École AVOSZ

176. La fonction racine carrée est limite uniforme d’une suite de polynômes

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 27/10/202112/05/2024| Niveau Prépa

Comme dans l'article 175, vous définissez la suite suivante de polynômes, en posant $P_0 = 0$ et $\forall n\in\N, P_{n+1} = P_n+\frac{X-P_n^2}{2}.$

Etablissez l’inégalité $\forall n\in\N, \forall x\in[0,1],\, 0\leq \sqrt{x}-P_n(x)$

La suite $(P_n)_{n\in\N}$ étant définie par récurrence, vous allez utiliser ce qui suit.

Pour tout entier naturel $n$, notez $Q(n)$ la propriété suivante : « $\forall x\in[0,1]\, 0\leq \sqrt{x}-P_n(x)$ ».

Initialisation. Pour $n=0.$ Soit $x\in[0,1].$

$P_0 = 0$ donc $P_n(x)=P_0(x) = 0.$ Une racine carrée étant un nombre positif, vous obtenez comme convenu $0\leq \sqrt{x}-P_n(x).$

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $Q(n)$ soit vérifiée.

Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0,1].$

Vous allez chercher à étudier le signe de $P_{n+1}(x)-\sqrt{x}.$

$\begin{aligned} P_{n+1}(x)-\sqrt{x} &= P_n(x)+\frac{x-(P_n(x))^2}{2}-\sqrt{x}\\&= (P_n(x)-\sqrt{x})+\frac{(\sqrt{x}-P_n(x))(\sqrt{x}+P_n(x))}{2}\\&= (\sqrt{x}-P_n(x))(-1)+(\sqrt{x}-P_n(x))\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2}\\&= (\sqrt{x}-P_n(x))\left(\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2}-1\right)\\\end{aligned}$

Par hypothèse de récurrence, le réel $\sqrt{x}-P_n(x)$ est positif.

Toujours par hypothèse de récurrence, $P_n(x)\leq \sqrt{x}$, donc $\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2} \leq \sqrt{x}.$

Comme $x$ est supposé appartenir à l’intervalle $[0,1]$ il s’ensuit que $\sqrt{x}\leq 1$ du coup $\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2} \leq 1.$

Le réel $\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2}-1$ est donc négatif.

Par produit, vous déduisez que le produit $(\sqrt{x}-P_n(x))\left(\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2}-1\right)$ est négatif.

Donc $P_{n+1}(x)-\sqrt{x}\leq 0$ et il s’ensuit que $0\leq \sqrt{x}-P_{n+1}(x).$

Conclusion. Il vient d’être établi que pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x\in[0,1]\, 0\leq \sqrt{x}-P_n(x).$

Etablissez la positivité $\forall n\in\N, \forall x\in[0,1], \, P_n(x) \geq 0$

Pour tout entier naturel $n$, notez $R(n)$ la propriété suivante : « $\forall x\in[0,1]\, P_n(x) \geq 0$ ».

Initialisation. Pour $n=0.$ Soit $x\in[0,1].$

$P_0 = 0$ donc $P_n(x)=P_0(x) = 0.$ Vous obtenez comme convenu $P_0(x) \geq 0.$

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $R(n)$ soit vérifiée.

Soit $x\in[0,1].$

$P_{n+1}(x) = P_n(x)+\frac{(\sqrt{x}-P_n(x))(\sqrt{x}+P_n(x))}{2}.$

Le réel $\sqrt{x}-P_n(x)$ est positif d’après le paragraphe précédent.

D’autre part, par hypothèse de récurrence, $P_n(x)$ est positif. Or $\sqrt{x}$ est positif. Par somme, le réel $\sqrt{x}+P_n(x)$ est positif.

Vous déduisez que le réel $\frac{(\sqrt{x}-P_n(x))(\sqrt{x}+P_n(x))}{2}$, par produit et par quotient, est positif.

Comme $P_n(x)$ est positif, par somme, vous déduisez que $P_{n+1}(x)$ est positif.

Conclusion. Il vient d’être établi que pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x\in[0,1]\, P_n(x)\geq 0.$

Vers la convergence uniforme

Dans la démonstration de l’hérédité, il a été vu par calculs que $\forall n\in\N, \forall x\in[0,1]\, \sqrt{x}-P_{n+1}(x) = (\sqrt{x}-P_n(x))\left(1-\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2}\right).$

Soit maintenant $n$ un entier naturel fixé et $x$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0,1].$

La positivité de $P_n(x)$ permet d’écrire que $\frac{\sqrt{x}}{2} \leq \frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2}$, du coup, $1-\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2} \leq 1-\frac{\sqrt{x}}{2}.$

Comme le réel $\sqrt{x}-P_n(x)$ est positif, en multipliant, le sens de l’inégalité précédente reste inchangé et fournit :

$\begin{aligned} \sqrt{x}-P_{n+1}(x) &\leq (\sqrt{x}-P_n(x))\left(1-\frac{\sqrt{x}+P_n(x)}{2}\right)\\ &\leq (\sqrt{x}-P_n(x))\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)\\\end{aligned}$

Vous allez maintenant procéder par récurrence.

Pour tout entier naturel $n$, notez $S(n)$ la propriété : « $\forall x\in[0,1]\, \sqrt{x}-P_n(x) \leq \sqrt{x}\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^n$ ».

Initialisation. Pour $n=0.$ Soit $x\in[0,1].$

$\sqrt{x}-P_n(x) = \sqrt{x}-P_0(x) = \sqrt{x}-0 = \sqrt{x}.$

$\sqrt{x}\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^n = \sqrt{x}\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^0 = \sqrt{x}\times 1 = \sqrt{x}.$

L’initialisation est acquise.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $S(n)$ soit vérifiée.

Soit $x\in[0,1].$ Comme $\sqrt{x}\leq 1$ vous déduisez $\frac{\sqrt{x}}{2}\leq \frac{1}{2}$ donc $1-\frac{\sqrt{x}}{2}\geq \frac{1}{2}.$ Le réel $1-\frac{\sqrt{x}}{2}$ est positif.

De l’inégalité $\sqrt{x}-P_n(x) \leq \sqrt{x}\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^n$ vous multipliez par $1-\frac{\sqrt{x}}{2}$ et vous aboutissez au résultat suivant :

$\begin{aligned} \sqrt{x}-P_{n+1}(x) &\leq (\sqrt{x}-P_n(x))\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)\\&\leq \sqrt{x}\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^n \left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)\\&\leq \sqrt{x}\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^{n+1}.\end{aligned}$

Concluez. Pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x\in[0,1]\, \sqrt{x}-P_{n}(x) \leq \sqrt{x}\left(1-\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^n.$

Pour $n\geq 1$, étudiez la fonction $t\mapsto t\left(1-\frac{t}{2}\right)^n$

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1.$

Pour tout réel $t\in[0,1]$ posez $f(t) = t\left(1-\frac{t}{2}\right)^n.$

Soit $t\in[0,1]$, alors :

$\begin{aligned} f'(t) &= \left(1-\frac{t}{2}\right)^n -\frac{tn}{2}\left(1-\frac{t}{2}\right)^{n-1}\\&=\left(1-\frac{t}{2}\right)^{n-1} \left[1-\frac{t}{2}-\frac{tn}{2}\right]\\&=\left(1-\frac{t}{2}\right)^{n-1} \left[\frac{2-t(n+1)}{2}\right]\\\end{aligned}$

Le réel $1-\frac{t}{2}$ est positif, donc le réel $\left(1-\frac{t}{2}\right)^{n-1}$ l’est aussi.

Il en résulte que $f'(t)$ est négatif si $t\in \left[0, \frac{2}{n+1}\right]$ et que $f'(t)$ est négatif si $ t\in \left[\frac{2}{n+1}, 1\right].$

Il est donc établi que $\forall t\in[0,1]\, f(t)\leq f\left(\frac{2}{n+1}\right) \leq \frac{2}{n+1}\left(1-\frac{\frac{2}{n+1}}{2}\right)^n \leq \frac{2}{n+1}.$

La dernière inégalité vient du fait que $0\leq 1-\frac{\frac{2}{n+1}}{2} \leq 1$ et par suite le réel $\left(1-\frac{\frac{2}{n+1}}{2}\right)^n$ est majoré par $1.$

Et la convergence uniforme

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1.$

Soit $x\in[0,1].$ Vous réutilisez la fonction $f$ : $t\mapsto t\left(1-\frac{t}{2}\right)^n$ qui admet un maximum égal à $\frac{2}{n+1}$ sur l’intervalle $[0,1]$. Or $\sqrt{x}\in[0,1]$. D’après les deux paragraphes précédents :

$\sqrt{x}-P_{n}(x) \leq f(\sqrt{x}) \leq \frac{2}{n+1}.$

Or, $\sqrt{x}-P_{n}(x) $ est positif.

Donc le réel $\left\lvert \sqrt{x}-P_{n}(x) \right\rvert$ est majoré par $\frac{2}{n+1}.$

L’ensemble $A_n = \left\{\left\lvert \sqrt{x}-P_{n}(x) \right\rvert, x\in[0,1] \right\}$ est donc majoré par $\frac{2}{n+1}.$

Cet ensemble est non vide puisqu’il contient $\sqrt{0}-P_n(0)$ par suite il admet une borne supérieure qui vérifie l’inégalité $\mathrm{Sup} A_n \leq \frac{2}{n+1}.$

Or, $\lim_{n\to +\infty}\frac{2}{n+1} = 0$, cela prouve que la suite de polynômes $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers la fonction $x\mapsto \sqrt{x}.$

Visualisez graphiquement !

Vous souhaitez voir les courbes représentatives des premiers polynômes ? Voir s’ils sont utilisables en pratique ? Allez vous faire votre idée dans l'article 175.

Prolongement

Pourriez-vous expliciter une suite de polynômes qui converge uniformément sur l’intervalle $[-1,1]$ vers la fonction valeur absolue $x\mapsto \vert x \vert$ ?

175. Visualisez la convergence uniforme d’une suite de polynômes vers la racine carrée

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 27/10/202128/10/2021| Niveau Prépa

Considérez la suite de polynômes définie par $P_0 = 0$ et $\forall n\in\N, P_{n+1} = P_n + \frac{X-P_n^2}{2}.$

Alors cette suite converge uniformément vers la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ sur l’intervalle $[0,1].$

Autrement dit, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un entier naturel $N$ tel que $\forall n\geq N$ et $\forall x\in [0,1], \left\lvert P_n(x) – \sqrt{x} \right\rvert \leq \varepsilon.$

Calculez les premiers polynômes

Il s’avère que :

$\begin{aligned} P_1 &= \frac{X}{2}\\P_2 &= X-\frac{X^{2}}{8}\\P_3 &= \frac{3 X}{2}- \frac{5 X^{2}}{8}+ \frac{X^{3}}{8}- \frac{X^{4}}{128}\\P_4 &= 2 X- \frac{7 X^{2}}{4} + \frac{17 X^{3}}{16} – \frac{25 X^{4}}{64} + \frac{23 X^{5}}{256} – \frac{13 X^{6}}{1024} + \frac{X^{7}}{1024} – \frac{X^{8}}{32768}.\end{aligned}$

Les calculs devenant de plus en plus lourds, le reste de la suite ne sera pas explicité.

Visualisez graphiquement le résultat

Ci-dessous vous verrez le tracé des courbes bleues représentant les fonctions polynômes $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ ainsi que la racine carrée $x\mapsto \sqrt{x}$ en rouge.

27/10/2021 - Convergence uniforme de polynomes vers la racine carree

Le graphique laisse à penser que la vitesse de convergence est lente.

Prolongement

Vous souhaitez avoir une démonstration de cette convergence uniforme ? Rendez-vous dans l'article 176.

174. Les coefficients de Bézout par l’algorithme d’Euclide étendu renversé

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 18/10/202110/10/2023| Niveau Prépa, Niveau Terminale

Comment allez-vous calculer le PGCD noté $d$ de $230$ et de $42$ ? Comment allez-vous déterminer deux entiers $a$ et $b$ tels que $230a+46b = d$ ? Pour rappel, ces nombres sont appelés coefficients de Bézout.

Utilisez des divisions euclidiennes successives

Divisez $230$ par $42$. Vous pouvez partir de $5\times 50 = 250$ donc $5\times 42 = 5(50-8) = 250-40 = 210.$

Ce qui fournit $230 = 5\times 42 + 20.$

Vous inscrivez ce résultat dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|} \hline 230 & \\ \hline 42 & 5 \\ \hline 20 & \\ \hline \end{array}

Ce tableau ayant la structure suivante :

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{dividende} & \\ \hline \text{diviseur} & \text{quotient} \\ \hline \text{reste} & \\ \hline \end{array}

Remarquez que les divisions euclidiennes préservent le PGCD

Notez $d=\mathrm{PGCD}(230,42).$

Alors $d\mid 230$ et $d\mid 42$, donc $d\mid 230$ et $d\mid 5\times 42$, donc par différence $d\mid 20.$

Comme $d\mid 42$ et $d \mid 20$, vous déduisez $d\leq \mathrm{PGCD}(42,20).$

Notez $d’=\mathrm{PGCD}(42,20).$

Comme $d’\mid 42$ et $d’\mid 20$, vous déduisez $d’\vert 5\times 42$ et $d’\mid 20$ donc par somme $d’\mid 230.$

Comme $d’\mid 42$ et $d’\mid 230$ vous en tirez que $d’\leq \mathrm{PGCD}(230,42).$

De $d\leq d’$ et $d’\leq d$ vous déduisez $d=d’$ soit $\mathrm{PGCD}(230,42) = \mathrm{PGCD}(42,20).$

Analyse : comprenez la structure des coefficients de Bézout

Supposez que vous avez trouvé deux entiers $a$ et $b$ tels que $\mathrm{PGCD}(42,20) = 42a+20b.$

Vous inscrivez ces nombres dans une troisième colonne supplémentaire.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & &\\ \hline 42 & 5 &b\\ \hline 20 & & a\\ \hline \end{array}

Vous cherchez un nombre $c$ tel que $230b+42c = \mathrm{PGCD}(230,43) = \mathrm{PGCD}(42,20)$ de façon à remplir la case manquante à côté de $230.$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & &c\\ \hline 42 & 5 &b\\ \hline 20 & & a\\ \hline \end{array}

Remarquez que :

\begin{align*} \mathrm{PGCD}(230,43) &= 230b+42c\\ &= (5\times 42 + 20)b+42c\\ &= 42(5b + c) +20b. \end{align*}

Or, vous avez déjà la relation $42a+20b = \mathrm{PGCD}(42,20) = \mathrm{PGCD}(230,43).$

Cela conduit à choisir $c$ pour que $5b+c = a$, soit $c = a-5b.$

Synthèse : la construction des coefficients de Bézout du bas vers le haut

Supposez donc que vous avez trouvé deux réels $a$ et $b$ tels que $42a+20b = d.$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & &\\ \hline 42 & 5 &b\\ \hline 20 & & a\\ \hline \end{array}

Vous posez $c = a-5b.$

Alors vous obtenez successivement :

\begin{align*} d &= 42a+20b\\ &=42a+(230-5\times 42)b\\ &=42(a-5b)+230b\\ &=230b+42c. \end{align*}

Visualisez le cas général

Soient $A$ et $B$ deux nombres entiers avec $B>0.$

Vous effectuez la division euclidienne de $A$ par $B$ et déduisez l’existence d’un quotient $Q$ entier et d’un reste $R$ positif strictement inférieur à $B$ tels que : $A=BQ+R.$

En suivant le même raisonnement que celui opéré ci-dessus, vous avez $\mathrm{PGCD}(A,B) = \mathrm{PGCD}(B,R).$ Notez-le $D$.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A & & c\\ \hline B & Q &b\\ \hline R & & a\\ \hline \end{array}

Supposez que vous avez trouvé deux coefficients de Bézout tels que $aB + bR = D.$

Vous posez $\boxed{c = a-bQ.}$

Vous avez successivement :

\begin{align*} D &= aB+bR\\ &=aB+b(A-BQ)\\ &=(a-bQ)B+bA\\ &=bA + cB. \end{align*}

Ainsi, à chaque étape, vous avez les coefficients de Bézout.

Concluez sur l’exemple complet

Pour calculer le PGCD entre $230$ et $42$ et trouver deux coefficients de Bézout associés, vous effectuez la suite des divisions euclidiennes jusqu’à trouver un reste nul.

\begin{align*} 230 &= 5\times 42 + 20\\ 42 &= 2\times 20 + 2\\ 20 &= 10\times 2 +0. \end{align*}

Si bien que $d = \mathrm{PGCD}(230,42)=2.$

Le PGCD est l’avant-dernier nombre du bas se trouvant dans la première colonne du tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & \\ \hline 42 & 5 \\ \hline 20 & 2 \\ \hline 2 & 10 \\ \hline 0 & \\ \hline \end{array}

Vous placez le $1$ et le $0$ en bas du tableau comme suit pour que la relation de Bézout fournisse $d = 1\times 2 + 0\times 0.$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & &\\ \hline 42 & 5 &\\ \hline 20 & 2 &\\ \hline 2 & 10 & 0\\ \hline 0 & & 1 \\ \hline \end{array}

Le coefficient du dessus se calcule en effectuant $1-10\times 0 = 1.$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & & \\ \hline 42 & 5 & \\ \hline 20 & 2 & 1 \\ \hline 2 & 10 & 0\\ \hline 0 & & 1 \\ \hline \end{array}

Le coefficient du dessus se calcule en effectuant $0-2\times 1 = -2.$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & & \\ \hline 42 & 5 & -2 \\ \hline 20 & 2 & 1 \\ \hline 2 & 10 & 0\\ \hline 0 & & 1 \\ \hline \end{array}

Le coefficient du dessus se calcule en effectuant $1-5\times (-2) = 11.$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 230 & & 11\\ \hline 42 & 5 & -2 \\ \hline 20 & 2 & 1 \\ \hline 2 & 10 & 0\\ \hline 0 & & 1 \\ \hline \end{array}

Conclusion : vous obtenez $\boxed{2 = \mathrm{PGCD}(230,42) = -2\times 230+11\times 42.}$

Cela fonctionne bien : $2\times 230 = 460$ et $11\times 42 = 462.$

Prolongement

Vous souhaitez savoir pourquoi les coefficients de Bézout existent ? Reportez-vous à une preuve directe qui se trouve dans le contenu rédigé dans l'article 308.

173. Décomposez une fraction rationnelle réelle en éléments simples

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 15/10/202117/10/2021| Niveau Prépa

Soit à décomposer dans $\R(X)$ la fraction rationnelle suivante : $F = \frac{X^5}{(X^2-1)(X^2+X+1)^2}.$

Comme vous l’avez déjà effectué dans l'article 172 et dans l'article 171, vous allez séparer les parties polaires.

L’objectif de cet article est de montrer l’existence de la décomposition. Vous verrez que les calculs seront techniques. Cela ne doit pas vous rebuter, c’est au contraire un excellent exercice pour développer vos compétences et votre concentration. En effet, mener à bien de tels calculs sans commettre d’erreur est un exercice qui nécessite patience.

Il s’agit de décomposer le dénominateur en produit de polynômes irréductibles de $\R[X].$ Le polynôme $X^2-1$ n’est pas irréductible puisqu’il s’annule quand $X=1$ par exemple. Il se factorise ainsi $X^2-1 = (X-1)(X+1)$ si bien que le dénominateur est égal à $(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2.$

Séparez les parties polaires

Séparation de la première partie du reste

Le premier objectif est de trouver deux polynômes $U$ et $V$ tels que $X^5 = U(X-1)+V(X+1)(X^2+X+1)^2$ en respectant les conditions de degré $\mathrm{deg}(U) < 5$ et $\mathrm{deg}(V)<1.$

Ces conditions sont posées pour traiter des fractions rationnelles sans partie entière.

En effet, la fraction $\frac{X^5}{(X^2-1)(X^2+X+1)^2}$ de départ n’en a pas puisque le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. De même, en divisant la relation $X^5 = U(X-1)+V(X+1)(X^2+X+1)^2$ par le produit $(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2$ vous obtiendrez $\frac{X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{U}{(X+1)(X^2+X+1)^2}+ \frac{V}{X-1}$ et chaque partie polaire n’a aucune partie entière.

Construire les polynômes $U$ et $V$ de façon constructive est chose délicate.

Vous allez d’abord construire deux polynômes $A$ et $B$ vérifiant $1 = A(X-1)+B(X+1)(X^2+X+1)^2$ mais sans tenir compte de la contrainte du degré dans un premier temps.

L’algorithme d’Euclide étendu est la clé pour y parvenir.

Développez d’abord :

$\begin{aligned} (X+1)(X^2+X+1)^2 &= (X+1)(X^4+X^2+1+2X^3+2X^2+2X)\\&= (X+1)(X^4+2X^3+3X^2+2X+1)\\&= X^5+2X^4+3X^3+2X^2+X\\ &\quad+X^4+2X^3+3X^2+2X+1\\&= X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1.\end{aligned}$

Puis appliquez l’algorithme.

$\begin{aligned} X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1 &= 0(X-1)+1(X+1)(X^2+X+1)^2 &(L_1)\\X-1 &= 1(X-1)+0(X+1)(X^2+X+1)^2 &(L_2)\end{aligned}$

La division euclidienne de $X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1$ par $X-1$ s’obtient successivement :

$\begin{aligned} X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1 &= (X-1)(X^4)+X^4+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1\\&= (X-1)(X^4)+4X^4+5X^3+5X^2+3X+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3)+4X^3+5X^3+5X^2+3X+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3)+9X^3+5X^2+3X+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2)+9X^2+5X^2+3X+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2)+14X^2+3X+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X)+14X+3X+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X)+17X+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X+17)+17+1\\&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X+17)+18.\\\end{aligned}$

Effectuez maintenant l’opération $L_1-(X^4+4X^3+9X^2+14X+17)L_2$ :

$18 = (-X^4-4X^3-9X^2-14X-17)(X-1)+1(X+1)(X^2+X+1)^2.$

En multipliant par $X^5$, vous obtenez la relation :

$18X^5 = (-X^9-4X^8-9X^7-14X^6-17X^5)(X-1)+X^5(X+1)(X^2+X+1)^2.$

Les degrés ne vont plus, puisque $\mathrm{deg}(X^5) \geq \mathrm{deg}(X-1).$

Pour éviter ce problème, vous effectuez à nouveau une division euclidienne, celle de $X^5$ par $X-1.$

$\begin{aligned} X^5 &= (X^4)(X-1)+X^4\\ &= (X^4+X^3)(X-1)+X^3\\&= (X^4+X^3+X^2)(X-1)+X^2\\&= (X^4+X^3+X^2+X)(X-1)+X\\&= (X^4+X^3+X^2+X+1)(X-1)+1.\\\end{aligned}$

Cela permet d’écrire que :

$\begin{aligned} 18X^5 &= (-X^9-4X^8-9X^7-14X^6-17X^5)(X-1)+\left[ (X^4+X^3+X^2+X+1)(X-1)+1\right](X+1)(X^2+X+1)^2\\&=\left[-X^9-4X^8-9X^7-14X^6-17X^5 + (X^4+X^3+X^2+X+1)(X+1)(X^2+X+1)^2\right](X-1)+(1)(X+1)(X^2+X+1)^2.\end{aligned}$

Il reste à développer un polynôme :

$\begin{aligned} (X^4+X^3+X^2+X+1)(X+1)(X^2+X+1)^2 &= (X^4+X^3+X^2+X+1)(X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1)\\&= X^9+3X^8+5X^7+5X^6+3X^5+X^4\\&\quad +X^8+3X^7+5X^6+5X^5+3X^4+X^3\\&\quad +X^7+3X^6+5X^5+5X^4+3X^3+X^2\\&\quad +X^6+3X^5+5X^4+5X^3+3X^2+X\\&\quad +X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1\\&=X^9+4X^8+9X^7+14X^6+17X^5+17X^4+14X^3+9X^2+4X+1.\end{aligned}$

Si bien que :

$18X^5 =(17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(X-1)+(1)(X+1)(X^2+X+1)^2.$

Du coup, en divisant, vous obtenez :

$\boxed{\frac{18X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{17X^4+14X^3+9X^2+4X+1}{(X+1)(X^2+X+1)^2}+\frac{1}{X-1}.}$

Séparation de la dernière partie polaire

Vous cherchez d’abord deux polynômes $A$ et $B$ pour que $1 = A(X+1)+B(X^2+X+1)^2.$

Comme $(X^2+X+1)^2 = X^4+2X^3+3X^2+2X+1$, vous effectuez la division euclidienne de ce polynôme par $X+1.$

$\begin{aligned} X^4+2X^3+3X^2+2X+1 &= X^3(X+1) +X^3+3X^2+2X+1\\&=(X^3+X^2)(X+1) +2X^2+2X+1\\&=(X^3+X^2+2X)(X+1) +1.\end{aligned}$

Partez des égalités :

$\begin{aligned} X^4+2X^3+3X^2+2X+1 &= 0(X+1) + 1(X^2+X+1)^2 &(L_1)\\X+1 &= 1(X+1) + 0(X^2+X+1)^2&(L_2)\\\end{aligned}$

vous effectuez $L_1-(X^3+X^2+2X)L_2$ ce qui donne :

$1 = (-X^3-X^2-2X)(X+1)+1(X^2+X+1)^2.$

Les choses délicates commencent. Vous multipliez le tout par $17X^4+14X^3+9X^2+4X+1$ ce qui donne :

$\begin{aligned} 17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(-X^3-X^2-2X)(X+1)\\&\quad + (17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(X^2+X+1)^2.\end{aligned}$

Vous développez le polynôme $(17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(-X^3-X^2-2X)$ :

$\begin{aligned} (17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(-X^3-X^2-2X) &= -17X^7-14X^6-9X^5-4X^4-X^3\\&\quad -17X^6-14X^5-9X^4-4X^3-X^2\\&\quad -34X^5-28X^4-18X^3-8X^2-2X\\&=-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X.\end{aligned}$

Vous avez donc obtenu :

$\begin{aligned} 17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X)(X+1)\\&\quad + (17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(X^2+X+1)^2.\end{aligned}$

Il s’agit d’abaisser le degré trouvé.

Vous divisez donc $17X^4+14X^3+9X^2+4X+1$ par $X+1$ :

$\begin{aligned} 17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= 17X^3(X+1)-3X^3+9X^2+4X+1\\&= (17X^3-3X^2)(X+1)+12X^2+4X+1\\&= (17X^3-3X^2+12X)(X+1)-8X+1\\&= (17X^3-3X^2+12X-8)(X+1)+9.\end{aligned}$

Vous en déduisez que :

$\begin{aligned} 17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X)(X+1)\\&\quad + \left[(17X^3-3X^2+12X-8)(X+1)+9\right](X^2+X+1)^2\\&= (-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X +(17X^3-3X^2+12X-8)(X^2+X+1)^2 )(X+1)+9(X^2+X+1)^2.\end{aligned}$

Il reste à développer le polynôme $(17X^3-3X^2+12X-8)(X^2+X+1)^2$ :

$\begin{aligned} (17X^3-3X^2+12X-8)(X^2+X+1)^2 &=(17X^3-3X^2+12X-8)(X^4+2X^3+3X^2+2X+1)\\&=17X^7-3X^6+12X^5-8X^4\\&\quad +34X^6-6X^5+24X^4-16X^3\\&\quad +51X^5-9X^4+36X^3-24X^2\\&\quad +34X^4-6X^3+24X^2-16X\\&\quad +17X^3-3X^2+12X-8\\&=17X^7+31X^6+57X^5+41X^4+31X^3-3X^2-4X-8.\end{aligned}$

Ainsi :

$\begin{aligned} 17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (-23X^3-9X^2-2X +31X^3-3X^2-4X-8)(X+1)+9(X^2+X+1)^2\\&= (8X^3-12X^2-6X-8)(X+1)+9(X^2+X+1)^2.\end{aligned}$

Du coup, en divisant, vous obtenez :

$\boxed{\frac{17X^4+14X^3+9X^2+4X+1}{(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2}+\frac{9}{X+1}.}$

Calculez la partie polaire qui correspond au terme de seconde espèce

Le terme $\frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2}$ doit être décomposé.

Pour y parvenir, vous effectuez la division euclidienne de $8X^3-12X^2-6X-8$ par $X^2+X+1$ :

$\begin{aligned} 8X^3-12X^2-6X-8 &= 8X(X^2+X+1)-20X^2-14X-8\\&=(8X-20)(X^2+X+1)+6X+12.\\\end{aligned}$

Divisez le tout par $(X^2+X+1)^2$ et vous obtenez :

$\boxed{\frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2} = \frac{8X-20}{X^2+X+1}+\frac{6X+12}{(X^2+X+1)^2}.}$

Concluez

Quand vous mettez tous les calculs intermédiaires bout à bout, vous obtenez :

$\begin{aligned} \frac{18X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} &= \frac{17X^4+14X^3+9X^2+4X+1}{(X+1)(X^2+X+1)^2}+\frac{1}{X-1}\\&= \frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2}+\frac{9}{X+1}+\frac{1}{X-1}\\&= \frac{8X-20}{X^2+X+1}+\frac{6X+12}{(X^2+X+1)^2}+\frac{9}{X+1}+\frac{1}{X-1}.\end{aligned}$

D’où finalement :

$\begin{aligned} \frac{X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} &= \frac{8X-20}{18(X^2+X+1)}+\frac{6X+12}{18(X^2+X+1)^2}\\&\quad +\frac{9}{18(X+1)}+\frac{1}{18(X-1)}\\&= \frac{4X-10}{9(X^2+X+1)}+\frac{X+2}{3(X^2+X+1)^2}\\&\quad +\frac{1}{2(X+1)}+\frac{1}{18(X-1)}.\end{aligned}$

En une seule ligne cela donne :

$\boxed{\frac{X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{4X-10}{9(X^2+X+1)}+\frac{X+2}{3(X^2+X+1)^2} +\frac{1}{2(X+1)}+\frac{1}{18(X-1)}.}$

172. Décomposez une fraction rationnelle réelle en éléments simples

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 15/10/202117/10/2021| Niveau Prépa

Soit $F$ la fraction rationnelle définie par $F = \frac{1}{(X-1)^2(X^2+1)}.$

Séparez les parties polaires

Vous posez $P = (X-1)^2 = X^2-2X+1$ et $Q = X^2+1.$

Vous pouvez diminuer le degré en remarquant d’abord que $Q-P = 2X.$

Pour continuer d’abaisser le degré, vous pouvez vous baser sur l’algorithme de la division euclidienne. Vous partez de $Q$, de degré $2$ et utilisez $Q-P$ qui est de degré $1$ pour former un polynôme constant.

Partez de $2Q = 2X^2+2.$

Comme $X(Q-P)=2X^2$, par soustraction, vous déduisez $2Q-X(Q-P) = 2$, soit $XP+(2-X)Q = 2.$

Divisez le tout par le produit $PQ$, vous obtenez :

$\frac{2}{PQ} = \frac{2-X}{P}+\frac{X}{Q}.$

Les parties polaires sont maintenant séparées :

$\boxed{\frac{2}{(X-1)^2(X^2+1)} = \frac{2-X}{(X-1)^2}+\frac{X}{X^2+1}.}$

Décomposez toutes les parties polaires

La partie $\frac{X}{X^2+1}$ est constituée d’un polynôme de degré $1$, divisé par un polynôme de degré $2$ comportant un discriminant strictement négatif : c’est un terme de seconde espèce, il n’y a rien à décomposer.

La partie $\frac{2-X}{(X-1)^2}$ est constituée d’un dénominateur formé par un polynôme de degré $1$ mis au carré, alors que le numérateur est de degré $1.$ Ce n’est donc ni pas un terme de première espèce.

Pour le convertir, vous allez utiliser la division euclidienne de $2-X$ par $X-1.$

De $2-X = -(X-1)+1$, vous déduisez en divisant par $(X-1)^2$ que $\frac{2-X}{(X-1)^2} =\frac{-1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}.$

Concluez

Les éléments précédents étant mis bout à bout, vous déduisez successivement que :

$\frac{2}{(X-1)^2(X^2+1)} =\frac{-1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2} +\frac{X}{X^2+1}$

$\boxed{\frac{1}{(X-1)^2(X^2+1)} =\frac{-1}{2(X-1)}+\frac{1}{2(X-1)^2} +\frac{X}{2(X^2+1)}.}$

171. Décomposez une fraction rationnelle en éléments simples

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 06/10/202112/10/2021| Niveau Prépa

Soit $F = \frac{X^2}{X^4+X^2+1}$. Il s’agit de trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F$ dans $\R(X).$

La méthode utilisée est générale, elle utilise dans cet ordre :

une décomposition du dénominateur comme produit de polynômes irréductibles ;
déterminer les polynômes de Bezout relativement à ces polynômes ;
multiplier la relation obtenue par le numérateur ;
retrouver les polynômes de Bezout.

On rappelle que lorsque $P$ et $Q$ sont deux polynômes irréductibles, une bonne relation de Bezout est une relation de la forme $AP+BQ$ mais avec $\mathrm{deg}(A) < \mathrm{deg}(Q)$ et $\mathrm{deg}(B) < \mathrm{deg}(P).$

En effet, si on note $N = AP+BQ$, alors la fraction $\frac{N}{PQ}$ sera égale à $\frac{A}{Q}+\frac{B}{P}.$

Dans toute décomposition en éléments simples, le degré du numérateur doit être strictement inférieur au degré du polynôme irréductible se trouvant au dénominateur.

Factorisez le dénominateur

Le polynôme réel $X^4+X^2+1$ est de degré 4, c’est donc le produit de deux polynômes réels de degré 2.

En effet :

$\begin{aligned} X^4+X^2+1 &= X^4+2X^2+1-X^2\\&= (X^2+1)^2-X^2\\&=(X^2+X+1)(X^2-X+1).\end{aligned}$

Déterminez les coefficients de Bezout

Vous avez :

$\begin{aligned} X^2+X+1 &= 1(X^2+X+1)+0(X^2-X+1)\\X^2-X+1 &= 0(X^2+X+1)+1(X^2-X+1)\\\end{aligned}$

Du coup, par soustraction vous obtenez $2X = 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1).$

Reprenez ce que vous avez obtenu :

$\begin{aligned} X^2+X+1 &= 1(X^2+X+1)+0(X^2-X+1) & (L_1)\\2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_2)\\\end{aligned}$

Multipliez par première ligne par $2.$

$\begin{aligned} 2X^2+2X+2 &= (2)(X^2+X+1)+(0)(X^2-X+1) & (L_1)\\2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_2)\\\end{aligned}$

Effectuez la soustraction $L_1\leftarrow L_1-L_2.$

$\begin{aligned} 2X+2 &= (2-X)(X^2+X+1)+(X)(X^2-X+1) & (L_3)\\2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_4)\\\end{aligned}$

Effectuez la soustraction $L_3-L_4.$

$2 = (1-X)(X^2+X+1)+(X+1)(X^2-X+1).$

$\begin{aligned} 1 = \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{2}X \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)(X^2-X+1).\end{aligned}$

Obtenez les coefficients de Bezout pour $X^2$

Multipliez la relation précédente par $X^2$, ce qui vous donne :

$\begin{aligned} X^2&= \left( \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1).\end{aligned}$

Le degré du polynôme $\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3$ dépasse celui de $X^2-X+1.$

Vous effectuez une division euclidienne afin de rabaisser le degré.

$\begin{aligned} \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 – 0(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3\\\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 + \left(\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^3-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}X \\\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 + \left(\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X \\\end{aligned}$

Donc $\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 =\frac{1}{2}X + \left(-\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1).$

En substituant vous obtenez successivement :

$\begin{aligned} X^2&= \left( \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\&=\left( \frac{1}{2}X + \left(-\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\&=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left(-\frac{1}{2}X \right)(X^2-X+1)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\&=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left[\left(-\frac{1}{2}X \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)\right](X^2-X+1)\\&=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left[-\frac{1}{2}X \right](X^2-X+1)\\\end{aligned}$

Concluez

En divisant l’égalité précédente par le produit $(X^2+X+1)(X^2-X+1)$ vous obtenez le résultat final :

$\boxed{\frac{X^2}{X^4+X^2+1}= \frac{-X}{2(X^2+X+1)}+\frac{X}{2(X^2-X+1)}.}$

Note. Le lecteur consciencieux aurait remarqué qu’il pourrait arriver beaucoup plus vite à ce résultat, dans cet exemple précis.

En effet :

$2X = (X^2+X+1)-(X^2-X+1)$ donc en divisant :

$\frac{2X}{X^4+X^2+1} = \frac{1}{X^2-X+1}-\frac{1}{X^2+X+1}$ puis après multiplication par $X$ :

$\frac{2X^2}{X^4+X^2+1} = \frac{-X}{X^2+X+1}+\frac{X}{X^2-X+1}$ ce qui donne le résultat après division par $2$.

170. Résolvez l’équation réelle de degré 4 dans le cas général sans utiliser la méthode de Ferrari

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 03/10/202112/05/2024| Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Soit $(a,b,c,d)\in\R^4$ un quadruplet de nombres réels. Considérez l’équation suivante du quatrième degré, $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ d’inconnue $x\in\R.$

Elle se résout en se ramenant à la résolution de deux polynômes de degré $2$.

En effet, vous allez prouver dans cette section qu’il existe $(p,q,r,s)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2.$

Cet article se situe dans le prolongement de la méthode de Ferrari, décrite dans l'article 169.

Prouvez l’existence

Pour tout réel $x$, notez $P(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d.$

1er cas : si $P$ admet une racine réelle

Il existe un nombre $u\in\R$ tel que $P(u)=0.$

Par suite $u^4+au^3+bu^2+cu+d=0.$

Du coup, pour tout réel $x$ :

\begin{align*} P(x) &= x^4+ax^3+bx^2+cx+d\\ &= x^4+ax^3+bx^2+cx+d - u^4-au^3-bu^2-cu-d\\ &= (x^4-u^4)+a(x^3-u^3)+b(x^2-u^2)+c(x-u)\\ &= (x-u)(x^3+x^2u+xu^2+u^3)\\ &\quad +a(x-u)(x^2+ux+u^2)\\ &\quad +b(x-u)(x+u)\\ &\quad +c(x-u)\\ &= (x-u)\left[x^3+x^2u+xu^2+u^3 + a(x^2+ux+u^2)+ b(x+u)+c\right]. \end{align*}

Pour tout réel $x$, notez $Q(x) = x^3+x^2u+xu^2+u^3 + a(x^2+ux+u^2)+ b(x+u)+c.$

La fonction $Q$ est une fonction réelle polynomiale de degré 3, continue sur $\R$, de sorte que $\lim_{x\to +\infty} = +\infty$ et $\lim_{x\to -\infty} = -\infty.$ Par application du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $v$ tel que $Q(v) = 0.$

Vous déduisez en utilisant un calcul similaire à celui effectué ci-dessus qu’il existe deux réels $k$ et $\ell$ tels que, pour tout réel $x$, $Q(x) = (x-v)(x^2+kx+\ell).$

L’ensemble étant mis bout à bout, vous déduisez que $\forall x\in\R, P(x) = (x-u)(x-v)(x^2+k x+\ell).$

Notez $k’ = -u-v$ et $\ell’ = uv$, vous obtenez que $\forall x\in\R, P(x) = (x^2+kx+\ell)(x^2+k’x+\ell’).$

2ème cas : si $P$ n’admet aucune racine réelle

Dans ce cas vous invoquez le théorème de d’Alembert-Gauss, qui affirme l’existence d’un nombre complexe $u$, non réel, tel que $P(u)=0.$

Vous déduisez l’existence d’un polynôme $Q$, à coefficients complexes, unitaire et de degré 3, tel que $\forall z\in\C, P(z)=(z-u)Q(z).$

L’écriture $P(u)=0$ fournit $u^4+au^3+bu^2+cu+d=0$. Comme $(a,b,c,d)\in\R^4$, en conjuguant, vous obtenez la relation suivante $\overline{u}^4+a\overline{u}^3+b\overline{u}^2+c\overline{u}+d = 0.$ Autrement dit, $P(\overline{u})=0.$

Donc $(\overline{u}-u)Q(\overline{u})=0.$ Comme $u$ n’est pas réel, $u\neq \overline{u}$ donc $Q(\overline{u})=0.$

Vous déduisez donc l’existence d’un polynôme complexe $R$ unitaire et de degré 2 tel que $\forall z\in\C, Q(z) = (z-\overline{u})R(z)$, avec existence de $k’\in\C$ et de $\ell’\in\C$ tels que $\forall z\in\C, R(z)=z^2+k’z+\ell’.$

Ainsi vous avez obtenu que $\forall z\in\C, P(z)=(z-u)(z-\overline{u})R(z).$

Posez $k = -u-\overline{u}$ et $\ell = u\overline{u}.$ Les nombres $k$ et $\ell$ sont des réels et vérifient $\forall z\in\C, P(z) = (z^2+kz+\ell)R(z).$

Il s’agit maintenant de comprendre pourquoi le polynôme $R$ est en réalité à coefficients réels.

Notez que $\forall x\in\R, P(x) = (x^2+kx+\ell)R(x).$

Or, $\forall x\in\R, x^2+kx+\ell = (x-u)(x-\overline{u}).$ Par suite, $x^2+kx+\ell$ ne peut être nul si $x$ est réel, sinon $x\in\{u, \overline{u}\}$ ce qui serait absurde. Donc $\forall x\in\R, x^2+kx+\ell \neq 0$ ce qui permet d’écrire que $\forall x\in\R, R(x)=\frac{P(x)}{x^2+kx+\ell}.$

En particulier, vous déduisez que $\forall x\in\R, R(x)\in\R.$

Donc $\forall x\in\R, x^2+k’x+\ell’\in\R.$

Choisissez $x=0$, vous obtenez $\ell’\in \R.$

Choisissez maintenant $x=1$, vous obtenez $1+k’+\ell’ \in \R.$ Comme $\ell’ = (1+k’+\ell’)-1-k’$ et que $1\in\R$, $k’\in\R$ et $1+k’+\ell’\in\R$, vous déduisez $\ell’\in\R.$

Concluez sur l’existence

De ce qui précède vous avez obtenu l’existence d’un quadrulplet de réels $(k,k’,\ell,\ell’)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, P(x)=(x^2+kx+\ell)(x^2+k’x+\ell’).$

Notez alors $p = \frac{k+k’}{2}$, $q=\frac{\ell+\ell’}{2}$, $r=\frac{k-k’}{2}$ et $s=\frac{\ell-\ell’}{2}.$

Vous avez $(p,q,r,s)\in\R^4$ et les égalités $p+r = k$, $p-r = k’$, $q+s = \ell$ et $q-s=\ell’.$

Du coup, pour tout réel $x$ :

\begin{align*} P(x) &= (x^2+kx+\ell)(x^2+k'x+\ell') \\ &= (x^2+(p+r)x+q+s)(x^2+(p-r)x+q-s)\\ &=((x^2+px+q) + (rx+s))((x^2+px+q)-(rx+s))\\ &=(x^2+px+q)^2-(rx+s)^2. \end{align*}

Cela conclut sur l’existence annoncée.

Comment déterminer les valeurs des réels $p$, $q$, $r$ et $s$ ?

Soit $(a,b,c,d)\in\R^4.$

D’après la section précédente, il existe $(p,q,r,s)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2.$

Développez. Vous obtenez que, pour tout réel $x$ :

\begin{align*} x^4+ax^3+bx^2+cx+d &= (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2 \\ &= x^4+p^2x^2+q^2+2px^3+2qx^2+2pqx-r^2x^2-s^2-2rsx\\ &=x^4+2px^3+(p^2+2q-r^2)x^2+(2pq-2rs)x+q^2-s^2. \end{align*}

Par identification des coefficients, les relations suivantes sont obtenues :

\left\{\begin{align*} 2p &=a\\ p^2+2q-r^2 &= b\\ 2pq-2rs &=c\\ q^2-s^2 &=d. \end{align*}\right.

Pas le choix pour le réel $p$, vous avez nécessairement $p=\frac{a}{2}.$

Comme $4p^2 = a^2$, vous multipliez la relation $p^2+2q-r^2 = b$ par $4$, pour obtenir $4p^2+8q-4r^2 = 4b$, soit $a^2+8q-4r^2 = 4b$ ce qui fournit $8q = 4b+4r^2-a^2.$

Notez que si $r$ est connu, le réel $q$ est parfaitement connu, il est égal à $q=\frac{4b+4r^2-a^2}{8}.$

Prenez maintenant la relation $2pq-2rs =c$, vous remplacez $2p$ par $a$, ce qui fournit $aq-2rs = c.$ Voulant faire apparaître $8q$, vous multipliez par $8$ et obtenez $8aq-16rs = 8c.$ Remplacez $8q$ par $4b+4r^2-a^2$, vous obtenez $a(4b+4r^2-a^2)-16rs = 8c$ ce qui fournit $16rs =a(4b+4r^2-a^2)-8c.$

Il reste à justifier que le réel $r$ ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs.

Partez de la relation $q^2-s^2 =d$, que vous multipliez par $64$, ce qui donne $64q^2-64s^2 = 64d.$ Comme $8q = 4b+4r^2-a^2$ vous déduisez $64q^2 = (4b+4r^2-a^2)^2$ donc $(4b+4r^2-a^2)^2-64s^2 = 64d.$ Vous multipliez ensuite le tout par $r^2$, d’où $r^2(4b+4r^2-a^2)^2-64r^2s^2 = 64dr^2.$

Multipliez cette relation par $4$, vous obtenez $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2-256r^2s^2 = 256dr^2.$

Or $16rs =a(4b+4r^2-a^2)-8c$ donc $256r^2s^2 = (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2.$

Ainsi vous déduisez $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 = 256dr^2$ soit $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 – 256dr^2 = 0.$

Ainsi, $r^2$ est solution d’une équation polynomiale du troisième degré, qui ne peut avoir que 3 solutions au maximum, soit au maximum 6 candidats pour $r.$

Notez que $s^2=q^2-d$ donc $s^2 = \frac{(4b+4r^2-a^2)^2}{64} – d$, ce qui laisse deux candidats potentiels pour $s.$

Concluez

L’étude effectuée montre que, pour tout $(a,b,c,d)\in\R^4$, le système d’inconnues réelles $p$, $q$, $r$ et $s$ ci-dessous admet au moins une solution.

\left\{\begin{align*} 2p &=a\\ p^2+2q-r^2 &= b\\ 2pq-2rs &=c\\ q^2-s^2 &=d \end{align*}\right.

Pour déterminer une solution qui convient, vous devez choisir $\boxed{p=\frac{a}{2}}$, puis $r$ tel que $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 = 256dr^2$ soit $\boxed{4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 – 256dr^2 = 0}$. Ensuite, vous obtenez $\boxed{q = \frac{4b+4r^2-a^2}{8}}.$

Notez que si $r\neq 0$, la valeur de $s$ est entièrement déterminée puisqu’alors $s=\frac{2pq-c}{2r}.$

Si $r=0$, alors $q = \frac{4b-a^2}{8}$ et par conséquent $s^2 = q^2-d$, ce qui force la positivité de $q^2-d$ et donc $s = \pm \sqrt{\left(\frac{4b-a^2}{8}\right)^2-d}.$

Une fois trouvé les valeurs de $p$, $q$, $r$ et $s$ qui donnent une solution du système, vous résolvez l’équation générale de degré 4, puisque, pour tout réel $x$ :

\begin{align*} x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow (x^2+(p+r)x+q+s)(x^2+(p-r)x+q-s) = 0. \end{align*}

Il vous suffit alors de résoudre respectivement les équations $x^2+(p+r)x+q+s = 0$ et $x^2+(p-r)x+q-s=0$ pour conclure.

169. Vers la résolution de l’équation réelle de degré 4 dans le cas général

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 02/10/202112/10/2021| Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Une équation de degré 4 est de la forme $a_4x^4+a_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0=0$ d’inconnue $x\in\R$ avec $(a_4,a_3,a_2,a_1,a_0)\in\R^5.$

Comme le degré apparent de cette équation est de $4$, c’est que le coefficient $a_4$ est non nul.

En divisant par $a_4$, vous obtenez une équation de la forme $x^4+b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0 = 0.$

Voulant utiliser une identité remarquable, il sera commode de poser $c_3 = \frac{b_3}{2}$ ce qui donne $x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0.$

Cette écriture sera plus commode dans la suite.

Utilisez l’identité remarquable $(u+v)^2=u^2+v^2+2uv$

Pour tout réel $x$, $(x^2+c_3x)^2 = x^4+2c_3x^3+c_3x^2.$

Du coup, pour tout réel $x$ :

$\begin{aligned} x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2-c_3x^2+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0.\end{aligned}$

Utilisez un degré de liberté supplémentaire

Soit $k$ un nombre réel fixé. Remarquez alors que :

$\begin{aligned} x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x+k)^2-k^2-2k(x^2+c_3x)+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x+k)^2 +(c_2-c_3-2k)x^2+(c_1-2kc_3)x+c_0-k^2 = 0\\&\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 +4(c_2-c_3-2k)x^2+4(c_1-2kc_3)x+4c_0-4k^2 = 0.\end{aligned}$

A ce stade, il est important de considérer le trinôme défini par $\forall x\in\R, P(x)=4(c_2-c_3-2k)x^2+4(c_1-2kc_3)x+4c_0-4k^2.$

L’idée de Ferrari consiste à essayer de choisir $k\in\R$ pour que $P$ ait un discriminant nul avec un coefficient dominant strictement négatif.

Afin de traiter convenablement le coefficient dominant, vous posez $\ell = c_2-c_3-2k.$

Alors :

$\begin{aligned} c_1-2kc_3 &= c_1+(\ell-c_2-c_3)c_3\\&=c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2.\end{aligned}$

$\begin{aligned} 4k^2 &= (\ell – c_2+c_3)^2\\&= \ell^2+(-2c_2+2c_3)\ell+c_2^2+c_3^2-2c_2c_3.\end{aligned}$

Si bien que pour tout réel $x$ :

$\begin{aligned} P(x)&=4\ell x^2+4(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)x+4c_0 – \ell^2+(+2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3.\\\end{aligned}$

Vous voulez que le trinôme $P$ ait un discriminant nul, ce qui conduit à avoir :

$\begin{aligned} 16(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= 4 (4\ell) (4c_0 – \ell^2+(2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3)\\ (c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= \ell (4c_0 – \ell^2+(2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3).\end{aligned}$

En développant, la relation s’écrit :
$\begin{aligned} …\ell^2+…\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= -\ell^3+…\ell^2+…\ell\\\ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= 0.\end{aligned}$

Deux cas sont possibles. Si $c_1-c_2c_3-c_3^2$ est nul, vous choisissez $\ell = 0.$

Vous constatez alors que le polynôme $P(x)$ est constant.

La résolution de l’équation de degré 4 s’en déduit selon le signe de cette constante.

$\begin{aligned} x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 +P(x) = 0.\end{aligned}$

Second cas. Le nombre $c_1-c_2c_3-c_3^2$ est non nul. La fonction de degré 3 $\ell\mapsto \ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2$ a une limite égale à $-÷infty$ quand $\ell\to -\infty$ et prend une valeur strictement positive en $0$.

Il existe donc un réel $\ell$ strictement négatif tel que $ \ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 = 0$.

Donc $P(x)$ admet une écriture de la forme $P(x) = -(mx+p)^2$ où $m$ et $p$ sont des réels.

Ainsi l’équation de degré 4 se résout par factorisation puisque, pour tout $x\in\R$ :

$\begin{aligned} x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 -(mx+p)^2 = 0.\end{aligned}$

Epilogue

Cette façon de faire, qui conduit à une disjonction de cas sur la fin et basée sur l’idée de Ferrari indique que tout polynôme unitaire réel de degré 4 admet une écriture sous la forme $(x^2+px+q)^2-(rx+s)^2$ où $(p,q,r,s)\in\R^4.$

C’est cette écriture, qui, à notre avis se révèle être la bonne puisqu’elle évite l’utilisation des nombres complexes. Une nouvelle étude sera faite dans l'article 170, où vous trouverez une justification de l’existence de cette écriture par d’autres moyens puis comment déterminer les candidats potentiels pour enfin trouver dans la pratique cette écriture.

168. Principe de la méthode de Ferrari pour une équation de degré 4

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 02/10/202112/10/2021| Niveau Capes, Niveau Prépa

Considérez une équation réelle de degré 4 ne comportant pas de terme en $x^3$ afin de simplifier les calculs.

Quitte à diviser par le coefficient dominant, vous vous ramenez à traiter l’équation $x^4+2ax^2+bx+c=0$ d’inconnue $x\in\R.$

Si $b$ est nul, vous effectuez le changement de variable $y=x^2$ et vous vous ramenez à résoudre une équation de degré 2. On dit que l’équation est « bicarrée ».

Dans la suite, $b$ sera supposé non nul.

Utilisez l’identité remarquable $(u+v)^2=u^2+v^2+2uv$

La première idée consiste à utiliser le début du développement de $(u+v)^2.$

En effet, $(x^2+a)^2 = x^4+2ax^2+a^2$, du coup, pour tout réel $x$ :

$\begin{aligned} x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a)^2+bx+c-a^2 = 0.\end{aligned}$

Ajoutez un degré de liberté avec l’idée de Ferrari

Soit $k$ un nombre réel qui sera choisi plus tard. Observez la suite d’équivalences :

$\begin{aligned} x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a)^2+bx+c-a^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2-k^2 -2k(x^2+a)+bx+c-a^2 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2+(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = 0\\\end{aligned}$

L’idée de Ferrari consiste à choisir $k$ pour que le polynôme $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka$ ait un discriminant égal à $0.$

Cela conduit à choisir $k$ pour que :

$\begin{aligned} b^2-4(-2k)(-k^2+c-a^2-2ka) &= 0 \\b^2+8k(-k^2+c-a^2-2ka) &=0 \\-8k^3-16ak^2+(8c-8a^2)k+b^2 &= 0.\end{aligned}$

Pour tout $x\in\R$ notez $P(x) = -8x^3-16ax^2+(8c-8a^2)x+b^2.$

Comme $b$ est non nul, $b^2 > 0.$

La fonction réelle $P$ est polynomiale donc continue sur $\R.$ Comme $\lim_{x\to +\infty} P(x) = -\infty$ et comme $P(0)=b^2$ est strictement positif, vous déduisez du théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe un réel $k$ strictement positif tel que $P(k)=0$.

La stricte positivité de $k$ est cruciale.

Le polynôme de second degré $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka$, pour la valeur choisie de $k$ précédente, a un discriminant nul et un coefficient dominant strictement négatif. Il existe donc un réel $\ell$ tel que, pour tout $x\in\R$, $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = -2k(x-\ell)^2$, ce qui s’écrit $-(\sqrt{2k}(x-\ell))^2.$ En pratique, ce réel $\ell$ est égal donné par $\frac{b}{4k}.$

Terminez la résolution

$\begin{aligned} x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2+(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2-(\sqrt{2k}(x-\ell))^2 =0\\&\Longleftrightarrow (x^2+a + k + \sqrt{2k}(x-\ell))(x^2+a + k – \sqrt{2k}(x-\ell)) =0.\end{aligned}$

La résolution finale est obtenue en utilisant les discriminants respectifs des deux polynômes réels de degré 2 obtenus.

La méthode de Ferrari permet donc, dans le cas dit « dégénéré » et non « bicarré » de factoriser un polynôme réel de degré 4 en deux polynômes réels de degré 2 et sans faire appel aux nombres complexes.

167. Résolvez une équation du quatrième degré sans translation avec la méthode de Ferrari

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 27/09/202112/10/2021| Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Cette section illustre la résolution d’une équation du quatrième degré qualifiée de « pleine » au sens où elle contient explicitement un terme en $x^3$, ce qui n’était pas le cas dans l'article 166 où l’équation à résoudre n’en comportait pas, ce qui simplifiait les calculs initiaux.

Soit à résoudre dans $\C$ l’équation suivante $x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0.$ Vous verrez plus tard que l’utilisation de $\C$ au lieu de $\R$ s’avère commode puisque cette équation n’admet, en fait, aucune solution réelle.

Note. Il est possible de mener les calculs en restant dans $\R$ mais au prix de démarches plus techniques et plus lourdes.

Absorbez $x^4+10x^3$ dans un carré

Avec l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ vous obtenez :

$\begin{aligned} (x^2+5x)^2 &= (x^2)^2+2(x^2)(5x)+(5x)^2\\&=x^4+10x^3+25x^2.\end{aligned}$

Ainsi $x^4+10x^3 = (x^2+5x)^2-25x^2.$

Cette remarque permet d’écrire que, pour tout nombre complexe $x$ :

$\begin{aligned} x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^4+10x^3)+39x^2+70x+50 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+5x)^2-25x^2+39x^2+70x+50 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+5x)^2+14x^2+70x+50 = 0.\end{aligned}$

Utilisez l’idée de Ferrari avec un degré de liberté supplémentaire

Soit $k$ un nombre réel fixé qui sera choisi plus tard.

Pour tout nombre complexe $x$ :

$\begin{aligned} x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^2+5x)^2+14x^2+70x+50 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+5x+k)^2-k^2-2k(x^2+5x)+14x^2+70x+50 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+5x+k)^2+(14-2k)x^2+(70-10k)x+50-k^2 = 0.\end{aligned}$

Vous choisissez $k$ pour que le polynôme $(14-2k)x^2+(70-10k)x+50-k^2$ soit un carré parfait. Cela se produit lorsque son discriminant est nul.

Ici, vous observez que si $k=7$, alors $14-2k=0$ et $70-10k = 0.$

Vous obtenez donc, que pour tout $x\in\C$ :

$\begin{aligned} x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^2+5x+7)^2+50-49 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+5x+7)^2+1 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+5x+7)^2-i^2 = 0\\&\Longleftrightarrow (x^2+5x+7+i)(x^2+5x+7-i) = 0.\end{aligned}$

Trouvez les racines des deux polynômes obtenus

Déterminez les racines du trinôme $x^2+5x+7+i$

Le discriminant du trinôme $x^2+5x+7+i$ est égal à :

$\begin{aligned} \Delta &= 25-4(7+i)\\&=-3-4i.\end{aligned}$

Il s’agit maintenant d’en trouver une racine carrée.

Posez $z = a+ib$ où $a$ et $b$ sont deux réels, de sorte que $z^2 = -3-4i.$

En calculant le module, vous obtenez $\vert z \vert ^2 = 5$ soit $a^2+b^2 = 5.$

En développant $z^2$ vous obtenez $a^2-b^2+2iab = -3-4i.$ En identifiant la partie réelle, cela donne $a^2-b^2=-3.$

Comme $a^2+b^2 = 5$ et $a^2-b^2 = -3$, par somme $2a^2 = 2$ donc $a^2=1$.

Choisissez $a=1$. En identifiant la partie imaginaire, vous obtenez $2ab = -4$ ce qui conduit à $ab=-2$ et $b=-2.$

Vérification. Posez $z = 1-2i$. Alors $z^2 = 1-4-4i = -3-4i.$

Du coup, $\Delta = (1-2i)^2.$

Les racines du trinôme $x^2+5x+7+i$ sont $\frac{-5-1+2i}{2} = -3+i$ et $\frac{-5+1-2i}{2}=-2-i.$

Ainsi, par le théorème de factorisation $(x+3-i)(x+2+i) = x^2+5x+7+i.$

Déterminez les racines du trinôme $x^2+5x+7-i$

D’après ce qui précède, pour $x\in\{-3+i, -2-i\}$, $x^2+5x+7-i = 0$ donc en conjuguant $\overline{x}^2+5\overline{x}+7+i = 0$ donc pour $x\in\{-3-i, -2+i\}$, $x^2+5x+7+i=0.$

Les deux racines du polynôme du second degré $x^2+5x+7-i$ sont $-3-i$ et $-2+i.$

Ainsi, par le théorème de factorisation $(x+3+i)(x+2-i) = x^2+5x+7-i.$

Concluez

Pour tout nombre complexe $x$ :

$\begin{aligned} x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^2+5x+7+i)(x^2+5x+7-i) = 0\\&\Longleftrightarrow (x+3-i)(x+2+i)(x+3+i)(x+2-i) = 0\\\end{aligned}$

Le polynôme $x^4+10x^3+39x^2+70x+50$ admet quatre racines :
$-3-i$,
$-3+i$,
$-2+i$ et
$-2-i.$

Remarque. Le polynôme du quatrième degré $x^4+10x^3+39x^2+70x+50$ s’écrit aussi comme produit de deux polynômes réels du second degré, en regroupant les racines deux à deux conjuguées :

$\begin{aligned} x^4+10x^3+39x^2+70x+50 &= (x+3-i)(x+2+i)(x+3+i)(x+2-i)\\ &= \left[(x+3+i)(x+3-i)\right]\left[(x+2+i)(x+2-i)\right]\\&=(x^2+6x+10)(x^2+4x+5).\end{aligned}$