Remarquez déjà que pour tout nombre complexe $z$, on ne peut avoir l’annulation simultanée du polynôme $X^7+1$ et de son polynôme dérivé. En effet $z^7+1=0$ et $7z^6 = 0$ fournit $z=0$ et la contradiction $1=0.$
Le polynôme $X^7+1$ n’a que des racines simples dans $\C$. Si on pose $\alpha = \e^{\frac{i\pi}{7}}$, vous remarquez que $\alpha$ est annulé par $X^7+1$ étant donné que $\e^{i\pi} = -1$, appelé relation d’Euler.
Ensuite, il s’agit de remarquer que $\alpha^3$ est aussi une racine de $X^7+1.$ En effet, $(\alpha^3)^7+1 = (\alpha^7)^3+1 = (-1)^3+1 = 0.$
Il en est de même pour $\alpha^5$ avec un calcul similaire : $(\alpha^5)^7+1 = (\alpha^7)^5+1 = (-1)^5+1=0.$
Comme $X^7+1$ est à coefficients réels, les trois conjugués $\overline{\alpha}$, $\overline{\alpha}^3$ et $\overline{\alpha}^5$ sont aussi trois racines de $X^7+1$.
Etant donné que $-1$ est aussi une racine de $X^7+1$, vous obtenez la factorisation finale de $X^7+1$ dans $\C[X]$ :
Le reste étant nul, vous en déduisez que : $64u^6-80u^4+24u^2-1 = 0$ et que $-32u^5+32u^3-6u+1 = 0.$
Multipliez la dernière relation par $2u$ : $-64u^6+64u^4-12u^2+2u = 0.$
Finalement, par addition des deux polynômes en $u$ de degré 6 vous aboutissez à : $-16u^4+12u^2+2u-1=0.$
Or, $-32u^5+32u^3-6u+1 = 0.$ Multipliez par $-2u$ la relation $-16u^4+12u^2+2u-1=0$ pour obtenir $32u^5-24u^3-4u^2+2u=0.$
Par somme des deux polynômes en $u$ de degré 5, vous aboutissez à $8u^3-4u^2-4u+1=0.$
Concluez par la factorisation de $8X^3-4X^2-4X+1$
D’après ce qui précède, les trois nombres $\alpha_1 = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)$, $\alpha_3 = \cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)$ et $\alpha_5 = \cos \left(\frac{5\pi}{7}\right)$ sont trois racines (deux à deux distinctes) du polynôme $8X^3-4X^2-4X+1$.
La fonction $f$ est constante, il existe un réel $A\in\R$ tel que $\forall x\in\R, A = y(x)\e^{-\cos x}$ et $y(x) = A\e^{\cos x}.$
Procédez à la synthèse
Soit $A$ un réel fixé. Pour tout $x\in\R$, posez $y(x) = A\e^{\cos x}$.
$y'(x)+y(x)\sin x = -A \sin x \e^{\cos x}+ A\sin x \e^{\cos x}=0.$
Concluez
L’équation homogène est complètement résolue.
Une fonction $y$ définie et dérivable sur $\R$ vérifie $y’+y\sin x = 0$, si et seulement si, il existe un réel $A$ tel que, pour tout $x\in\R$, $y(x) = A\e^{\cos x}.$
Trouvez une solution particulière de l’équation $y’+y\sin x = \sin(2x)$
Utilisez la méthode de variation des constantes
On entend souvent : utilisez la méthode de variation de la constante. « Faire varier la constante » ? Paradoxale en apparence, cette idée signifie que vous allez chercher une solution de l’équation $y’+y\sin x = \sin (2x)$ sous la forme $y(x) = A(x)\e^{\cos x}$, où $A$ sera une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont vous donnerez une expression plus tard.
$y'(x) = A'(x) \e^{\cos x} – A(x) \sin x \e^{\cos x}$ du coup $y'(x) = A'(x)\e^{\cos x} – \sin x y(x)$ et par suite $y'(x)+y(x)\sin x = A'(x)\e^{\cos x}.$
Vous aboutissez à $\sin(2x)=A'(x)\e^{\cos x}$ puis à $A'(x) = \sin(2x)\e^{-\cos x}.$
Pour trouver une fonction $A$ qui satisfait cette condition, vous calculez une intégrale sans borne en effectuant un changement de variable $z=-\cos x$ qui donne $\dz = \sin x \dx$ :
\begin{aligned} \int \sin(2x)\e^{-\cos x}\dx &= 2 \int \sin x \cos x \e^{-\cos x}\dx\\ &= -2\int z \e^z \dz. \end{aligned}
Cette dernière intégrale se calcule par une intégration par parties et fait apparaître une constante $C_1$.
Vous avez besoin d’une solution particulière, vous choisissez $C_2 = 0$ et posez $A(x) = (2+2\cos x)\e^{-\cos x}$ et par suite $y(x) = A(x)\e^{\cos x} = 2+2\cos x$ semble être un très bon candidat de solution particulière.
Vérifiez que votre candidat convient
Pour tout réel $x$, posez $y_T(x) = 2+2\cos x.$
$y_T'(x)+y_T(x)\sin x = -2\sin x + 2\sin x + 2\sin x \cos x = \sin(2x).$
Conclusion : la fonction $y_T$ définie sur $\R$ par $y_T(x) = 2+2\cos x$ est une solution particulière de l’équation différentielle $y’+y\sin x = \sin(2x).$
Concluez en trouvant toutes les solutions de l’équation différentielle $y’+y\sin x = \sin(2x)$
Une fonction $y$ est solution de cette équation, si et seulement si $y-y_T$ est solution de l’équation homogène $y’+y\sin x =0$ qui a déjà été traitée.
Par conséquent, une fonction $y$ définie et dérivable sur $\R$ est solution de l’équation différentielle $y’+y\sin x = \sin(2x)$, si et seulement si, il existe un nombre réel $A$ tel que, pour tout $x\in\R$, $y(x) = 2+2\cos x + A\e^{\cos x}.$
Tout d’abord, décrivons la partie géométrique, on se donne une ellipse de demi-grand axe $a>0$ et de demi-petit axe $b>0$ qui n’est pas un cercle : $0<b<a.$
On considère des droites $D_1$, $D_2$… toutes parallèles entre elles, coupant ladite ellipse en deux points chacune, ce qui s’appelle un faisceau.
On considère alors les milieux des points d’intersection : la droite $D_1$ coupe l’ellipse en deux points dont on note $I_1$ le milieu, et ainsi de suite, conformément au schéma ci-dessus.
Ce qui est tout à fait remarquable, c’est que l’ensemble de ces milieux est inclus dans droite qui passe par le centre de l’ellipse.
Note : le lecteur qui connaît la notion d’affinité et ses propriétés pourra démontrer très rapidement ce résultat. Dans cet article, le résultat sera démontré avec une approche qui ne déforme pas l’ellipse.
Première approche pour démontrer ce résultat
Le repère dans lequel l’ellipse a l’équation la plus simple est un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, $O$ étant le centre de l’ellipse, les vecteurs $\vv{i}$ et $\vv{j}$ dirigeant le grand axe et le petit axe de ladite ellipse.
Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites du faisceau.
Notez $ux+vy+w=0$ avec $(u,v)\neq(0,0)$ une équation cartésienne de $D_1$, puis $u’x+v’y+w’=0$ avec $(u’,v’)\neq (0,0)$ une équation cartésienne de $D_2$. Comme elles sont parallèles, vous avez l’égalité $uv’ – u’v=0.$
Obtenir les deux points d’intersection de $D_1$ avec l’ellipse, c’est trouver les solutions du système :
Notez $\left(x_1^{(2)},y_1^{(2)}\right)$ et $\left(x_2^{(2)},y_2^{(2)}\right)$ les coordonnées des deux points obtenus.
Il va vous falloir former les deux milieux $\left(\dfrac{x_1^{(1)}+x_2^{(1)}}{2};\dfrac{y_1^{(1)}+y_2^{(1)}}{2}\right)$ et $\left(\dfrac{x_1^{(2)}+x_2^{(2)}}{2};\dfrac{y_1^{(2)}+y_2^{(2)}}{2}\right)$ puis démontrer l’alignement de ces deux points avec l’origine du repère.
Est-ce possible ? Oui, mais ce n’est pas l’approche que l’on va privilégier.
Changez les axes du repère par une rotation
Au lieu de travailler dans un repère orthonormé ayant des axes parallèles à ceux de l’ellipse, il est tout à fait possible de changer de repère par rotation et de considérer que la droite $D_1$ est horizontale, dans le nouveau repère, avec une équation de la forme $Y=k$. Notez $O$ le centre de l’ellipse et $\vv{i}$ et $\vv{j}$ deux vecteurs unitaires orthogonaux dirigés selon les axes de l’ellipse.
Notez $\vv{u}$ et $\vv{v}$ les deux vecteurs obtenus par rotation, d’angle $\alpha$ choisi pour que $\vv{u}$ soit un vecteur qui dirige $D_1$, $D_2$, ce qui change le point de vue conformément au dessin ci-dessous.
Matriciellement, le vecteur $\vv{OM}$ est égal au produit $\begin{pmatrix}x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \vv{i}\\ \vv{j}\end{pmatrix}.$ Or, $\begin{pmatrix} \vv{u}\\ \vv{v}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vv{i}\\ \vv{j}\end{pmatrix}.$
Soit $M$ un point du plan. Notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère orthonormé $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans l’autre repère $(O,\vv{u},\vv{v}).$
Il vient donc $\left\{\begin{align*}x &= X\cos\alpha – Y\sin\alpha \\ y &= X\sin\alpha+Y\cos\alpha \end{align*}\right.$
Considérez la matrice $A = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.$ Elle est orthogonale, puisque $A (^{t}A) = (^{t}A) A = I.$
La relation $\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} $ est équivalente à $\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} = (^{t}A) \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}.$
Obtenez la nouvelle équation de l’ellipse
Quel que soit $(x,y,X,Y)\in\R^4$ vérifiant $\left\{\begin{align*}x &= X\cos\alpha – Y\sin\alpha \\ y &= X\sin\alpha+Y\cos\alpha \end{align*}\right.$
Soit $D$ la droite horizontale d’équation $Y=k$. On suppose que $D$ coupe l’ellipseen deux points distincts. Vous noterez $(X_1,k)$ et $(X_2,k)$ les coordonnées de ces deux points.
Alors $X_1$ et $X_2$ sont les deux solutions de l’équation de degré 2 :
Vous noterez que le coefficient dominant est non nul. En effet, si, par l’absurde, vous aviez $\dfrac{\cos^2\alpha}{a^2}+\dfrac{\sin^2\alpha}{b^2}=0$, alors les deux carrés $\dfrac{\cos^2\alpha}{a^2}$ et $\dfrac{\sin^2\alpha}{b^2}$ seraient nuls et donc $\cos\alpha = \sin\alpha = 0$, ce qui contredit l’équation fondamentale $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1.$
En utilisant la formule qui donne la somme des deux racines en fonction des coefficients d’une équation polynomiale de degré 2, vous obtenez :
Pour plus de lisibilité, posez $m =\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}\right) \dfrac{\sin(2\alpha)}{\dfrac{2\cos^2 \alpha}{a^2}+\dfrac{2\sin^2\alpha}{b^2}}$. Le milieu des deux points d’intersection de $D$ avec l’ellipse a pour coordonnées $(km; k)$, il est donc situé sur la droite d’équation $mY = X$ qui est passe par l’origine $O$ du repère qui est aussi le centre de l’ellipse, ce qui démontre le résultat annoncé.
Prolongement
Partant d’une ellipse déjà dessinée, avec une règle et un compas :
pourriez-vous construire le centre de cette ellipse ?
pourriez-vous retrouver son grand axe et son petit axe ?
Multipliez par 10 la relation $\alpha^2 = 5+2\sqrt{6}$ pour obtenir $10\alpha^2 = 50+20\sqrt{6}$.
Comme $\alpha^4 = 49+20\sqrt{6}$, par soustraction membre à membre, il vient $10\alpha^2-\alpha^4=1$ et par suite vous en déduisez que $\alpha$ est annulé par le polynôme $\boxed{P(X) = X^4-10X^2+1}$ à coefficients dans $\Z[X].$
Le nombre $\alpha$ est dit algébrique.
Prolongement : est-il possible d’annuler $\alpha$ avec un polynôme non nul $Q\in\Z[X]$ de degré inférieur ou égal à 3 ?
Participez et faites-moi part de vos contributions par courrier électronique ou sur les réseaux sociaux.
Soit $z$ un nombre complexe fixé et $f$ une fonction à valeurs complexes définie sur une partie ouverte $U\subset\C$ contenant $z.$ Le nombre $z$ est contenu dans une petite boule ouverte, elle-même contenue dans l’ouvert $U$. Cette notion est essentielle car elle précise que l’on peut calculer $f(z+h)$ quand $h$ est de module suffisamment petit.
Plus précisément, il existe un réel $r>0$ tel que, pour tout $h\in\C$, $|h|< r$ implique $z+h\in U.$ Notez $B$ l’ensemble des nombres complexes de module strictement inférieur à $r$, $B$ s’appelant la boule ouverte de centre $0$ et de rayon $r$. Notez que $B$ est non vide et que pour tout $h\in B$, le nombre complexe $z+h$ admet une image par la fonction $f$, ce que vous écrivez $z+h\in U.$
Qu’est-ce qu’une fonction dérivable au sens complexe ?
On dit que la fonction $f$ est dérivable au sens complexe en $z$, si et seulement si, la limite $\lim_{\substack{h\to 0 \\h\in \C}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}$ existe dans $\C.$
Plus précisément, cela signifie qu’il existe un nombre complexe $\ell \in\C$ tel que :
Le nombre $\ell$ est unique et ne dépend que du choix de $z$ et de la fonction $f.$ Il se note $f'(z).$
Quel est le lien avec les dérivées partielles ?
Le lien entre la dérivabilité au sens complexe et le lien avec les dérivées partielles va être explicité dans ce paragraphe.
La fonction $f$, définie sur une partie $U$ ouverte de $\C$, n’est pas à proprement parler une fonction de deux variables. Il semble quelque peu abusif d’écrire $f(z) = f(x,y)$ où $x$ désigne la partie réelle de $z$ et $y$ sa partie imaginaire… tout simplement parce que $f$ est définie sur une partie de $\C$ et pas sur une partie de $\R^2.$ Il convient d’être précis.
Soit $z = x+iy$ où $(x,y)\in\R^2$ un nombre complexe appartenant à $U.$
Il existe un réel $r$ un réel strictement positif tel que la boule $B= \{c \in\C, \lvert c – z \rvert < r\}$ soit incluse dans $U.$
Il convient alors de noter que le domaine carré $D$ défini par :
\begin{aligned} D=\left\{x+iy+h+ik, (h,k)\in\left[\frac{-r\sqrt{2}}{2}, \frac{r\sqrt{2}}{2} \right]^2\right\}\end{aligned} est inclus dans la boule $B$.
Ainsi il est maintenant légitime de considérer l’application $\widetilde{f}$ qui va de $D\subset \R^2$ dans $\C$, définie par $\forall (h,k)\in D, \widetilde{f}(h,k) = f(h+ik).$
Vous allez démontrer dans la suite le théorème suivant : si $f$ est dérivable au sens complexe en $z$, alors les dérivées partielles $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y)$ et $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(x,y)$ existent et vérifient la condition dite de Cauchy-Riemann :
Pour tout nombre complexe $z$, posez $f(z) = z^2.$
Fixez $z\in\C$. Pour tout $h\in\C$, quand vous calculez $f(z+h) = (z+h)^2 = z^2+2zh+h^2$, vous déduisez que pour tout nombre complexe $h\neq 0$, $\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = 2z+h$ et par conséquent $f$ est dérivable au sens complexe en $z$ et $f'(z)=2z.$
Ecrivez $z = x+iy$ où $(x,y)\in\R^2$ avec $f(z)=(x+iy)^2 = (x^2-y^2)+i(2xy)$ si bien que $\widetilde{f}(x,y) = x^2-y^2 +2ixy.$
Si $f$ est une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert $U\in\C$ contenant $z$ et si les parties réelle et imaginaire de $f$ vérifient les équations de Cauchy-Riemann en $z$, peut-on conclure que $f$ est dérivable en $z$ au sens complexe ?
Vous souhaitez en savoir davantage ? Allez jeter un coup d’oeil dans l'article 185.
Vous souhaitez obtenir les équations de Cauchy-Riemann quand on définit la partie réelle et la partie imaginaire associées à la fonction qui est dérivable au sens complexe ? Allez jeter un coup d’oeil dans l'article 190.
Soit $\alpha = \frac{2\pi}{7}.$ Le but de l’article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha$, $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$
Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$
Les 7 nombres complexes $1$, $\e^{i\alpha}$, $\e^{-i\alpha}$, $\e^{2i\alpha}$, $\e^{-2i\alpha}$, $\e^{3i\alpha}$ et $\e^{-3i\alpha}$ sont des solutions deux à deux distinctes de l’équation $z^7=1$ d’inconnue $z\in\C.$
Par conséquent l’équation de degré $5$ satisfaite par $r$ n’apporte aucun renseignement de plus que l’équation de degré $3$ dont vous disposez.
Concluez
Les trois réels $u$, $v$ et $w$ sont deux à deux distincts et sont solution de la même équation $8x^3+4x^2-4x-1=0$ d’inconnue $x\in\R.$ Vous aboutissez à la factorisation du polynôme $8X^3+4X^2-4X-1$ conformément à ce qui suit :
Un angle de $36°$ correspond, en radians, à un angle de $\dfrac{\pi}{5}$. De même un angle de $72°$ admet une mesure en radians égale à $\dfrac{2\pi}{5}$.
Les nombres complexes permettent de trouver les valeurs des cosinus de $\dfrac{2\pi}{5}$ et du cosinus de $\dfrac{\pi}{5}.$
Voilà les étapes à suivre : vous factorisez un polynôme dans les complexes, puis dans les réels et déduisez des équations permettant de trouver les valeurs.
Factorisez le polynôme $X^5-1$ dans $\C[X]$
D’abord résolvez l’équation $z^5=1$ où $z\in\C.$
Analyse. Soit $z\in\C$ une solution de l’équation $z^5=1$. Alors $z\neq 0$, donc il existe un réel $r>0$ et un réel $\theta$ tels que $z = r\e^{i\theta}.$
De là vous déduisez que $\vert z^5\vert = \vert z\vert^5 = 1 = r^5$ et par suite $r=1.$
Du coup $1 = z^5 = \e^{5i\theta}$ et donc il existe $k\in\Z$, $5\theta = 2k\pi$ et $\theta = \dfrac{2k\pi}{5}.$
Synthèse. Pour tout entier $k$ compris entre $-2$ et $2$, posez $z_k = \e^{2ik\pi / 5}.$
Pour plus de lisibilité posez $\alpha = \dfrac{2\pi}{5}.$
Les nombres complexes $z_{-2}, z_{-1}, z_0, z_1$ et $z_2$ sont deux à deux distincts et sont au nombre $5$, par conséquent, le polynôme unitaire $X^5-1$ est scindé sur $\C[X]$ et :
La résolution de l’équation $4x^2+2x-1=0$ d’inconnue $x\in \R$ aboutit à deux solutions distinctes, $u_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{20}}{8} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ et $u_2 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$, et donc $u\in\{u_1,u_2\}.$
Or, le réel $u=\cos \dfrac{2\pi}{5}$ est strictement positif vu que $0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$, par conséquent $\boxed{u=\cos \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}}.$
De $4u = -1+\sqrt{5}$ et de $4v = 4u+2 = -1+\sqrt{5} + 2 = 1+\sqrt{5}$, vous déduisez que $\boxed{v = \cos \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}.$
Prolongement
Vous souhaitez calculer $\cos (72^{\circ})= \cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos (36^{\circ}) = \cos\frac{\pi}{5}$ en utilisant une solution géométrique ? Allez jeter un coup d’œil dans le contenu rédigé dans l'article 331.
Vous allez voir qu’il est tout à fait possible de trouver la décomposition en éléments simples en effectuant, dès le début, un changement de variable sur les éléments de seconde espèce.
Soit à trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de $ F(X) =\dfrac {X^4+1}{ X^2(X^2+X+1)^2}.$
Vous posez $Y = X^2+X+1$ et vous allez écrire $F(X)$ comme un quotient de deux polynômes de $Y$, dont les coefficients sont des polynômes réels de degré inférieur à $1$ de la variable $X$. Formellement $F(X)$ s’écrit comme un quotient de deux polynômes appartenant à $(\R_1[X])[Y].$
Calculez le numérateur de la fraction rationnelle $F(X)$
Il a été possible d’éliminer le terme $(X+1)$ du quotient en choisissant $-1$ comme premier terme au quotient, mais éliminer le terme $-2XY$ semble plus délicat, étant donné que le quotient doit rester comme un polynôme appartenant à $(\R_1[X])[Y].$
Comment continuer ?
Pour éliminer le terme en $-2XY$, vous devez ajouter au quotient un terme de la forme $(aX+b)Y.$
Il a été vu dans l’article précédent que si $E$ est une partie de $\C$, alors l’intérieur de $E$ est égal à $\overset{\circ}{E} = E \setminus \partial E$, c’est-à-dire à $E$ privé de sa frontière et l’adhérence de $E$ est égale à $\overline{E} = E \cup \partial E$, c’est-à-dire à l’union de $E$ et de sa frontière.
Le complémentaire d’une adhérence est l’intérieur du complémentaire
En résumé, $\boxed{\C \setminus \overset{\circ}{E} =\overline{\C \setminus E}}. $
Application aux ensembles ouverts et fermés
Définitions avec l’adhérence et l’intérieur
Vous adoptez les définitions suivantes :
une partie $E$ de $\C$ est fermée, si et seulement si, $E=\overline{E}$ ;
une partie de $E$ de $\C$ est ouverte, si et seulement si, $E=\overset{\circ}{E}.$
Application 1 : le complémentaire d’un ouvert est un fermé
Soit $E$ une partie ouverte de $\C$. Alors $\overline{\C \setminus E} = \C \setminus \overset{\circ}{E} = \C \setminus E $ puisque $E = \overset{\circ}{E}.$ Par conséquent $\C\setminus E$ est une partie fermée de $\C.$
Application 2 : le complémentaire d’un fermé est un ouvert
Soit $E$ une partie fermée de $\C$. Alors $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} = \C \setminus \overline{E}.$ Mais $\overline{E}=E$, donc $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} =\C \setminus E$ et $\C \setminus E$ est une partie ouverte de $\C.$
Prolongements
La notion de frontière est détaillée dans le contenu rédigé dans l'article 103.
Avec les définitions des parties ouvertes et fermées de $\C$ adoptées, vous pouvez démontrer ce qui suit.
Une partie $E$ de $\C$ est ouverte, si et seulement si, pour tout $x\in E\comma$ il existe $r>0$ tel que $B_x(r)$ soit inclus dans $E.$
Une partie $E$ de $\C$ est fermée, si et seulement si, quel que soit $x\in \C\comma$ si pour tout $r>0$ il existe un élément $y\in E$ appartenant à $B_x(r)\comma$ alors $x$ appartient à $E.$ Autrement dit, une partie $E\subset \C$ est une partie fermée de $\C$ si et seulement si, pour tout point de $\C$ pour lequel toute boule ouverte centrée en ce point contient au moins un élément de la partie $E\comma$ ce point appartient lui-même à la partie $E.$
Pour aller plus loin, allez vers le théorème de Kuratowski, qui est illustré dans le contenu rédigé dans l'article 391.
Pour fixer les idées, soit $E$ une partie de $\C.$
Pour tout $x\in E$ et pour tout réel $r>0$, on note $B_x(r)$ la boule (au sens topologique) ouverte de centre $x$ et de rayon $r$, définie par l’ensemble $\{z\in\C, |z-x|<r\}.$
On appelle frontière de $E$, notée $\partial E$, la partie de $\C$ contenant les complexes $z\in\C$ dont toutes les boules ouvertes de centre $z$ rencontrent $E$ et $\C\setminus E.$ Avec une notation ensembliste, on écrit : $\partial E = \left\{z\in\C, \forall r>0, \exists x\in E, \exists y\in \C\setminus E, (x,y)\in B_z(r)^2\right\}.$
Remarquez de cette définition que $\boxed{\partial (\C \setminus E) = \partial (E)}.$
Qu’est-ce que l’intérieur de $E$ ? Quel rapport avec la frontière de $E$ ?
On appelle intérieur de $E$, noté $\overset{\circ}{E}$ l’ensemble des points de $z\in E$ qui contiennent au moins un boule totalement incluse dans $E.$ Avec la notation ensembliste, on écrit : $\overset{\circ}{E} = \left\{z\in E, \exists r>0, B_z(r) \subset E\right\}.$
Vous allez démontrer que $\overset{\circ}{E}$, l’intérieur de $E$, est égal à l’ensemble $E$ privé de sa frontière $\partial E$. Autrement dit, $\boxed{\overset{\circ}{E} = E\setminus \partial E}.$
Pour y parvenir, vous procédez par double inclusion.
Première inclusion : $\overset{\circ}{E} \subset E\setminus \partial E$
Soit $x\in \overset{\circ}{E}.$ Par définition de l’intérieur de $E$, l’élément $x$ appartient à $E$ : $x\in E.$ Raisonnez par l’absurde en supposant que $x\in \partial E.$ Par définition de la frontière, toutes les boules ouvertes centrées en $x$ rencontrent un élément de $\C \setminus E.$ Comme $x$ est intérieur à $E$, il existe un réel $r>0$ tel que $B_x(r) \subset E.$ Or il existe $y\in \C \setminus E$ et que $y\in B_x(r)$. Vous en déduisez que $y\in E$, contradiction. Par conséquent $x\notin \partial E$. Du coup, $x\in E\setminus \partial E.$
Seconde inclusion : $E\setminus \partial E \subset \overset{\circ}{E} $
Soit $x\in E\setminus \partial E.$ En particulier $x\notin \partial E.$ En niant la proposition qui définit la frontière de $E$, vous déduisez qu’il existe un réel $r>0$, de sorte pour tout $a\in E$ et pour tout $b\in \C\setminus E$, $(a,b)\notin B_x(r)^2.$ Soit $y\in B_x(r)$. Supposez en raisonnant par l’absurde que $y\notin E$. Choisissez $a=x$ et $b=y$, vous déduisez que $(x,y)\notin B_x(r)^2.$ Or $x\in B_x(r)$ et $y\in B_x(r)$ donc $(x,y)\in B_x(r)^2$, contradiction. Donc $y\in E$ ce qui prouve l’inclusion $B_x(r)\subset E$ et finalement $x\in \overset{\circ}{E}.$
Qu’est-ce que l’adhérence de $E$ ? Quel rapport avec la frontière de $E$ ?
On appelle adhérence de $E$ l’ensemble noté $\overline{E}$ défini par le complémentaire de l’intérieur du complémentaire de $E$. Cette définition formelle s’écrit ainsi :$\overline{E} = \{z\in \C, z\notin \overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} \}.$ Un élément $z\in\C$ appartient à l’adhérence de $E$, si et seulement si, il n’appartient pas à l’intérieur de $\C\setminus E.$
D’après ce qui a été fait sur la notion d’intérieur, $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} = (\C\setminus E) \setminus \partial (\C\setminus E) = (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ De là vous allez démontrer que $\boxed{\overline{E} = E\cup \partial E}.$
Première inclusion : $\overline{E} \subset E\cup \partial E$
Soit $x\in \overline{E}.$ Alors $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ Si $x\in E$ vous avez déjà $x\in E \cup \partial E$. Si $x\notin E$, alors $x\in \C\setminus E$. Par l’absurde, supposez que $x\notin \partial E.$ Alors $x\in (\C\setminus E)\setminus \partial E$, contradiction. Donc $x\in \partial E$ et donc $x\in E\cup \partial E.$
Seconde inclusion : $E\cup \partial E \subset \overline{E}$
Soit $x\in E\cup \partial E.$ Si $x\notin E$, alors $x\in \partial E$. Or $x\in \C\setminus E$, donc $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E$, donc $x\in \overline{E}.$ Maintenant, si $x\in E$, alors $x\notin \C\setminus E$. Comme $(\C\setminus E) \setminus \partial E \subset \C\setminus E $ vous en déduisez que $x \notin (\C\setminus E) \setminus \partial E$, donc $x\in\overline{E}.$
Prolongement
Les notions d’adhérence, d’intérieur et de complémentaire s’étendent vers les notions de parties ouvertes et fermées, que vous pouvez lire dans le contenu rédigé dans l'article 104.
Tous ces éléments s’étendent vers le théorème de Kuratowski, qui est illustré dans le contenu rédigé dans l'article 391.
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