Vous souhaitez voir comment on produit la décomposition de $\dfrac{2x^2+1}{(x-1)^2}$ en éléments simples ? C’est ici.
Le dénominateur devient $y^2$ il reste à observer que $y+1=x$ pour développer le numérateur. La fraction à décomposer en est facilitée.
\begin{aligned} \dfrac{2x^2+1}{(x-1)^2}&=\dfrac{2(1+y)^2+1}{y^2} \\ &=\dfrac{3+2y^2+4y}{y^2}\\ &=2+\dfrac{4}{y}+ \dfrac{3}{y^2} \\ &=2+\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{3}{(x-1)^2}.\end{aligned}
Vous voulez décomposer $\dfrac{x^2+1}{x-2}$ en éléments simples, pas à pas, acquérir les bonnes connaissances ? Cela se passe ici.
Posez $y=x-2$ pour simplifier le dénominateur. Puis vous calculez le numérateur en remplaçant $x$ par $2+y$.
\begin{aligned} x^2+1&=(2+y)^2+1\\ &=4+y^2+4y+1 \\ &=y^2+4y+5.\end{aligned}
\begin{aligned} \dfrac{x^2+1}{x-2}&=\dfrac{y^2+4y+5}{y}\\ &=y+4+\dfrac{5}{y}\\ &= x+2+\dfrac{5}{x-2}.\end{aligned}
Vous voulez trouver tous les nombres x tels que (x+4)(x+4)=(x+4)(3x+1) ? Savoir combien il y en a ?
Posez $y=x+4$. Cela simplifie la vision de l’équation proposée.
La quantité $(x+4)(x+4)$ s’écrit $y^2$.
Pour l’expression $(x+4)(3x+1)$ vous trouvez $y(3x+1)$.
N’aimant pas mélanger les $x$ avec les $y$, vous observez que $y-4=x$ puis que :
\begin{aligned} 3x+1&=3(y-4)+1\\&=3y-12+1\\&=3y-11.\end{aligned}
Si $y=0$ l’équation est satisfaite et vous trouvez $x=-4$.
Si $y\neq 0$, vous divisez les deux membres de $y^2=y(3y-11)$ par $y$ et vous trouvez :
\begin{aligned} y&=3y-11\\11&=2y\\\dfrac{11}{2}&=y\\ \dfrac{11}{2}-4&=y-4\\ \dfrac{11}{2}- \dfrac{8}{2}&=x\\ \dfrac{3}{2}&=x. \end{aligned}
L’équation $(x+4)(x+4)=(x+4)(3x+1)$ admet exactement deux solutions, $x=-4$ et $x=\dfrac{3}{2}.$
Un peu plus corsé que l’article 54 vu que les réponses ne pourront pas être des nombres entiers.
Pour que la somme fasse 20, vous pouvez tester des nombres entiers d’abord.
Vous observez qu’il y a une symétrie autour de $10$ : $2$ et $18$ pour le début c’est $10-8$ et $10+8$. $3$ et $17$ pour le deuxième c’est $10-7$ et $10+7$.
Plus généralement, le plus petit nombre que vous cherchez est égal à $10-x$ et le plus grand à $10+x$ où $x$ désigne un nombre positif à déterminer…
Le produit $(10-x)(10+x)$ est égal à $95$. Sauf que ce produit est aussi une identité remarquable connue vu que $\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$.
$(10-x)(10+x)=10^2-x^2$ donc $100-x^2=95$. Pas le choix, comme $100-5=95$, c’est que $x^2=5$ et $x=\sqrt{5}$ vu la positivité de $x$.
Synthèse : $10-\sqrt{5}$ et $10+\sqrt{5}$ sont les seuls nombres qui peuvent convenir.
Conclusion : vous vérifiez que les nombres trouvés conviennent.
La somme $(10-\sqrt{5})+ (10+\sqrt{5})$ est bien égale à $20$ par élimination des racines carrées.
Le produit $(10-\sqrt{5})\times (10+\sqrt{5})$ est égal à $10^2 – (\sqrt{5})^2 = 100-5=95$.
Quand je vois que ce problème est traité à coup de « relations entre les coefficients et racines d’un polynôme », résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues, utilisation du discriminant… je sors et je me dois d’écrire cet article pour montrer oh combien on peut résoudre cela sans se prendre le chou, avec des arguments compréhensibles dès le collège.
Deux outils fondamentaux.
L’identité remarquable $\boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$ tout d’abord.
Puis la formule du milieu : si $a$ et $b$ sont deux nombres de milieu $m$, alors $\boxed{m=\frac{a+b}{2}}$, autrement dit, $m$ est la moyenne de $a$ et de $b$.
Imaginez que vous avez trouvé deux nombres dont la somme vaut $78$ et le produit vaut $225$. Notez $a$ le plus petit des deux et $b$ le plus grand. Notez $m$ le milieu de $a$ et de $b$. Notez $x$ l’écart $\dfrac{b-a}{2}$, avec $x$ positif.
Vous avez les égalités $a=m-x$ et $b=m+x$.
Maintenant passez au numérique. La somme $a+b$ vaut $78$ donc le milieu $m$ vaut deux fois moins, soit $39$.
Le produit $ab$ vaut $(m-x)(m+x)$ soit $m^2-x^2$, soit $39^2-x^2$.
Or vous voulez que ce produit soit égal à $225$, donc, pas le choix.
\begin{aligned} 225&=39^2-x^2 \\x^2&=39^2-225\\ &=1521-225 \\&=1300-4\\&=1296\\&=36^2\end{aligned}.
Comme $x$ est positif, vous avez $x=36$.
Le plus petit des deux nombres est $a=39-36=3$ et le plus grand est $b=39+36=75$.
Vous n’oubliez pas de vérifier : $3+75=78$, ok pour la somme. $3\times 75=210+15=225$. Voilà problème résolu : 3 et 75 sont deux nombres qui conviennent pour avoir une somme de 78 et un produit de 225 et ce sont les seuls, quitte à les permuter entre eux.
Ce matin même j’ai été très content de voir l’augmentation des résultats d’un de mes élèves : une de ses évaluations est arrivée à 12,5/20 pour son dernier gros devoir effectué en classe.
Voilà de quoi changer de perspective pour lui et de quoi changer son ressenti sur les mathématiques après de longs mois avec des notes qui restaient en dessous de la moyenne.
Avec du courage, du travail, de la persévérance et de la pédagogie, on obtient des résultats significatifs.
La méthode qui forme les meilleurs élèves du monde arrive en France. C’est la méthode de Singapour ! Des éditeurs commencent à proposer des solutions, il était temps.
Envie de faire connaître des exercices de la collection « Primary Mathematics » du ministère de l’Education de Singapour pour vos enfants ?
Y sont proposés des exercices progressifs pour bien comprendre les notions qui posent des difficultés à tous les niveaux, considérées comme « des bases » par les parents (proportionnalité, additions de fractions, pour ne citer que ça).
Au cours de stages, je pars d’une situation concrète, puis imagée, puis abstraite avec les utilisations d’opérations et de symbôles. Il me reste 2 stages de disponibles pour les vacances qui arrivent.
Vous cherchez à majorer $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ par $C\sqrt{a+b}$, où $C$ désigne une constante strictement positive.
Supposez qu’il existe une constante $C>0$ telle que, quels que soient les nombres $a$ et $b$ strictement positifs, vous ayez : $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq C\sqrt{a+b}$.
Vous en déduisez $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}\leq C$. Cela vous pousse à considérer la fonction de deux variables définie par $f(a , b)=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}.$
Trouver un majorant d’une fonction de deux variables, ce n’est guère évident… du coup, vous fixez $b$ et vous étudiez la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{b}}{\sqrt{x+b}}$.
La fonction $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour tout $x\in ]0,+\infty[$ :
\begin{aligned}
g'(x)&=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x} }\sqrt{x+b}-(\sqrt{x}+\sqrt{b})\dfrac{1}{2\sqrt{x+b}}}{(\sqrt{x+b})^2}\\
&=\frac{\dfrac{x+b-\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{b})}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}}}{x+b}\\
&=\frac{b-\sqrt{bx}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\
&=\frac{b\sqrt{b}-b\sqrt{x}}{2\sqrt{b}\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\
&=\frac{b(\sqrt{b}-\sqrt{x})}{2\sqrt{b}\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\
&=\frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{x})(\sqrt{b}+\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)(\sqrt{b}+\sqrt{x})}\\
&=\frac{\sqrt{b}(b-x)}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)(\sqrt{b}+\sqrt{x})}\\
\end{aligned}
Il s’ensuit que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0,b]$ et strictement décroissante sur $[b,+\infty[$. $g$ admet un maximum pour $x=b$ et ce maximum vaut : $g(b)=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{2b}}=\sqrt{2}.$
Quels que soient les nombres $a$ et $b$ strictement positifs, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2} \sqrt{a+b}$ et il n’y a pas mieux que la constante $C=\sqrt{2}$ réalisant cette majoration.
Un checkpoint pour tout savoir sur ce sujet.
Appelez $V_F$ la valeur finale et $V_I$ la valeur initiale.
Le pourcentage de hausse ou de baisse est égal à $\boxed{\dfrac{V_F-V_I}{V_I}\times 100.}$
Plus précisément, si la valeur calculée est positive, c’est une pourcentage de hausse, si elle est négative, c’est un pourcentage de baisse.
Vous écrivez : $V_F=167$ et $V_I=135$.
\begin{aligned}
\frac{V_F-V_I}{V_I}\times 100&=\frac{167-135}{135}\times 100\\
&=\dfrac{32}{135}\times 100\\
&\approx 23,7.\\
\end{aligned}
Le prix a augmenté de 23,7 % environ.
Vous écrivez : $V_F=97$ et $V_I=115$.
\begin{aligned}
\dfrac{V_F-V_I}{V_I}\times 100&=\dfrac{97-115}{115}\times 100\\
&=-\dfrac{18}{115}\times 100\\
&\approx -15,7.\\
\end{aligned}
Le prix a baissé de 15,7 % environ.
Vous souhaitez savoir comment effectuer facilement $15^2$ ? $25^2$ ? $35^2$ ? ainsi que tous les autres ?
Il existe une technique que je souhaite vous communiquer.
Comment calculer $45^2$ ? Vous prenez le chiffre des dizaines, $4$ et vous le multipliez par $4$ augmenté de $1$, ce qui fait $4\times 5 =20$.
Quel est le résultat de $45^2$ ? Vous prenez $20$ trouvé précédemment et vous collez $25$.
Cela donne $2\,025$.
