots de $\vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ sont $1$, $2$ et $3$ ce qui signifie que les positions des colonnes pivot de chacun des vecteurs pivots sont bien $1$, $2$ et $3$.

Comme $\alpha = (4,-5,9,-7)$, $\alpha\in \vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ si et seulement si $\alpha\in \vect(r_1,r_2,r_3).$ Comme $r_1$, $r_2$ et $r_3$ sont les vecteurs pivots, cette condition est équivalente à $\alpha = 4r_1-5r_2+9r_3.$

Regardez la 4ème coordonnée de $\alpha$ qui vaut $-7$.

Formez la 4ème coordonnée du vecteur $4r_1-5r_2+9r_3.$

Elle est égale à $\dfrac{-17\times 4}{15}+\dfrac{5\times 16}{15}+\dfrac{9\times 9}{15} = \dfrac{-68+80+81}{15}=\dfrac{93}{15}$ donc on n’a pas $\alpha = 4r_1-5r_2+9r_3$ donc $\alpha$ n’est pas une combinaison linéaire des vecteurs $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3.$

115. Structure d’un sous-espace vectoriel (2/2)

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 28/11/202028/12/2025| Niveau Agrégation

Tout sous-espace $E$ de $\F^n$ est isomorphe à $\F^r$ où $r\leq n$

Reprenez l’espace vectoriel $E$ de l'article 114 inclus dans $\F^n$ et notez $\{i_1, \dots, i_r\}$ l’ensemble des coordonnées pivots de $E$ dans l’ordre croissant $1\leq i_1 < \dots < i_r \leq n.$

Vous avez vu précédemment que les vecteurs pivots vérifient : $\forall j\in\llbracket 1, r\rrbracket, \exists! x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$

Considérez l’application liénaire $\varphi$ suivante qui va de $\F^r$ dans $E$, définie par $\varphi(a_1, \dots, a_r) = \sum_{j=1}^r a_j x_{i_j}.$

Montrez que c’est une injection

Il suffit de calculer son noyau.

Soit $(a_1, \dots, a_r)\in\F^r$ tel que $\sum_{j=1}^r a_j x_{i_j} = 0.$

Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $r$. Appliquez à cette relation la forme linéaire $L_{i_k}$.

$\sum_{j=1}^r a_j L_{i_k} (x_{i_j}) = 0$. Par construction des vecteurs pivots, $a_k = 0$.

Le noyau de $\varphi$ étant réduit au singleton $\{0\}$, l’application linéaire $\varphi$ est injective.

Montrez que c’est une surjection

Soit $x$ un vecteur de $E$. Considérez le vecteur $y=x-\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) x_{i_j}.$

Remarquez déjà que pour tout $k$ compris entre $1$ et $r$, $L_{i_k}(y) = L_{i_k}(x) -\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) L_{i_k}(x_{i_j}) = L_{i_k}(x)-L_{i_k}(x)=0. $

Le vecteur $y$ s’annule sur toutes les coordonnées pivots de $E$. Si $y$ était non nul, il existerait un nombre $i$ compris entre $1$ et $n$ avec $i\notin\{i_1,\dots,i_r\}$ tel que $L_i(y)\neq 0.$ Posez $z = \dfrac{1}{L_i(y)} y$. Alors $z\in E$ et $L_i(z) = 1.$ Notez $\ell$ le plus petit des entiers $i \in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i_1,\dots,i_r\}.$ Alors $L_{\ell}(z)=1$ et $\forall i < \ell L_i(z)=0$ donc $\ell$ est une coordonnée pivot donc $\ell\in \{i_1,\dots,i_r\},$ contradiction. Donc $y=0$ et $\varphi$ est surjective.

Conclusion

L’application $\varphi$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels, ce qui prouve le résultat annoncé. Au passage vous retrouvez que $E$ est de dimension finie et que sa dimension est inférieure ou égale à celle de $\F^n.$

Prolongement

Grâce aux vecteurs pivots, il est possible de déterminer une base de tout sous-espace vectoriel $E$ de $\F^n,$ ce qui permet de caractériser complètement $E$ avec des équations et d’obtenir sa dimension.

114. Structure d’un sous-espace vectoriel (1/2)

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 27/11/202028/12/2025| Niveau Agrégation

Soit $n$ un entier naturel non nul et $\F$ un corps.

Pour tout $i\in\llbracket 1,n \rrbracket$ notez $L_i$ la forme linéaire de $\F^n$ dans $\F$ définie par $\forall (x_1,\dots,x_n)\in\F^n, L_i(x_1, \dots, x_n) = x_i.$

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\F^n$ non réduit au singleton $\{0\}.$

Montrez qu’il existe une première coordonnée pivot

L’ensemble $A_1 = \{i\in\llbracket 1,n \rrbracket, \exists x\in E, L_i(x)\neq 0\}$ est non vide : cela traduit qu’il existe un vecteur non nul appartenant à $E$.

$A_1$ est une partie de $\N$ non vide. Notez $i_1$ son minimum.

Il existe un vecteur $x_1\in E$ tel que $L_{i_1}(x_1)\neq 0$ et $\forall x\in E, \forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket, i<i_1 \Longrightarrow L_i(x)=0.$ Par la suite, des implications de ce type seront notées plus simplement : $\forall x\in E, \forall i < i_1, L_i(x)=0.$

Multipliez le vecteur $x_1$ par $\dfrac{1}{L_{i_1}(x_1)}$, vous obtenez un vecteur $y_1 = \dfrac{1}{L_{i_1}(x_1)} x_1$ de $E$ tel que $L_{i_1}(y) = 1$ et $\forall i<i_1, L_i(y)=0.$

$i_1$ désigne le premier numéro de coordonnée pour lequel il existe un vecteur appartenant à $E$ de la forme $(0,\dots,0,1,\times, \dots, \times).$

$i_1$ sera appelé « coordonnée pivot » pour l’espace vectoriel $E$.

Cela conduit à la définition suivante.

Les coordonnées pivot dans le cas général

Pour tout $i\in\llbracket 1,n \rrbracket$ le nombre $i$ est appelé « coordonnée pivot » pour l’espace vectoriel $E$, si et seulement s’il existe un vecteur $x\in E$ tel que $L_i(x)=1$ et $\forall j < i, L_j(x)=0.$

Il existe au plus $n$ coordonnées pivots pour l’espace $E$. En notant $r$ le nombre d’éléments de l’ensemble formé par toutes les coordonnées pivots de $E$, vous pouvez noter $\{i_{1}, \dots, i_r\}$ avec $1\leq i_1<\dots<i_r\leq n$ l’ensemble des coordonnées pivots de $E$.

Par définition des coordonnées pivots, pour tout $j\in\llbracket 1, r\rrbracket$, il existe un vecteur $x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k < i_j, L_k(x_{i_j})=0.$

On dira qu’un vecteur $x\in E$ est un vecteur pivot de $E$ si et seulement s’il existe un nombre $i$ compris entre $1$ et $n$ tel que $L_i(x)=1$ et $\forall j < i, L_j(x)=0.$

Existence et unicité de vecteurs pivots

Rappelez-vous que $\{i_{1}, \dots, i_r\}$ désigne toutes les coordonnées pivots de $E$. Vous allez montrer un résultat plus fort, l’existence et l’unicité pour chaque $j$ compris entre $1$ et $r$, d’un vecteur pivot $x_{i_j}$ tel que : $L_{i_j}(x_{i_j})=1$, $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$

Montrez d’abord l’unicité

$\forall j\in\llbracket 1, r\rrbracket, \exists! x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$

Soit $j$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, r\rrbracket.$ Supposez qu’il existe deux vecteurs $x\in E$ et $y\in E$ tels que $L_{i_j}(x) = L_{i_j}(y)=1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x)=L_{i_k}(y)=0.$

Alors $\forall k \in \{i_{1}, \dots, i_r\}, L_k(x-y)=0.$ Si le vecteur $x-y$ n’était pas nul, il existerait $p\in\llbracket 1,n \rrbracket$ tel que $L_p(x-y)\neq 0.$ Soit $\ell$ le plus petit entier $p\in\llbracket 1,n \rrbracket$ tel que $L_p(x-y)\neq 0.$ Alors $\forall i<\ell, L_i(x-y)=0.$ Multipliez le vecteur $x-y$ par $\dfrac{1}{L_{\ell}(x-y)}$, pour constater que $z = \dfrac{1}{L_{\ell}(x-y)} (x-y)$ vérifie $L_{\ell}(z)=1$ et $\forall i < \ell, L_{i}(z)=0.$ Il en résulte que $\ell$ est une coordonnée pivot de $E$. Donc $\ell \in \{i_{1}, \dots, i_r\}$ et donc $L_{\ell} (x-y)=0$, ce qui contredit la définition de $\ell$. Ainsi $x=y$ et l’unicité est démontrée.

Montrez ensuite l’existence

C’est la partie la plus délicate. Elle est basée sur le processus de Gauss-Jordan.

Soit $j$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, r\rrbracket.$ Le nombre $i_j$ est une coordonnée pivot de $E$ donc il existe un vecteur pivot $x\in E$ tel que $L_{i_j}(x) = 1$ et $\forall k < i_j, L_k(x)=0.$

Pour tout entier $s$ compris entre $j+1$ et $r$, vous allez montrer qu’il existe un vecteur $y\in E$ tel que $L_{i_j}(y) = 1$, $\forall k\in \{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}, L_k(y)=0$ et $\forall k < i_j, L_k(y)=0.$

Vous procédez par récurrence limitée. Pour tout entier $s$ compris entre $j+1$ et $r$, notez $P(s)$ la propriété : « il existe un vecteur $y\in E$ tel que $L_{i_j}(y) = 1$, $\forall k\in \{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}, L_k(y)=0$ et $\forall k < i_j, L_k(y)=0.$ »

Initialisation. $i_{j+1}$ est une coordonnée pivot donc il existe un vecteur $z\in E$ tel que $L_{i_{j+1}}(z)=1$ et $\forall k < i_{j+1}, L_k(z)=0.$ Considérez le vecteur $y=x -L_{i_{j+1}}(x) z.$ Par combinaison linéaire, $y\in E.$ La condition $\forall k < i_j, L_k(y)=0$ est satisfaite puisqu’elle l’est pour $z$ et pour $x$ vu que $i_j < i_{j+1}.$ Vous avez $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(x)-L_{i_{j+1}}(x) L_{i_j}(z)$, or $L_{i_j}(z)=0$ donc $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(x) = 1.$ D’autre part, $L_{i_{j+1}}(y) =L_{i_{j+1}}(x)-L_{i_{j+1}}(x) L_{i_{j+1}}(z) $ or $L_{i_{j+1}}(z)=1$ donc $L_{i_{j+1}}(y) =L_{i_{j+1}}(x)-L_{i_{j+1}}(x) = 0.$ La propriété $P(j+1)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $s$ un entier compris entre $j+1$ et $r-1$. Supposez $P(s)$.

Il existe donc un vecteur $z\in E$ tel que $L_{i_j}(z) = 1$, $\forall k\in \{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}, L_k(z)=0$ et $\forall k < i_j, L_k(z)=0.$

$i_{s+1}$ étant une coordonnée pivot, il existe un vecteur $a\in E$ tel que $L_{i_{s+1}}(a)=1$ et $\forall k < i_{s+1}, L_k(a)=0.$

Considérez le vecteur $y=z -L_{i_{s+1}}(z) a$, alors $y\in E$ et la condition $\forall k < i_j, L_k(y)=0$ est satisfaite. Vous avez $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(z)-L_{i_{s+1}}(z) L_{i_j}(a)$, or $L_{i_j}(a) = 0$ donc $L_{i_j}(y)=L_{i_j}(z) = 1.$ Soit $k$ appartenant à $\{i_{j+1}, \dots, i_{s}\}$. $L_k(y) = L_k(z)-L_{i_{s+1}}(z) L_k(a)$, or $L_k(z) = 0$ et $L_k(a) = 0$ donc $L_k(y)=0.$ Pour le dernier calcul, $L_{i_{s+1}}(y)= L_{i_{s+1}}(z)-L_{i_{s+1}}(z) L_{i_{s+1}}(a)$, or $L_{i_{s+1}}(a) = 1$ donc $L_{i_{s+1}}(y)= L_{i_{s+1}}(z)-L_{i_{s+1}}(z) = 0.$ Le vecteur $y$ convient et la propriété $P(s+1)$ est vérifiée.

Par récurrence limitée, la propriété $P(r)$ est satisfaite.

Prolongement

Veillez à lire l'article 115 qui vous expliquera pourquoi les vecteurs pivots constituent, en fait, une base de $E.$