Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb{C}.$
Pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $K$, vous allez voir que $P$ est à racines simples dans $\mathbb{C}$, si et seulement si, les polynômes $P$ et $P’$ sont premiers entre eux.
Pour démontrer ce résultat, vous aller démontrer l’équivalence suivante, en prenant les contraires : pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $K$, $P$ possède au moins une racine multiple dans $\mathbb{C}$, si et seulement si, les polynômes $P$ et $P’$ ne sont pas premiers entre eux.
Implication $\Longrightarrow$
Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $K$, possédant au moins une racine multiple. Notez $a\in \mathbb{C}$ une telle racine. Il existe un polynôme $Q\in \mathbb{C}[X]$ tel que $P(X)=(X-a)^2 Q(X)$. Il s’ensuit que $P'(X)=2(X-a)Q(X)+(X-a)^2Q'(X)=(X-a)\left(2Q(X)+(X-a)Q'(X)\right).$
Le polynôme $X-a$ divise les polynômes $P$ et $P’$ qui se sont pas premiers entre eux.
Implication $\Longleftarrow$
Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $K$, tel que $P$ et $P’$ ne soient pas premiers entre eux. Il existe un polynôme $Q\in K[X]$ de degré supérieur ou égal à 1, tel que $Q$ divise $P$ et $P’$. Notez que $P’$ est de degré 1 ou plus, donc $P$ est de degré $n\geq 2$. Comme on a aussi $Q\in\mathbb{C}[X]$ vous appliquez le théorème de d’Alembert. Il existe $a\in\mathbb{C}$ tel que $Q(a)=0$. Il en résulte que $P(a)=0$ et que $P'(a)=0$.
La formule de Taylor appliquée au polynôme $P$ permet de conclure.
\begin{aligned}
P(X) &= \sum_{k=0}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= \sum_{k=2}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= (X-a)^2\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{P^{(k+2)}(a)}{(k+2)!}(X-a)^k.\end{aligned}
Comment savoir si $P$ et $P’$ sont premiers entre eux par le calcul (avec les coefficients de Bezout pour le fun) ?
Considérez le polynôme $P$ défini par :
$P(X)=X^6-6X^5 + 15X^4- 20X^3 + 12X^2-4.$
Dérivez :
$P'(X)=6X^5-30X^4+60X^3-60X^2+24X = 6(X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X).$
Posez $Q(X)=X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X.$
Vous allez déterminer le PGCD des polynômes $P$ et $Q$, avec les coefficients de Bezout avec l’algorithme décrit ci-dessous.
\begin{aligned}
X^6-6X^5 + 15X^4- 20X^3 + 12X^2-4 &= 1 P(X) + 0 Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}
Cherchant à diminuer le degré 6 de la première ligne, on effectue l’opération élémentaire $L_1 \leftarrow L_1-XL_2.$
\begin{aligned}
-X^5 + 5X^4- 10X^3 + 8X^2-4 &= 1 P(X) -X Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}
On continue en éliminant le degré 5 de la première équation. On effectue $L_1 \leftarrow L_1+L_2.$
\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X &= 0P(X) + 1Q(X)
\end{aligned}
Pour éviter les fractions, multipliez la ligne 2 par 2.
\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
2X^5-10X^4+20X^3-20X^2+8X &= 0P(X) + 2Q(X)
\end{aligned}
Eliminez le degré 5 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2+X^3L_1.$
\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
-6X^4+16X^3-20X^2+8X&= X^3P(X) + (-X^4+X^3+2)Q(X)
\end{aligned}
Eliminez le degré 4 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2-3X^2L_1.$
\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
4X^3-8X^2+8X&= (X^3-3X^2)P(X) + (-X^4+4X^3-3X^2+2)Q(X)
\end{aligned}
Eliminez le degré 3 de la deuxième ligne en effectuant l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2+2XL_1.$
\begin{aligned}
-2X^2+4X-4 &= 1 P(X) +(-X+1) Q(X)\\
0 &= (X^3-3X^2+2X) P(X) +(-X^4+4X^3-5X^2+2X+2 ) Q(X)
\end{aligned}
L’algorithme s’arrête. Il montre que $PGCD(P,Q)=X^2-2X+2.$
Du coup $PGCD(P,P’)=X^2-2X+2.$
Le polynôme $P$ possède donc au moins une racine multiple dans $\mathbb{C}.$
