Catégorie : Niveau Agrégation
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151. Quand l’union de trois sous-espaces vectoriels est encore un sous-espace vectoriel (partie 1/2)
L’étude de l’union de trois sous-espaces vectoriels amène à examiner des relations d’inclusion.
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148. Un créneau est une fonction Riemann intégrable
Découvrez pourquoi une fonction créneau est Riemann-intégrable.
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146. Calculez le discriminant de l’équation générale du troisième degré
Formez une expression symétrique et déduisez-en la valeur du discriminant en fonction des coefficients.
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144. Exemple de résolution d’une équation du troisième degré
Le but de ce document est d’illustrer le contenu théorique que vous trouverez dans [yanniswp_article_link nb= »141″ desc= »dans l’article 141″].
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143. Expliquez pourquoi l’équation de degré 3 se ramène à une équation de degré 2
Découvrez pourquoi une équation du troisième degré se ramène à une équation du second degré.
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141. Découvrez la théorie de résolution complète de l’équation du troisième degré par permutations des racines
Soit $(a,b,c,d)\in\C^4$ un quadruplet de nombres complexes tel que $a$ soit non nul.Considérez alors l’équation $(E) : ax^3+bx^2+cx+d = 0$ du troisième degré d’inconnue $x\in\C.$ Il existe trois nombres complexes, notés $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ tels que $aX^3+bX^2+cX+d$ est égal à $a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3).$ En développant le membre de droite : Par identification des coefficients du polynôme formel…
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132. Diagonalisabilité d’une matrice
Cet article va étudier une matrice tirée du concours de l’agrégation externe de mathématiques session 2020.
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131. L’exponentielle est dérivable au sens complexe et sa dérivée est elle-même
Il s’agit de justifier que, pour tout nombre complexe $z$, la limite $\lim_{h\to 0} \frac{\mathrm{exp}(z+h)-\mathrm{exp}(z)}{h}$ existe, quand $h$ est un nombre complexe tendant vers $0.$ Cela fera de la fonction exponentielle une fonction entière. Beaucoup mieux, vous allez démontrer que la dérivée au sens complexe de la fonction exponentielle est égale à elle-même. Approximez uniformément…
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130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes
L’objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’)=\mathrm{exp}(z+z’).$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite complexe qui converge vers un nombre $z\in\C$, alors vous avez encore $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$…
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129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus
D’après le contenu qui se trouve [yanniswp_article_link nb= »128″ desc= »dans l’article 128″], pour tout réel $x$, vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L’exponentielle d’un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module 1 Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN$, le conjugué de $1+\frac{ix}{n}$ est $1-\frac{ix}{n}$. Comme $\lim_{x\to…