La somme infinie $\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}+\cdots$ vaut $\dfrac{\pi^2}{6}.$
Il s’agit d’une adaptation d’un article dû à Matsuoka en 1961.
Gardez en tête les propriétés vérifiées par les fonctions sinus et cosinus, valables pour tout nombre réel $t.$
\begin{aligned}
&\sin'(t)=\cos t\\
&\cos'(t)=-\sin t\\
&\cos^2 t + \sin^2 t =1.
\end{aligned}
Les intégrales de Wallis
Pour tout entier naturel $n$ définissez les suites d’intégrales positives suivantes, comme étant des intégrales de fonctions positives :
$W_n = \int_{0}^{\pi/2} \cos^n t \dt$
$I_n = \int_{0}^{\pi/2}t^2 \cos^{n} t \dt.$
Calculez les premiers termes
$I_0 =\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} t^2 \text{ d}t = \frac{\pi^3/8}{3}=\frac{\pi^3}{24}.$
$W_0 =\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 1 \text{ d}t = \frac{\pi}{2}.$
\begin{aligned}
W_1 &= \int_{0}^{\pi/2} \cos t\text{ d}t\\
&=\left[ \sin t \right]_0^{\pi/2}\\
&=1.
\end{aligned}
\begin{aligned}
I_1 &= \int_{0}^{\pi/2}t^2 \cos t\text{ d}t\\
&=\left[t^2 \sin t \right]_0^{\pi/2} – 2 \int_{0}^{\pi/2} t \sin t\text{ d}t\\
&=\frac{\pi^2}{4} – 2 \left( \left[-t \cos t \right]_0^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} \cos t\text{ d}t \right)\\
&=\frac{\pi^2}{4}-2 W_1\\
&=\frac{\pi^2}{4}-2. \\
\end{aligned}
Leurs valeurs serviront plus loin.
Lien entre les termes de $W$
Soit $n$ un entier naturel. Utilisez deux intégrations par parties.
\begin{aligned}
W_{n+2}&= \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n+2} t\text{ d}t\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\cos t \cos^{n+1} t \text{ d}t\\
&=\left[ \sin t \cos^{n+1} t \right]_0^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} (n+1)\cos^{n} t\sin^2 t \text{ d}t\\
&=(n+1) \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} t(1-\cos^2 t) \text{ d}t\\
&=(n+1)(W_n – W_{n+2})
\end{aligned}
Déduisez-en une relation reliant $W_n$ avec $W_{n+2}$.
\begin{aligned}
W_{n+2}&=(n+1)(W_n – W_{n+2})\\
(1 + n+1)W_{n+2}& = (n+1)W_n\\
(n+2)W_{n+2}& = (n+1)W_n
\end{aligned}
Lien entre $I$ et $W$
Stratégie
Partez de la définition de $W_n$ et du fait que $\cos^n t$ peut être écrit sous forme du produit $1\times \cos^n t.$ Deux intégrations par parties permettront de faire apparaître $t^2$ puis $I_n$.
Calculs
\begin{aligned}
W_{n+2} &= \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n+2} t\text{ d}t\\
&=\int_{0}^{\pi/2} 1\times \cos^{n+2} t\text{ d}t\\
&=\left[t \times \cos^{n+2} t\right]_0^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} t\times (n+2) \cos^{n+1} t \sin t\text{ d}t\\
&=(n+2) \int_{0}^{\pi/2} t \cos^{n+1} t \sin t\text{ d}t\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{W_{n+2}}{n+2} &= \int_{0}^{\pi/2} t \cos^{n+1} t \sin t\text{ d}t\\
&= \left[\frac{t^2}{2} \cos^{n+1} t \sin t \right]_0^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2} \frac{t^2}{2} \left(\cos^{n+2}t-(n+1)\cos^n t\sin^2 t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \left((n+1)\cos^n t(1-\cos^2 t)-\cos^{n+2}t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \left((n+1)\cos^n t-(n+1)\cos^{n+2} t-\cos^{n+2}t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \left((n+1)\cos^n t-(n+2)\cos^{n+2} t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{(n+1)I_n-(n+2)I_{n+2}}{2}\\
\end{aligned}
Conclusion
Pour tout entier naturel $n$, $2W_{n+2}=(n+1)(n+2)I_n-(n+2)^2I_{n+2}.$
Une somme télescopique
La fonction cosinus étant positive, continue et non identiquement nulle sur $\left[0,\pi/2\right]$, pour tout entier naturel $n$, $W_n > 0$.
Pour tout entier naturel $n$ :
\begin{aligned}
2 &=(n+1)(n+2)\frac{I_n}{W_{n+2}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
2 &=(n+1)(n+2)^2\frac{I_n}{(n+2)W_{n+2}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
2 &=(n+1)(n+2)^2\frac{I_n}{(n+1)W_{n}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
2 &=(n+2)^2\frac{I_n}{W_{n}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
\end{aligned}
Et voilà, vous obtenez l’important résultat : $\frac{2}{(n+2)^2}=\frac{I_n}{W_{n}}-\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}.$
Vous allez maintenant sommer avec le symbole « sigma ».
Soit $N$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$
\begin{aligned}
\sum_{n=0}^N \frac{1}{(n+2)^2} &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N\left( \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\right)\\
&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N \frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N+2} \frac{I_{n}}{W_{n}}\\
&=\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}+ \frac{1}{2}\sum_{n=2}^N \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N+2} \frac{I_{n}}{W_{n}}\\
&=\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}- \frac{1}{2}\frac{I_{N+1}}{W_{N+1}}-\frac{1}{2}\frac{I_{N+2}}{W_{N+2}}\\
\end{aligned}
Le calcul de $1/1^2+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/N^2$
Soit $N$ un entier naturel supérieur ou égal à 4, de sorte que $N-2$ est supérieur ou égal à 2, ce qui permet d’utiliser le résultat précédent.
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} &= 1 +\sum_{n=2}^N \frac{1}{n^2}\\
&= 1 +\sum_{n=0}^{N-2} \frac{1}{(n+2)^2}\\
&= 1 +\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}- \frac{1}{2}\frac{I_{N-1}}{W_{N-1}}-\frac{1}{2}\frac{I_{N}}{W_{N}}\\
\end{aligned}
Une majoration de $I/W$
Une majoration importante : $\sin t\leq \frac{2}{\pi} t$
Pour tout réel $t\in \mathbb{R}$ posez $f(t) = \displaystyle\frac{\pi}{2}\sin t – t$. La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $ \mathbb{R}$ avec $f'(t) = \displaystyle\frac{\pi \cos t – 2}{2}$ et $f^{\prime\prime}(t) = -\displaystyle\frac{\pi \sin t}{2}.$
Sur l’intervalle $\left]0; \pi/2 \right[$, la fonction $f^{\prime\prime}$ est strictement négative. La fonction $f$ est continue sur $\left[0 ; \pi/2 \right]$ donc $f’$ est strictement décroissante sur l’intervalle $\left[0 ; \pi/2 \right].$
Comme $f'(0) \geq \displaystyle\frac{\pi-2}{2} > 0$ et $f’\left(\frac{\pi}{2}\right)\leq -1 < 0$, vous déduisez l’existence d’un unique réel $\alpha\in\left]0; \pi/2 \right[$ tel que $f'(\alpha)=0.$
Sur l’intervalle $[0,\alpha]$, la fonction $f$ est croissante. Pour tout $t\in [0,\alpha], f(t)\geq f(0)\geq 0.$
Sur l’intervalle $\left[\alpha,\frac{\pi}{2}\right]$ la fonction $f$ est décroissante. Pour tout $t\in \left[\alpha,\frac{\pi}{2}\right], f(t)\geq f\left(\frac{\pi}{2}\right)\geq 0.$
D’où la majoration, valable pour tout $t\in \left[0 ; \pi/2 \right]$ : $t\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\sin t.$
Cela est aussi une conséquence de ce qui s’appelle la « concavité » de la fonction sinus sur $\left[0 ; \pi/2 \right]$ mais ce n’est pas l’objet de cet article.
$I/W$ est majoré et a $0$ pour limite
\begin{aligned}
0\leq I_n &\leq \int_{0}^{\pi/2}t^2 \cos^{n} t\text{ d}t\\
&\leq \frac{\pi^2}{4} \int_{0}^{\pi/2}\sin t^2 \cos^{n} t\text{ d}t\\
&\leq \frac{\pi^2}{4} \int_{0}^{\pi/2}(1-\cos t^2) \cos^{n} t\text{ d}t\\
&\leq \frac{\pi^2}{4} (W_n-W_{n+2})\\
&\leq \frac{\pi^2}{4(n+2)} ((n+2)W_n-(n+2)W_{n+2})\\
&\leq \frac{\pi^2}{4(n+2)} ((n+2)W_n-(n+1)W_{n})\\
&\leq \frac{\pi^2}{4(n+2)} W_n.
\end{aligned}
Vous avez $\lim_{n\to + \infty} \frac{I_n}{W_n}=0.$
D’après tout ce qui précède, la limite $\lim_{N\to +\infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}$ est finie, notez-la $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et calculez-la explicitement.
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} &= 1 +\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}\\
&=1+\frac{\pi^2}{24}+\frac{\pi^2}{8}-1\\
&=\frac{\pi^2}{24}+\frac{3\pi^2}{24}\\
&=\frac{4\pi^2}{24}\\
&=\frac{\pi^2}{6}.
\end{align*}
