Soit $(a,b,c,d)\in\R^4$ un quadruplet de nombres réels. Considérez l’équation suivante du quatrième degré, $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ d’inconnue $x\in\R.$
Elle se résout en se ramenant à la résolution de deux polynômes de degré $2$.
En effet, vous allez prouver dans cette section qu’il existe $(p,q,r,s)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2.$
Cet article se situe dans le prolongement de la méthode de Ferrari, décrite dans l'article 169.
Prouvez l’existence
Pour tout réel $x$, notez $P(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d.$
1er cas : si $P$ admet une racine réelle
Il existe un nombre $u\in\R$ tel que $P(u)=0.$
Par suite $u^4+au^3+bu^2+cu+d=0.$
Du coup, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
P(x) &= x^4+ax^3+bx^2+cx+d\\
&= x^4+ax^3+bx^2+cx+d - u^4-au^3-bu^2-cu-d\\
&= (x^4-u^4)+a(x^3-u^3)+b(x^2-u^2)+c(x-u)\\
&= (x-u)(x^3+x^2u+xu^2+u^3)\\
&\quad +a(x-u)(x^2+ux+u^2)\\
&\quad +b(x-u)(x+u)\\
&\quad +c(x-u)\\
&= (x-u)\left[x^3+x^2u+xu^2+u^3 + a(x^2+ux+u^2)+ b(x+u)+c\right].
\end{align*}Pour tout réel $x$, notez $Q(x) = x^3+x^2u+xu^2+u^3 + a(x^2+ux+u^2)+ b(x+u)+c.$
La fonction $Q$ est une fonction réelle polynomiale de degré 3, continue sur $\R$, de sorte que $\lim_{x\to +\infty} = +\infty$ et $\lim_{x\to -\infty} = -\infty.$ Par application du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $v$ tel que $Q(v) = 0.$
Vous déduisez en utilisant un calcul similaire à celui effectué ci-dessus qu’il existe deux réels $k$ et $\ell$ tels que, pour tout réel $x$, $Q(x) = (x-v)(x^2+kx+\ell).$
L’ensemble étant mis bout à bout, vous déduisez que $\forall x\in\R, P(x) = (x-u)(x-v)(x^2+k x+\ell).$
Notez $k’ = -u-v$ et $\ell’ = uv$, vous obtenez que $\forall x\in\R, P(x) = (x^2+kx+\ell)(x^2+k’x+\ell’).$
2ème cas : si $P$ n’admet aucune racine réelle
Dans ce cas vous invoquez le théorème de d’Alembert-Gauss, qui affirme l’existence d’un nombre complexe $u$, non réel, tel que $P(u)=0.$
Vous déduisez l’existence d’un polynôme $Q$, à coefficients complexes, unitaire et de degré 3, tel que $\forall z\in\C, P(z)=(z-u)Q(z).$
L’écriture $P(u)=0$ fournit $u^4+au^3+bu^2+cu+d=0$. Comme $(a,b,c,d)\in\R^4$, en conjuguant, vous obtenez la relation suivante $\overline{u}^4+a\overline{u}^3+b\overline{u}^2+c\overline{u}+d = 0.$ Autrement dit, $P(\overline{u})=0.$
Donc $(\overline{u}-u)Q(\overline{u})=0.$ Comme $u$ n’est pas réel, $u\neq \overline{u}$ donc $Q(\overline{u})=0.$
Vous déduisez donc l’existence d’un polynôme complexe $R$ unitaire et de degré 2 tel que $\forall z\in\C, Q(z) = (z-\overline{u})R(z)$, avec existence de $k’\in\C$ et de $\ell’\in\C$ tels que $\forall z\in\C, R(z)=z^2+k’z+\ell’.$
Ainsi vous avez obtenu que $\forall z\in\C, P(z)=(z-u)(z-\overline{u})R(z).$
Posez $k = -u-\overline{u}$ et $\ell = u\overline{u}.$ Les nombres $k$ et $\ell$ sont des réels et vérifient $\forall z\in\C, P(z) = (z^2+kz+\ell)R(z).$
Il s’agit maintenant de comprendre pourquoi le polynôme $R$ est en réalité à coefficients réels.
Notez que $\forall x\in\R, P(x) = (x^2+kx+\ell)R(x).$
Or, $\forall x\in\R, x^2+kx+\ell = (x-u)(x-\overline{u}).$ Par suite, $x^2+kx+\ell$ ne peut être nul si $x$ est réel, sinon $x\in\{u, \overline{u}\}$ ce qui serait absurde. Donc $\forall x\in\R, x^2+kx+\ell \neq 0$ ce qui permet d’écrire que $\forall x\in\R, R(x)=\frac{P(x)}{x^2+kx+\ell}.$
En particulier, vous déduisez que $\forall x\in\R, R(x)\in\R.$
Donc $\forall x\in\R, x^2+k’x+\ell’\in\R.$
Choisissez $x=0$, vous obtenez $\ell’\in \R.$
Choisissez maintenant $x=1$, vous obtenez $1+k’+\ell’ \in \R.$ Comme $\ell’ = (1+k’+\ell’)-1-k’$ et que $1\in\R$, $k’\in\R$ et $1+k’+\ell’\in\R$, vous déduisez $\ell’\in\R.$
Concluez sur l’existence
De ce qui précède vous avez obtenu l’existence d’un quadrulplet de réels $(k,k’,\ell,\ell’)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, P(x)=(x^2+kx+\ell)(x^2+k’x+\ell’).$
Notez alors $p = \frac{k+k’}{2}$, $q=\frac{\ell+\ell’}{2}$, $r=\frac{k-k’}{2}$ et $s=\frac{\ell-\ell’}{2}.$
Vous avez $(p,q,r,s)\in\R^4$ et les égalités $p+r = k$, $p-r = k’$, $q+s = \ell$ et $q-s=\ell’.$
Du coup, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
P(x) &= (x^2+kx+\ell)(x^2+k'x+\ell') \\
&= (x^2+(p+r)x+q+s)(x^2+(p-r)x+q-s)\\
&=((x^2+px+q) + (rx+s))((x^2+px+q)-(rx+s))\\
&=(x^2+px+q)^2-(rx+s)^2.
\end{align*}Cela conclut sur l’existence annoncée.
Comment déterminer les valeurs des réels $p$, $q$, $r$ et $s$ ?
Soit $(a,b,c,d)\in\R^4.$
D’après la section précédente, il existe $(p,q,r,s)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2.$
Développez. Vous obtenez que, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
x^4+ax^3+bx^2+cx+d &= (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2 \\
&= x^4+p^2x^2+q^2+2px^3+2qx^2+2pqx-r^2x^2-s^2-2rsx\\
&=x^4+2px^3+(p^2+2q-r^2)x^2+(2pq-2rs)x+q^2-s^2.
\end{align*}Par identification des coefficients, les relations suivantes sont obtenues :
\left\{\begin{align*}
2p &=a\\
p^2+2q-r^2 &= b\\
2pq-2rs &=c\\
q^2-s^2 &=d.
\end{align*}\right.Pas le choix pour le réel $p$, vous avez nécessairement $p=\frac{a}{2}.$
Comme $4p^2 = a^2$, vous multipliez la relation $p^2+2q-r^2 = b$ par $4$, pour obtenir $4p^2+8q-4r^2 = 4b$, soit $a^2+8q-4r^2 = 4b$ ce qui fournit $8q = 4b+4r^2-a^2.$
Notez que si $r$ est connu, le réel $q$ est parfaitement connu, il est égal à $q=\frac{4b+4r^2-a^2}{8}.$
Prenez maintenant la relation $2pq-2rs =c$, vous remplacez $2p$ par $a$, ce qui fournit $aq-2rs = c.$ Voulant faire apparaître $8q$, vous multipliez par $8$ et obtenez $8aq-16rs = 8c.$ Remplacez $8q$ par $4b+4r^2-a^2$, vous obtenez $a(4b+4r^2-a^2)-16rs = 8c$ ce qui fournit $16rs =a(4b+4r^2-a^2)-8c.$
Il reste à justifier que le réel $r$ ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs.
Partez de la relation $q^2-s^2 =d$, que vous multipliez par $64$, ce qui donne $64q^2-64s^2 = 64d.$ Comme $8q = 4b+4r^2-a^2$ vous déduisez $64q^2 = (4b+4r^2-a^2)^2$ donc $(4b+4r^2-a^2)^2-64s^2 = 64d.$ Vous multipliez ensuite le tout par $r^2$, d’où $r^2(4b+4r^2-a^2)^2-64r^2s^2 = 64dr^2.$
Multipliez cette relation par $4$, vous obtenez $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2-256r^2s^2 = 256dr^2.$
Or $16rs =a(4b+4r^2-a^2)-8c$ donc $256r^2s^2 = (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2.$
Ainsi vous déduisez $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 = 256dr^2$ soit $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 – 256dr^2 = 0.$
Ainsi, $r^2$ est solution d’une équation polynomiale du troisième degré, qui ne peut avoir que 3 solutions au maximum, soit au maximum 6 candidats pour $r.$
Notez que $s^2=q^2-d$ donc $s^2 = \frac{(4b+4r^2-a^2)^2}{64} – d$, ce qui laisse deux candidats potentiels pour $s.$
Concluez
L’étude effectuée montre que, pour tout $(a,b,c,d)\in\R^4$, le système d’inconnues réelles $p$, $q$, $r$ et $s$ ci-dessous admet au moins une solution.
\left\{\begin{align*}
2p &=a\\
p^2+2q-r^2 &= b\\
2pq-2rs &=c\\
q^2-s^2 &=d
\end{align*}\right.Pour déterminer une solution qui convient, vous devez choisir $\boxed{p=\frac{a}{2}}$, puis $r$ tel que $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 = 256dr^2$ soit $\boxed{4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 – 256dr^2 = 0}$. Ensuite, vous obtenez $\boxed{q = \frac{4b+4r^2-a^2}{8}}.$
Notez que si $r\neq 0$, la valeur de $s$ est entièrement déterminée puisqu’alors $s=\frac{2pq-c}{2r}.$
Si $r=0$, alors $q = \frac{4b-a^2}{8}$ et par conséquent $s^2 = q^2-d$, ce qui force la positivité de $q^2-d$ et donc $s = \pm \sqrt{\left(\frac{4b-a^2}{8}\right)^2-d}.$
Une fois trouvé les valeurs de $p$, $q$, $r$ et $s$ qui donnent une solution du système, vous résolvez l’équation générale de degré 4, puisque, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+(p+r)x+q+s)(x^2+(p-r)x+q-s) = 0.
\end{align*}Il vous suffit alors de résoudre respectivement les équations $x^2+(p+r)x+q+s = 0$ et $x^2+(p-r)x+q-s=0$ pour conclure.
