Regardez l’image.
2 points rouges partagent un cercle en 2 zones.
3 points rouges partagent un cercle en 4 zones.
Si on prend 6 points rouges, combien y aura-t-il de zones (de façon à faire le maximum de zones au sein du cercle) ?
Quel est le développement de $(a-2b)^2$ ?
Voyez les propositions de réponse, trouvez la seule qui est exacte.
Quand il s’agit de trouver la bonne réponse, la stratégie la plus efficace consiste à éliminer les mauvaises réponses, plutôt que de calculer, trouver un résultat qui n’est pas proposé dans les réponses, paniquer, recommencer un développement, pour finalement se perdre en cherchant la bonne réponse.
On peut répondre à la question sans connaître la moindre identité remarquable, et sans utiliser le calcul algébrique, en faisant appel au bon sens.
Toutes les réponses paraissent compliquées. Comment les simplifier ? C’est cela le « bon sens » !
Passez en revue les 5 propositions de réponses.
\begin{aligned} \text{A. }&\ a^2-4ab+2b^2 \\ \text{B. }&\ a^2-4b^2 \\ \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2 \\ \text{D. }&\ a^2-4ab-4b^2 \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{aligned}
Choisissez $a=0.$
Vous obtienez de grandes simplifications :
\begin{aligned} \text{A. }&\ 2b^2 \\ \text{B. }&\ -4b^2 \\ \text{C. }&\ 4b^2 \\ \text{D. }&\ -4b^2 \\ \text{E. }&\ 4b^2.\end{aligned}
Eliminez B et D car ce sont des réponses conduisant à des nombres négatifs, or l’expression de départ, qui est un carré, ne peut pas être négative. Vous tombez sur des choix restreints :
\begin{aligned} \text{A. }&\ 2b^2 \\ \text{C. }&\ 4b^2 \\ \text{E. }&\ 4b^2.\end{aligned}
Prenez $b=1,$ cela conduit à :
\begin{aligned} \text{A. }&\ 2 \\ \text{C. }&\ 4 \\ \text{E. }&\ 4.\end{aligned}
Recalculez avec l’expression de départ en remplaçant a par 0 et b par 1.
$(a-2b)^2=(0-2)^2 = 4$
Vous éliminez la réponse A qui ne correspond pas.
De part l’étude précédente, pour développer $(a-2b)^2$ il reste deux possibilités :
\begin{aligned} \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2 \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{aligned}
Tout correspond sauf les termes du milieu.
Choisissez $a=1$ et $b=1.$
\begin{aligned} \text{C. }&\ 1-4+4 = 1 \\ \text{E. }&\ 1-2+4 = 3.\end{aligned}
Les réponses étant différentes, en calculant $(a-2b)^2$ avec $a=1$ et $b=1$ vous aurez la réponse.
$(a-2b)^2=(1-2)^2=(-1)^2=1.$
La réponse E est éliminée.
Par élimination, vous répondez : $(a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2.$
L’accent est mis sur les capacités de l’élève à utiliser le calcul algébrique.
On attend de l’élève qu’il utilise la double distributivité pour développer le carré d’une différence, éventuellement à l’aide d’une identité remarquable.
Les erreurs peuvent venir de :
$a^2-4ab+2b^2$
L’élève développe correctement mais confond $(2b)^2$ avec $2b^2.$
$a^2-4b^2$
L’élève applique une fausse distributivité de la puissance sur les deux termes.
$a^2-4ab-4b^2$
L’élève développe correctement mais fait une erreur de signe sur le dernier terme.
$a^2-2ab+4b^2$
L’élève ne tient pas compte du double produit dans l’utilisation de l’identité remarquable.
On sait que $-3x=0.$ Quelle est la valeur de $x$ ?
Découvrez ici la résolution détaillée.
En dépit du $-3$, l’opération entre $-3$ et $x$ est une multiplication.
Transformez cette multiplication en division pour isoler $x.$
\begin{aligned} -3x &=0 \\ (-3)\times x &= 0\\ x&=\frac{0}{-3} \\ x&=0.\end{aligned}
Qui sont-ils ? Leurs applications dans la vie courante ?
Souvent mal compris, les entiers dits « naturels », sont ceux qui servent à compter.
On démarre à partir de 0, puis 1, puis 2, puis 3, etc vous connaissez la suite.
Mathématiquement on dit qu’un entier naturel est un entier positif.
On peut compter indéfiniment.
Ce n’est pas intuitif pour tout le monde.
La situation que je préfère vous citer c’est quand il s’agit de compter le nombre de grains de sable se trouvant sur une plage.
Quand vous en avez compté $3\ 452\ 876$, il y en a toujours un autre pas loin.
En mathématiques on appelle cela le successeur.
Autrement dit, les entiers « naturels » forment un ensemble infini.
Les entiers naturels permettent de construire d’autres ensembles dont on a besoin :
A partir des entiers naturels on peut aller beaucoup plus loin.
Le programme officiel appelle cela la « règle des signes ». Moins fois moins cela fait plus.
Vous avez en effet appris que :
\begin{align*} (+) \times (+) &= (+) \\ (-) \times (-) &= (+).\end{align*}Tout cela est une recette. Or, il y a derrière une réflexion à découvrir. En effet, les mathématiques peuvent être appréhendées comme une méthode de pensée et de raisonnement, structurée et systématique.
On écrit l’avenir avec des nombres positifs.
Aujourd’hui, vous êtes à 0. Demain vous serez à 1. Après-demain vous serez à 2 et ainsi de suite.
Dites-vous que, tous les jours, vous gagnez 30 euros.
Vous aurez $2\times 30$ soit 60 euros de gain.
Si vous gagnez de l’argent tous les jours, après-demain, vous aurez gagné de l’argent.
Cela peut sembler contre-intuitif à première vue. Mais revenez à l’interprétation précédente avec le temps et l’argent.
Aujourd’hui, vous êtes à $0$. Hier vous étiez à $-1$. Avant-hier vous étiez à $-2$. Le passé s’écrit avec des nombres négatifs.
Dites-vous que, tous les jours, vous perdez $30$ euros. Ce que l’on symbolise mathématiquement par le nombre $-30$. La perte est exprimée par un nombre négatif.
Vous aviez $(-2)\times (-30).$
Hier vous aviez $30$ euros – puisqu’aujourd’hui vous n’en avez plus !
Avant-hier vous aviez $60$ euros – sur deux jours vous en avez perdus $60.$
Si vous perdez de l’argent tous les jours, avant-hier, vous aviez gagné de l’argent, que vous avez fini par perdre.
$x^3+ax^2+8x+5$ est un multiple de $x+1$ pour tout entier $x$. Trouvez l’entier $a.$
Ceci constitue un problème d’arithmétique portant sur les polynômes.
Utilisez le changement de variable $y=x+1.$
\begin{aligned}
x^3+ax^2+8x+5 &= (y-1)^3+a(y-1)^2+8(y-1)+5 \\
&= y^3-3y^2+3y-1+a(y^2-2y+1)+8y-3\\
&=y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a.
\end{aligned}
D’après l’énoncé, pour tout $y\in\Z$, $y$ divise $y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a$ et donc $y$ divise $a-4$.
Il s’ensuit que $a=4.$
Comment faites-vous pour justifier que $0$ est la limite de $\frac{\ln x}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
Partez du fait que la fonction logarithme népérien est entièrement définie par l’intégrale : $\ln x = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}.$
Ensuite, vous souhaitez majorer cette expression. Pas le choix, vous partez sur une majoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}.$
Prenez les fonctions de référence polynômiales connues sur l’intervalle $[1,+\infty[.$
$\forall t\in [1,+\infty[, t^2\geq t> 0$ donc $\forall t\in [1,+\infty[, 0< \dfrac{1}{t^2}\leq \dfrac{1}{t}.$
Mince, on a une minoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}$ mais pas une majoration… à moins que… l’on utilise la racine carrée, ce qui fournit $\forall t\in [1,+\infty[, 0 < \dfrac{1}{t}\leq \dfrac{1}{\sqrt{t}}.$
Pour tout x supérieur ou égal à $1$ :
\begin{aligned}
\ln x &\leq \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}\\
&\leq \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}\\
&\leq 2\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{2\sqrt{t}}\\
&\leq 2 (\sqrt{x}-1)\\
0\leq \frac{\ln x}{x}&\leq \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}.
\end{aligned}
Par application du théorème des gendarmes, il s’ensuit que :
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0.$
Calculez la limite de $\sqrt{x +\sqrt{x}}-\sqrt{x}$ quand $x \to +\infty$
Utilisez un développement asymptotique pour trouver le résultat.
\begin{aligned}
\sqrt{x +\sqrt{x}} &= \sqrt{x } \sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{x}}{x} } \\
&= \sqrt{x } \left(1 + \dfrac{\sqrt{x}}{2x} + O\left(\dfrac{1}{x} \right) \right) \\
&= \sqrt{x } + \dfrac{1}{2} + O\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right).
\end{aligned}
Vous déduisez $\boxed{\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}.}$
On doit cette preuve à Périgal, trouvée en $1891.$
Visualisez le grand carré : son aire est égale à la somme des aires des deux petits carrés.
Cela constitue le théorème de Pythagore.
Vous souhaitez réaliser cette figure vous-même ? En savoir plus sur la façon de découper les motifs à l’intérieur des carrés pour les recoller ?
Dans des espaces dits « euclidiens », le théorème de Pythagore s’applique.
Si vous connaissez les coordonnées $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ de deux points $A$ et $B$, vous pouvez calculer la distance $AB$ entre ces deux points en utilisant le résultat ci-dessous. $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$
Deux racines : pouvez-vous simplifier $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$ ?
Les racines carrées peuvent se retrouver empilées dans des expressions diverses.
Comme $2\sqrt{2+\sqrt{3}}.$
Vous trouverez ci-dessous que oui, cette expression est simplifiable : on peut proposer une expression équivalente avec des racines carrées non empilées.
Outre le fait d’améliorer et de développer vos capacités calculatoires, c’est un résultat important qui a été utilisé.
Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs ayant le même carré, ils sont égaux.
