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École AVOSZ 

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Catégorie : Niveau Prépa

126. Le lemme d’Euclide

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa

Contexte

Les nombres premiers constituent des éléments très importants dans l’étude des nombres.

Qu’est-ce qu’un nombre premier ? On entend souvent qu’un nombre est premier, si et seulement si, il n’est divisible que par 1 et par lui-même.

Cette assertion est presque correcte, elle mérite d’être précisée. Elle laisse une ambiguïté sur le chiffre $1.$ En fait, le chiffre $1$ n’est pas un nombre premier, le plus petit nombre premier est $2$. Pourquoi ?

Retenez qu’un nombre $p$ est premier, si et seulement si, $p$ est un élément de $\N$, de sorte que $p$ admette exactement deux diviseurs (qui sont $1$ et $p$).

Le nombre $1$ n’admet qu’un seul diviseur et n’est pas premier.

Dans la littérature mathématique, on trouve l’énoncé suivant. Pour tout nombre premier $p$ et pour tout couple $(a,b)$ d’entiers naturels, si $p$ divise le produit $ab$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$. Autrement dit, un nombre premier qui divise un produit divise nécessairement un des facteurs du produit.

Ce résultat s’appelle le lemme d’Euclide. En dépit des apparences, démontrer ce résultat, sans faire appel au PGCD (plus grand diviseur commun), n’est pas simple. Il existe plusieurs façons d’y parvenir, aussi je vous présente dans cet article une piste qui utilise la propriété fondamentale de $\N$, toute partie non vide de $\N$ admet un plus petit élément.

Démonstration du lemme d’Euclide

Soit $p$ un nombre premier. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $p\mid ab.$

Remarquez que, si l’un des nombres $a$ ou $b$ est nul, comme $p\mid 0$, on a immédiatement $p\mid a$ ou $p\mid b.$

Dans la suite, vous supposerez que $a$ et $b$ sont non nuls.

On considère alors l’ensemble $A=\{n\in\NN, p \mid an\}.$ $A$ est une partie de $\N$ qui contient $b.$ Notons $m$ le plus petit élément de $A.$

Effectuez la division euclidienne de $b$ par $m$. Il existe $(q,r)\in\N^2$ avec $0\leq r \leq m-1$ tel que $b =mq+r.$ En multipliant par $a$, vous obtenez $ab = q am +ar$ d’où $ar = ab-q am.$ Or $p\mid ab$ et $p\mid am$ donc $p\mid ar.$ Comme $r < m$, l’entier naturel $r$ n’appartient pas à $A$. Comme $p\mid ar$ c’est que $r\notin\NN$ et donc $r=0$ et $m\mid b.$

De même effectuez la division euclidienne de $p$ par $m.$ Il existe $(q’,r’)\in\N^2$ avec $0\leq r’\leq m-1$ tel que $p = mq’+r’.$ Vous multipliez par $a$ et obtenez $ap-amq’ = ar’$. Comme $p\mid ap$ et comme $p\mid am$ vous obtenez $p\mid ar’$. Comme $r'<m$, $r’\notin A$ donc $r’=0.$ Cela montre que $m\mid p.$ Comme $p$ est premier, il y a deux possibilités.

Soit $m=1$. Dans ce cas, $p\mid am$ s’écrit $p\mid a.$

Soit $m=p$. Comme $m\mid b$ vous obtenez $p\mid b.$

Le lemme d’Euclide est démontré.

Prolongement

Pour ceux qui aiment la théorie des groupes, ils auront sûrement remarqué un lien avec l’application $x\mapsto ax$, le théorème de Lagrange et la structure de $\Z/p\Z.$

125. Dérivées croisées

Rédigé par on | Niveau Prépa

Les fonctions de deux variables suffisamment régulières vérifient l’égalité des dérivées croisées. Cela se produit à partir du théorème de Schwarz, qui exprime que, sous certaines conditions, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.$

Cet article présente l’exemple d’une fonction qui ne vérifie pas ce théorème.

Pour tout couple de réels $(x,y)$ différent de $(0,0)$, posez $f(x,y) = \dfrac{x y^3}{x^2+y^2}$. Définissez $f(0,0)$ par $f(0,0)=0.$

Déterminez la première dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$

Soit $(x,y)$ un couple de deux réels.

Il s’agit d’évaluer la limite $\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.$

Cas où $(x,y)\neq (0,0)$

Comme $x$ et $y$ ne sont pas simultanément nuls, $x^2+y^2$ est un réel strictement positif.

La limite $\lim_{h\to 0} (x+h)^2+y^2$ est égale à $x^2+y^2$. Comme $x^2+y^2 > \frac{x^2+y^2}{2}$, il en résulte qu’il existe un réel $\alpha$ strictement positif, tel que, pour tout $h\in]-\alpha, \alpha[$, $(x+h)^2+y^2 > \frac{x^2+y^2}{2}.$

Par suite, pour tout $h\in]-\alpha, \alpha[, (x+h)^2+y^2 > 0$ et $(x+h,y)\neq (0,0).$

Vous pouvez ainsi calculer la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}.$ Par un souci d’unicité avec ce qui suit vous allez vous entraîner à calculer le taux de variation au lieu d’appliquer les formules de dérivation d’un quotient.

Pour tout $h\in]-\alpha, \alpha[\setminus \{0\}$ :

\begin{aligned}
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} &= \frac{\frac{(x+h)y^3}{(x+h)^2+y^2}-\frac{xy^3}{x^2+y^2}}{h}
\\
&= \frac{(x+h)y^3(x^2+y^2)-xy^3((x+h)^2+y^2)}{h(x^2+y^2)((x+h)^2+y^2)}
\\
&= \frac{(x+h)y^3(x^2+y^2)-xy^3((x+h)^2+y^2)}{h} \times \frac{1}{(x^2+y^2)((x+h)^2+y^2)}
\end{aligned}

Ecrivez le numérateur de la fraction comme un polynôme en $h$ :

\begin{aligned}
(x+h)y^3(x^2+y^2)-xy^3((x+h)^2+y^2) &= xy^3(x^2+y^2) + \left(y^3(x^2+y^2)\right)h -xy^3((x^2+y^2)+2xh+h^2)
\\
&= \left(y^3(x^2+y^2)-2x^2y^3\right)h -xy^3h^2
\\
&= \left(y^5-x^2y^3\right)h -xy^3h^2
\end{aligned}

Du coup $\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)y^3(x^2+y^2)-xy^3((x+h)^2+y^2)}{h} = y^5-x^2y^3 = y^3(y^2-x^2).$

Comme $\lim_{h\to 0} \frac{1}{(x^2+y^2)((x+h)^2+y^2)} = \frac{1}{(x^2+y^2)^2}$ vous en déduisez que $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{y^3(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}.$

Cas où $(x,y) = (0,0)$

Notez que pour tout réel $h$ non nul, $x+h$ est non nul donc $(x+h,y)\neq (0,0).$

Pour tout $h$ non nul vous calculez le taux de variation suivant :

\begin{aligned}
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} &= \frac{f(h,0) – f(0,0)}{h}
\\
&= \frac{f(h,0)}{h}
\\
&= \frac{0}{h}
\\
&=0.
\end{aligned}

Il vient donc $\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} = 0 $ donc $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0.$

Conclusion

La dérivée partielle $(x,y)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ est donc définie sur $\R^2.$

Pour tout couple de réels $(x,y)$ différent de $(0,0)$, $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \dfrac{ y^3(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}$ et $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =0.$

Vous pouvez maintenant en déduire que $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)$ existe et trouver sa valeur.

Soit $k$ un réel non nul.

\begin{aligned}
\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0+k)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{k} &= \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,k)-0}{k}
\\
&=\frac{\frac{ k^3(k^2-0^2)}{(0^2+k^2)^2}}{k}
\\
&= 1.
\end{aligned}

Ainsi $\lim_{k\to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0+k)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{k} = 1.$

Donc $\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0) = 1.}$

Déterminez la seconde dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

Soit $(x,y)$ un couple de deux réels.

Cas où $(x,y)\neq (0,0)$

Il existe un voisinage de $0$ de la forme $]-\beta,\beta[$ où $\beta$ est un réel strictement positif, tel que pour tout $k\in]-\beta,\beta[$, $(x,y+k)\neq (0,0).$ Par suite, sur ce voisinage, l’expression de $f(x,y+k)$ est $\dfrac{x (y+h)^3}{x^2+(y+h)^2}.$

La seconde dérivée partielle de $f$ en $(x,y)$ n’est autre que la dérivée de la fonction en $0$ de la fonction $k\mapsto \dfrac{x (y+k)^3}{x^2+(y+k)^2}.$

Il en résulte que :

\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= \frac{3xy^2(x^2+y^2) – 2xy^4}{(x^2+y^2)^2}
\\
&= \frac{3x^3y^2+3xy^4 – 2xy^4}{(x^2+y^2)^2}
\\
&= \frac{3x^3y^2+xy^4}{(x^2+y^2)^2}.
\end{aligned}

Cas où $(x,y)= (0,0)$

Vous évaluez la limite $\lim_{k\to 0} \dfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}.$

Soit $k$ un réel non nul.

\begin{aligned}
\dfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k} &= \dfrac{f(0,k)-f(0,0)}{k}
\\
&= \frac{0-0}{k}\\
&=0.
\end{aligned}

Donc $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.$

Conclusion

La dérivée partielle $(x,y)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ est donc définie sur $\R^2.$

Pour tout couple de réels $(x,y)$ différent de $(0,0)$, $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{xy^2(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =0.$

Soit $h$ un réel non nul.

\begin{aligned}
\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0+h,0) – \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h} &= \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0+h,0) }{h}
\\
&= \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h,0) }{h} \\
&= \frac{\frac{h\times 0^2(3h^2+0^2)}{(h^2+0^2)^2} }{h}\\
&=0.
\end{aligned}

Vous déduisez que $\lim_{h\to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0+h,0) – \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h} = 0$ d’où :

$\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0)=0.}$

Vous avez un exemple où le théorème de Schwarz ne s’applique pas

D’après ce qui précède $\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) \neq \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0).}$

124. Equations de degré 4, des palindromes au cas général

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Dans cet article, vous recherchez un moyen de trouver tous les candidats potentiels d’une équation réelle de degré 4. Les exemples sont choisis pour que les calculs restent compréhensibles bien que longs sur la fin de l’article.

Vous allez constater que, si vous savez résoudre les équations réelles de degré 2 et de degré 3, vous savez résoudre les équations de degré 4. Le modèle du palindrome constitue le départ de l’article avec une généralisation progressive.

Bien entendu, il existe d’autres méthodes permettant de résoudre les équations de degré 4, plus rapides, en recherchant des solutions par d’autres moyens. Ce qui est présenté ici a pour but de différencier les approches et de fournir d’autres mécanismes de compréhension de ces équations.

Partez d’un palindrome

Considérez l’équation $x^4+2x^3-x^2+2x+1 = 0$ de degré 4, dont les coefficients sont en forme de palindrome.

Analyse

Supposez qu’il existe un réel $x$ tel que :

$x^4+2x^3-x^2+2x+1 = 0.$

Comme $x=0$ ne satisfait pas l’équation, il est possible de diviser le tout par $x^2$, non nul, ce qui fournit :

$x^2+2x-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$

ce qui s’écrit, en regroupant les coefficients égaux :

$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) + 2\left(x+\frac{1}{x}\right) -1=0.$

Vous posez $y=x+\frac{1}{x}$ de sorte que $y^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2$ et par suite :

$y^2-2 + 2y -1 = 0$, donc $y^2+2y-3 = 0$ ce qui s’écrit $(y-1)(y+3)=0.$

Vous obtenez deux possibilités : $y=1$ ou $y=-3$..

Si $y=1$, alors $x+\frac{1}{x}=1$ donc $x^2+1 – x=0$, or équation n’a pas de solution réelle…

Vous en déduisez $y=-3$, donc $x+\frac{1}{x}= -3$ donc $x^2+3x+1=0$ donc $x\in\left\{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}; \frac{-3-\sqrt{5}}{2} \right\}.$

Synthèse

Soit $x$ un réel appartenant à l’ensemble $\left\{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}; \frac{-3-\sqrt{5}}{2} \right\}.$

Vous avez $x^2 = -3x-1.$

En multipliant par $x$, vous trouvez $x^3 = -3x^2-x = -3(-3x-1)-x = 8x+3$

Puis $x^4 = 8x^2+3x = 8(-3x-1)+3x = -21x-8. $

\begin{aligned}
x^4+2x^3-x^2+2x+1 &= (-21x-8)+(16x+6)+(3x+1)+2x+1\\
&=0.
\end{aligned}

Concluez

L’équation de degré 4 $x^4+2x^3-x^2+2x+1 = 0$ admet pour ensemble de solutions $\left\{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}; \frac{-3-\sqrt{5}}{2} \right\}.$

Construisez une équation qui se résout sur le même modèle

Le cas du palindrome parfait

Toute la section précédente est basée sur le fait que $y=x+\frac{1}{x}$ est un excellent changement de variable.

En effet, partez de l’équation de degré 4 sous forme de palindrome, dans laquelle on a divisé par le coefficient dominant.

Elle s’écrit $x^4+ax^3+bx^2+ax+1 = 0.$

$x$ étant à nouveau non nul, vous divisez par $x^2$ pour obtenir $x^2+\frac{1}{x^2}+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b=0$

soit $y^2-2+ay+b=0$ qui est une équation de degré 2 qui admet au plus deux solutions, et donc, en résolvant $x+\frac{1}{x} = y$ soit $x^2-yx+1 = 0$ pour chaque valeur de $y$ vous trouvez bien, au maximum, 4 candidats.

Analyse du cas avec un palindrome modifié

Plus généralement, posez $y = x + \frac{\alpha}{x}$ et supposez que $y$ soit solution d’une équation de degré 2, de la forme $y^2+ay+b = 0$. En effectuant le remplacement avec $x$, vous obtenez : $x^2+\frac{\alpha^2}{x^2}+2\alpha+ax+\frac{a\alpha}{x}+b=0$ et en multipliant par $x^2$ :

$x^4+\alpha^2+2\alpha x^2+ax^3+a\alpha x + bx^2 = 0$

soit :

$x^4 +ax^3+(2\alpha + b)x^2 + a\alpha x + \alpha^2 = 0. $

Résolvez l’équation $x^4+2x^3+x^2+6x+9 = 0$

Cette équation de degré 4 n’est plus un palindrome… si vous cherchez un changement de variable adéquat, comme $\alpha^2$ vaut $9$, un bon candidat semble $y = x+\frac{3}{x}$.

Analyse

Soit $x$ un réel solution de l’équation de degré 4 : $x^4+2x^3+x^2+6x+9 = 0.$

Comme $x$ ne peut être égal à $0$ (sinon 9 = 0), vous pouvez poser $y=x+\frac{3}{x}$. Alors $y^2 = x^2+\frac{9}{x^2}+6.$

Comme $x^2+\frac{9}{x^2}+2x+\frac{6}{x}+1 = 0$ vous déduisez $y^2-6+2y+1 = 0$ soit $y^2+2y-5=0.$

Il en résulte deux possibilités, soit $y= -1+\sqrt{6}$, soit $y=-1-\sqrt{6}.$

1er cas : $y= -1+\sqrt{6}$, d’où $x^2+3 = xy$ d’où $x^2-yx+3 = 0.$ Le discriminant de cette équation est égal à $y^2-12 = 5-2y-12 = -2y-7 = 2-2\sqrt{6}-7 = -5-2\sqrt{6}$ qui est strictement négatif, ce qui ne peut convenir étant donné que $x$ est supposé solution.

2ème cas : $y=-1-\sqrt{6}$ d’où $x^2-yx+3 = 0$. De même le discriminant de cette équation est égal à $y^2-12 = -2y-7 = 2+2\sqrt{6}-7 = -5+2\sqrt{6} = -\sqrt{25}+\sqrt{24}$ qui est encore strictement négatif, ce qui est absurde.

Concluez

L’équation $x^4+2x^3+x^2+6x+9 = 0$ n’admet aucune solution réelle.

Le cas où le changement de variable fonctionne

Soit à résoudre $x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0.$

Afin d’effectuer le changement de variable $y=x+\frac{\alpha}{x}$ vous souhaitez avoir l’existence d’un réel $\alpha$ tel que $c = \alpha a$ et $d=\alpha^2.$

Cette condition fournit $c^2 = \alpha^2 a^2$, soit $c^2 = a^2d.$

Dernier exemple : $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 0$

Analyse

Soit $x$ une solution réelle de l’équation $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 0.$

Les coefficients sont $a=-1$, $b=-7$, $c=1$ et $d=6.$

Ici, $a^2d$ n’est pas égal à $c^2.$ Le changement de variable $y=x+\frac{\alpha}{x}$ ne fonctionnera pas tout de suite.

Le but va être de translater $x$ afin d’obtenir une nouvelle équation de degré 4 $X^4+AX^3+BX^2+CX+D = 0$ qui satisfait la condition $A^2D = C^2$. Un changement de variable préalable pour y parvenir est $X = x+k$. Trouver une valeur de $k$ qui le permet est difficile. Y parvenir est possible avec une équation de degré 3 appelée résolvante (voir en fin d’article comment la trouver).

Vous choisissez le nombre $k$, solution de la résolvante qui est ici $21k^3-109k^2+19k+5 = 0.$ Une solution entière est $k=5$ que vous privilégiez. En général, cela ne se passera pas ainsi, vous êtes prévenus !

Dans la suite, vous posez $X = x+5$ et vous développez les puissances de $x = X-5.$

\begin{aligned}
x^2 &= X^2-10X+25 \\
x^3 &= X^3-15X^2+75X-125\\
x^4 &= X^4 -20X^3 + 150X^2 – 500 X + 625.
\end{aligned}

Comme $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 0$ vous déduisez :

\begin{aligned}
X^4 -20X^3 + 150X^2 – 500 X + 625 \\
\quad – X^3+15X^2-75X+125\\
\quad -7X^2+70X-175\\
\quad +X-5\\
\quad +6 = 0
\end{aligned}

soit $X^4-21X^3+158X^2-504X+576 = 0.$

Les coefficients sont $A = -21$, $B = 158$, $C = -504$ et $D = 576.$

Vous posez $\alpha = \frac{C}{A} = \frac{-504}{-21} = 24$ et constatez que $D = \alpha^2$ donc la condition $C^2 = A^2D$ est satisfaite.

Le changement de variable $y = X + \frac{24}{X}$ va fonctionner. Comme $y^2 = X^2+\frac{576}{X^2}+ 48$, de $X^4-21X^3+158X^2-504X+576 = 0$ vous déduisez $X^2-21X+158+\frac{-504}{X} + \frac{576}{X^2} = 0$ et $y^2-48-21(X + \frac{24}{X}) + 158=0$ soit $y^2-21y+110 = 0.$ Cette équation en $y$ admet deux solutions $y = 11$ et $y=10.$

Comme $X^2+24 = yX$ il y a deux cas possibles.

Cas 1 : $X^2-11X+24 = 0$ donc $X \in\{8, 3\}.$

Cas 2 : $X^2-10X+24 = 0$ donc $X\in\{6, 4\}.$

Comme $x = X-5$ vous déduisez que $x\in\{-1, -2, 1, 3\}.$

Synthèse

Si $x = 1$, $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 1-1-7+1+6 = 0.$

Si $x= -1$, $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 1+1-7-1+6 = 0.$

Si $x= -2$, $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 16+8-28-2+6 = 24-28+4=0.$

Si $x= 3$, $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 81-27-63+3+6 =84-30-60+6 = 54-60+6=0.$

Concluez

Pour tout réel $x$, $x^4-x^3-7x^2+x+6 = 0 \iff x\in\{-1, -2, 1, 3\}.$

Vers le cas général

Cas où la condition $c^2 = a^2d$ est satisfaite

Soit $x$ un réel solution de l’équation $x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0$, où les coefficients vérifient l’égalité $c^2 = a^2d.$

Supposez que $a$ est nul. Alors $c = 0$ et l’équation s’écrit $x^4 + bx^2 + d = 0$ qui est une équation de degré 2 avec le changement de variable $y= x^2$. Vous résolvez $y^2+by+d = 0$ puis $x^2 = y$ et vous en déduisez les candidats.

Supposez que $a$ est non nul. Alors vous pouvez poser $\alpha = \frac{c}{a}.$

L’équation s’écrit alors $x^4+ax^3+bx^2+a\alpha x + \alpha^2 = 0.$

Si $\alpha$ est nul, c’est que $c$ est nul et comme $a$ est non nul, $d$ est nul aussi. L’équation s’écrit $x^2(x^2+ax+b) = 0$ qui fournit $0$ comme candidat ainsi que les solutions de l’équation de degré 2 $x^2+ax+b=0.$

Si $\alpha$ est non nul, alors $x=0$ n’est pas solution de l’équation $x^4+ax^3+bx^2+a\alpha x + \alpha^2 = 0.$ En divisant par $x^2$ vous obtenez $x^2+\frac{\alpha^2}{x^2} + a\left(x +\frac{\alpha}{x}\right) + b = 0.$

Vous posez alors $y=x+\frac{\alpha}{x}$ de sorte que $y^2 = x^2+\frac{\alpha^2}{x^2}+2\alpha$ et vous en déduisez $y^2-2\alpha+ay+b = 0$ qui donne au maximum deux candidats pour $y$, puis vous résolvez $x^2-yx + \alpha = 0$ et en déduisez au maximum 4 candidats pour $x$.

Que se passe-t-il maintenant dans le cas où aucune condition sur les coefficients n’est imposée ? La résolution reste possible !

Soit à résoudre $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0.$ Vous effectuez la translation $X = x+k.$ Cherchant à écrire une équation en $X$, vous formez $x = X-k$ et développez.

\begin{align*}
(X-k)^4 &= X^4-4kX^3+6k^2X^2-4k^3X+k^4\\
(X-k)^3 &=X^3-3kX^2+3k^2X-k^3\\
(X-k)^2 &=X^2-2kX+k^2.
\end{align*}

Si bien que l’équation $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ s’écrit :

\begin{aligned}
(X^4-4kX^3+6k^2X^2-4k^3X+k^4) +a(X^3-3kX^2+3k^2X-k^3)+b(X^2-2kX+k^2)+c(X-k)+d = 0\\
X^4 + (-4k+a)X^3+(6k^2-3ak^2+b)X^2+(-4k^3+3ak^2-2bk+c)X+(k^4-ak^3+bk^2-ck+d)=0.
\end{aligned}

Posez :

\left\{\begin{align*}
A &= -4k+a \\
B &= 6k^2-3ak^2+b \\
C &= -4k^3+3ak^2-2bk+c\\
D &= k^4-ak^3+bk^2-ck+d.
\end{align*}\right.

Alors $X^4+AX^3+BX^2+CX+D = 0.$

Souhaitant pouvoir résoudre cette équation en $X$ en effectuant un changement de variable comme dans le paragraphe précédent, vous souhaitez choisir $k$ pour que la condition $C^2 = A^2D$ soit vérifiée.

Calculez d’abord $C^2.$

\begin{aligned}
C^2 &= (-4k^3+3ak^2-2bk+c)^2 \\
&=16k^6+9a^2k^4+4b^2k^2+c^2-24ak^5+16bk^4-8ck^3-12abk^3+6ack^2-4bck \\
&= 16k^6-24ak^5+(9a^2+16b)k^4+(-8c-12ab)k^3+(6ac+4b^2)k^2-4bck+c^2.
\end{aligned}

Calculez ensuite $A^2D$ :

\begin{align*}
A^2D &=  (-4k+a)^2 (k^4-ak^3+bk^2-ck+d) \\
 &= (16k^2-8ak+a^2)(k^4-ak^3+bk^2-ck+d)\\
 &= 16k^6-16ak^5+16bk^4-16ck^3+16dk^2 \\
&\quad -8ak^5+8a^2k^4-8abk^3+8ack^2-8adk\\
&\quad +a^2k^4-a^3k^3+a^2bk^2-a^2ck+a^2d\\
&= 16k^6 -24ak^5+(16b+9a^2)k^4+(-16c-8ab-a^3)k^3+(16d+8ac+a^2b)k^2+(-8ad-a^2c)+a^2d.
\end{align*}

Etonnamment, la condition $C^2=A^2D$, a priori de degré 6, se simplifie après disparition des termes en $k^6$, $k^5$ et $k^4.$ Vous obtenez ce que l’on appelle une résolvante.

$\boxed{(4ab-8c-a^3)k^3+(16d+2ac+a^2b-4b^2)k^2+(-8ad-a^2c+4bc)k+a^2d-c^2 = 0.}$

Cette équation de degré 3 se résout avec difficulté en utilisant, par exemple, une formule de Cardan.

Une fois $k$ choisi, vous effectuez un changement de variable de la forme $y=X^2$ si $A$ est nul ou, si $A$ est non nul, par $y=X+\frac{\alpha}{X}$ où $\alpha$ est le réel défini par $\frac{C}{A}$. $y$ est solution d’une équation de degré 2. Cela fait deux candidats pour $y$. Vous trouvez ainsi les candidats $X$ qui sont au nombre de 4 maximum et via $x = X-k$ vous aboutissez à 4 candidats pour l’équation de départ.

122. Racine de 2 est irrationnel

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa, Niveau Terminale

Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l’équation $x^2=2.$

Vous allez démontrer qu’il n’existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

Un tel résultat constitue l’irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{u}{v}, u\in\Z, v\in\NN\right\}.$

Raisonnez par l’absurde

Supposez qu’il existe $a\in\Z$ et $b\in\NN$ tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

L’ensemble $A=\left\{m\in\NN, \exists n\in\Z, \sqrt{2}=\frac{n}{m}\right\}$ est une partie de $\N$, non vide puisque $b\in A.$

Notez $\beta$ le plus petit élément de $A$. Par définition du nombre $\beta$ qui appartient à $A$, il existe $\alpha\in\Z$ tel que $\sqrt{2}=\frac{\alpha}{\beta}.$ La stricte positivité de $\sqrt{2}$ et de $\beta$ impose $\alpha\in\NN.$

La mise au carré et la multiplication par $\beta^2$ fournit $\alpha^2 = 2\beta^2.$

Quelques inégalités

Comme $\beta > 0$, $\beta^2>0$ donc $2\beta^2 < 4 \beta^2$ d’où $\alpha^2 < 4\beta^2.$ La fonction racine carrée étant strictement croissante, son application fournit $\alpha < 2\beta.$

Dans l’autre sens, $\beta^2< 2\beta^2$ donc $\beta^2 < \alpha^2$ et $\beta < \alpha.$

Et une impossibilité

\begin{aligned}
(2\beta-\alpha)^2 &= 4\beta^2+\alpha^2-4\alpha\beta\\
&= 4\beta^2 + 2\beta^2- 4\alpha\beta\\
&=2(2\beta^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\
&=2(\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\
&=2(\alpha-\beta)^2.
\end{aligned}

De ce qui précède, $2\beta – \alpha > 0$ et $\alpha-\beta >0$ donc $2\beta-\alpha = \sqrt{2}(\alpha-\beta)$ et par suite $\sqrt{2} = \frac{2\beta-\alpha}{\alpha-\beta}.$ Vous en déduisez que $\alpha-\beta \in A.$ Or, $\alpha < 2\beta$ donc $\alpha-\beta< \beta.$ Comme $\beta$ est le minimum de $A$, $\alpha-\beta\notin A$ d’où la contradiction.

121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa

Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$

Quels outils seront utilisés ?

Vous allez utiliser le développement d’une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$

Vous allez utiliser des propriétés de la racine cubique. C’est une fonction définie sur $\R$, multiplicative et impaire :

$\forall (x,y)\in\R^2, \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}$ et $\forall x\in\R, \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}.$

Tentez de simplifier en élevant au cube

Pour calculer $a^3$, il sera commode de poser $u=18+\sqrt{325}$ et $v=18-\sqrt{325}.$ Remarquez que $u+v=36.$

\begin{align*}
a^3 &= \left(\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\right)^3 \\
&= u + 3\sqrt[3]{v}\left(\sqrt[3]{u}\right)^2+3\sqrt[3]{u}\left(\sqrt[3]{v}\right)^2+v\\
&= 36 + 3\sqrt[3]{v u^2}+3\sqrt[3]{u v^2}.
\end{align*}

Pour évaluer $vu^2$ vous calculez $(vu)u = (18^2-325)u = (324-325)u = -u.$ De même, $uv^2 = (uv)v = -v.$

Du coup :

\begin{align*}
a^3 &= 36+ 3\sqrt[3]{-u} + 3\sqrt[3]{-v} \\
&= 36 - 3\sqrt[3]{u} - 3\sqrt[3]{v}\\
&= 36-3a.
\end{align*}

Il en résulte que $a^3+3a-36=0.$

Concluez

Cette équation de degré 3 est polynomiale et possède le nombre $3$ pour solution.

En effet, $3^3+3\times 3 – 36$ est bien égal à $0.$

Vous en déduisez successivement :

\begin{align*}
a^3+3a-36 &= 3^3+3\times 3 - 36\\
a^3-3^3+3(a-3)&=0\\
(a-3)(a^2+3a+9)+3(a-3)&=0\\
(a-3)(a^2+3a+12)&= 0.
\end{align*}

Le discriminant du trinôme $x^2+3x+12$ est égal à $9-48$, il est strictement négatif, l’équation $x^2+3x+12 = 0$ n’admet pas de solution réelle, donc $a^2+3a+12 \neq 0$ et par conséquent $a-3=0$ et $a=3$, d’où :

\boxed{\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}} = 3.}

120. Aire sous la parabole

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa

Considérez la courbe $\cc$ d’équation $y=x^2$, lorsque $x$ parcourt l’intervalle $[0,1].$

On note $\aa$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\cc$, l’axe des abscisses et la droite verticale d’équation $x=1.$

Comment trouver la valeur de $\aa$ ?

Minorez la valeur de $\aa$ par des rectangles

Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérez la subdivision $x_0 < \dots < x_n$ de l’intervalle $[0,1]$ en posant, $\forall i \in\llbracket 0,n\rrbracket, x_i = \frac{i}{n}.$

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{i^2}{n^2}.$

La somme des aires de ces rectangles minore $\aa$, c’est-à-dire que :

\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i)\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} &\leq \aa\\
\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n}\frac{i^2}{n^2} &\leq \aa\\
\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 &\leq \aa.
\end{align*}

Avant de pouvoir poursuivre, vous vous retrouvez confronté à un problème technique : comment calculer la somme des carrés $\sum_{i=0}^{n-1} i^2$ et plus généralement, comment calculer $\sum_{i=0}^{n} i^2$ ?

Utilisez le triangle de Pascal

Etonnamment, les coefficients binomiaux permettent de régler cette question.

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n$, on note $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ le coefficient binomial appelé $k$ parmi $n$.

Le lemme fondamental est la relation de Pascal : $\forall n\in\N, \forall k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket, \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$

Pour prouver ce résultat, vous fixez $n\in\N$ et $k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket.$

\begin{align*}
\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} &= \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\\
&= \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\
&= \frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\
&=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\\
&=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-k-1)!}\\
&=\binom{n+1}{k+1}.
\end{align*}

Calculez la somme des entiers $1+2+\cdots+n$

La relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq 1$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

Pour $n=1$, $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \sum_{i=1}^1 \binom{i}{1} = \binom{1}{1}=1.$
Or $\binom{1+1}{2} = 1.$ Donc $P(1)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 1$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$, d’où $\sum_{i=1}^{n+1} \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{1} = \binom{n+2}{2}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n i = \frac{(n+1)n}{2}$ d’où $\forall n\geq 0, \sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.$

Calculez la somme des carrés $1^2+2^2+\cdots+n^2$

De même, la relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq2$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

Pour $n=2$, $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \sum_{i=2}^2 \binom{i}{2} = \binom{2}{2}=1.$
Or $\binom{2+1}{3} = 1.$ Donc $P(2)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 2$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$, d’où $\sum_{i=2}^{n+1} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} = \binom{n+2}{3}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{2} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ d’où $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}$ et donc $\forall n\in\N, \sum_{i=0}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}.$

Concluez.

\begin{align*}
\sum_{i=0}^n i^2 &=\sum_{i=0}^n i(i-1) + \sum_{i=0}^n i \\
&= \frac{(n+1)n(n-1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}\\
&=\frac{(n+1)n(2n-2)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6}\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\end{align*}

Minorez la valeur de $\aa$

De l’inégalité $\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 \leq \aa$, valable pour tout $n\geq 1$, vous déduisez $\frac{1}{(n+1)^3}\sum_{i=0}^{n} i^2 \leq \aa$, inégalité valable pour tout $n\geq 0$, soit $\forall n\in\N, \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)^3} \leq \aa.$ Quand $n\to+\infty$, le numérateur est équivalent à $2n^3$ et le dénominateur à $6n^3.$ Il s’ensuit, en passant à la limite quand $n\to +\infty$ que $\frac{1}{3}\leq \aa.$

Majorez la valeur de $\aa$

Vous formez une somme de rectangles en changeant la borne inférieure par la borne supérieure.

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\sup\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{(i+1)^2}{n^2}.$

Ainsi vous majorez $\aa$ par une somme d’aires de rectangles ayant pour largeur $\frac{1}{n}$ et pour hauteur $\frac{(i+1)^2}{n^2}.$

La suite est laissée au lecteur qui pourra montrer, comme pour la minoration après un passage à la limite quand $n\to \infty$, que $\frac{1}{3}\geq \aa.$

Concluez

L’aire $\aa$ a une valeur précise égale à $\frac{1}{3}.$

119. Homothéties et translations

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Reprenez la situation qui a été décrite dans dans l'article 118.

Vous partez de la figure ci-dessous comportant un carré et deux triangles équilatéraux.

Pour justifier que les points $D$ $E$ et $F$ sont alignés, vous allez ajouter trois points supplémentaires dans la figure.

Vous appelez $K$ le point d’intersection des droites $(DE)$ et $(BC)$, $I$ le milieu du segment $[BC]$. Comme le triangle $BCF$ est équilatéral, les droites $(FI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Soit $L$ le point de la droite $(CD)$ placé de sorte que le quadrilatère $CLFI$ soit un rectangle.

Utilisez une homothétie et calculez son rapport

Comme les points $C$, $K$ et $I$ sont alignés dans cet ordre, il existe une homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport positif telle que $h(K)=I.$

Le rapport $k$ de l’homothétie s’obtient en calculant $k=\dfrac{CI}{CK}.$

Utilisez une projection et deux milieux

Comme $ABE$ est un triangle équilatéral, la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $E$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $M$. Notez $p$ la projection sur la droite $(DK)$ parallèlement à la droite $(BC)$. Alors $p(A)=D$, $p(M)=E$ et $p(B)=K.$ Comme $p$ conserve les milieux, il en résulte que $E$ est le milieu du segment $[DK].$

Notez maintenant $N$ le milieu du segment $[DC]$ et $a$ le côté du carré $ABCD.$ La distance $EM$ est égale à $a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et par conséquent $EN = a-a\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a}{2}(2-\sqrt{3}).$

Comme la droite $(EN)$ est la droite des milieux dans le triangle $DCK$, $CK = 2 EN = a(2-\sqrt{3}).$ Aussitôt :

\begin{align*}
k &= \frac{CI}{CK}\\
&=\frac{\frac{a}{2}}{a(2-\sqrt{3})}\\
&=\frac{a}{2a(2-\sqrt{3})}\\
&=\frac{1}{2(2-\sqrt{3})}\\
&=\frac{2+\sqrt{3}}{2(4-3)}\\
&=\frac{2+\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}

Utilisez la composée d’une homothétie et d’une translation

Rappelez-vous que $h(C)=C$ et que $h(K)=I.$

Notez maintenant $t$ la translation de vecteur $\vv{IF}.$ Comme $IFLC$ est un rectangle, il vient $t(I)=F$ et $t(C)=L.$

Notez maintenant la composée $f = t\circ h.$ La composée d’une homothétie de rapport $k\neq 1$ et d’une translation est une homothétie de même rapport $k$. L’application $f$ est par conséquent une homothétie de rapport $k$ telle que $f(C) = t(h(C))=t(C)=L$ et $f(K)=t(h(K))=t(I)=F.$

Déterminez le centre de l’homothétie $f$

Le rapport de $f$ est connu, il est égal à $k=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Mais le rapport $\dfrac{DL}{DC}$ comme vous l’avez pressenti, est aussi égal à $k$.

En effet :

\begin{align*}
\dfrac{DL}{DC}&=\dfrac{a+a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a}\\
&=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\\
&=k.
\end{align*}

Comme les points $D$ $C$ et $L$ sont alignés dans cet ordre et que $k=\dfrac{DL}{DC}$, $D$ est le centre de l’homothétie $f$.

Concluez avec l’alignement des points $D$ $E$ et $F$

Comme $f$ est une homothétie de centre $D$ vérifiant $f(K)=F$, les points $D$ $K$ et $F$ sont alignés, donc $F$ appartient à la droite $(DK)$. Les droites $(DE)$ et $(DK)$ sont confondues donc $F$ appartient à la droite $(DE)$ et les points $D$ $E$ et $F$ sont alignés.

Prolongement

Notez $E$ l’ensemble des homothéties et des translations du plan. Quelle est la structure algébrique de $E$ ? Dans quels autres exemples utilisez-vous ses propriétés ?

116. Comment savoir si un vecteur se décompose ?

Rédigé par on | Niveau Prépa

Considérez les vecteurs suivants de $\R^4$ : $\alpha_1=(1,1,2,-1)$, $\alpha_2 = (3,0,4,-1)$ et $\alpha_3 = (-1,2,5,2).$

Posez $\alpha = (4,-5,9,-7)$. Est-ce que $\alpha$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ ? Autrement dit, est-ce que $\alpha\in \vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ ? Ou encore existe-t-il $(a_1,a_2,a_3)\in\R^3$ tel que $\alpha = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2+a_3\alpha_3$ ?

En remplaçant chaque vecteur par sa valeur numérique, vous êtes amené à à résoudre un système de 4 équations d’inconnues $a_1$ puis $a_2$ et $a_3$. Cela répondrait à la question, mais il sera privilégié ici une présentation différente.

Formez la matrice suivante :

A= \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & -1\\
3 & 0 & 4 & -1\\
-1& 2 & 5 &2 
\end{pmatrix}.

Comme les opérations élémentaires sur les lignes de $A$ ne changent pas l’espace vectoriel engendré par les lignes de $A$ – notez que cet espace vectoriel n’est autre que $\vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ -, il revient au même de se poser la question : est-ce que $\alpha\in\vect(r_1,r_2,r_3)$ où $r_1$, $r_2$ et $r_3$ sont les vecteurs lignes de la matrice $R$ échelonnée réduite de $A$ ? L’intérêt des vecteurs $r_1$, $r_2$ et $r_3$ c’est que ce seront des vecteurs qui permettront de décomposer instantanément $\alpha$ dessus.

Calculez la matrice $R$, la vaguelette $\sim$ signifiant que l’on peut passer d’une matrice à l’autre par des opérations élémentaires sur les lignes de $A$. Il vient :

A= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
3 & 0 & 4 & -1\\
-1& 2 & 5 &2
\end{pmatrix}.

Puis $L_3\leftarrow L_3+L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
3 & 0 & 4 & -1\\
 0& 3 & 7 &1 
\end{pmatrix}.

Puis $L_2\leftarrow L_2-3L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 3 & 7 &1
\end{pmatrix}.

Puis $L_3\leftarrow L_3+L_2$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -1\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow 3L_1$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
3 & 3 & 6 & -3\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow L_1+L_2$ fournit :

A \sim \begin{pmatrix}
3 & 0 & 4 & -1\\
0 & -3 & -2 & 2\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow 5L_1$, $L_2\leftarrow 10L_2$, $L_3\leftarrow 4L_3$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix}
15 & 0 & 20 & -5\\
0 & -30 & -20 & 20\\
0& 0 & 20 &12
\end{pmatrix}.

Puis $L_1\leftarrow L_1-L_3$, $L_2\leftarrow L_2+L_3$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix}
15 & 0 & 0 & -17\\
0 & -30 & 0 & 32\\
0& 0 & 20 &12
\end{pmatrix}.

Puis $L_2\leftarrow L_2 / 2$, $L_3\leftarrow L_3/4$ donnent :

A \sim \begin{pmatrix}
15 & 0 & 0 & -17\\
0 & -15 & 0 & 16\\
0& 0 & 5 &3
\end{pmatrix}.

Puis vous effectuez la normalisation des pivots :

A \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{17}{15}\\
0 & 1 & 0 & -\frac{16}{15}\\
0& 0 & 1 & \frac{9}{15}
\end{pmatrix}.

Ainsi $r_1 = \left(1,0,0,-\dfrac{17}{15}\right)$, $r_2 = \left(0,1,0,-\dfrac{16}{15}\right)$ et $r_3 = \left(0,0,1,\dfrac{3}{5}\right)$.

Les coordonnées pivots de $\vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ sont $1$, $2$ et $3$ ce qui signifie que les positions des colonnes pivot de chacun des vecteurs pivots sont bien $1$, $2$ et $3$.

Comme $\alpha = (4,-5,9,-7)$, $\alpha\in \vect(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ si et seulement si $\alpha\in \vect(r_1,r_2,r_3).$ Comme $r_1$, $r_2$ et $r_3$ sont les vecteurs pivots, cette condition est équivalente à $\alpha = 4r_1-5r_2+9r_3.$

Regardez la 4ème coordonnée de $\alpha$ qui vaut $-7$.

Formez la 4ème coordonnée du vecteur $4r_1-5r_2+9r_3.$

Elle est égale à $\dfrac{-17\times 4}{15}+\dfrac{5\times 16}{15}+\dfrac{9\times 9}{15} = \dfrac{-68+80+81}{15}=\dfrac{93}{15}$ donc on n’a pas $\alpha = 4r_1-5r_2+9r_3$ donc $\alpha$ n’est pas une combinaison linéaire des vecteurs $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3.$

113. Diagonalisation et formules de changements de bases

Rédigé par on | Niveau Prépa

La relation $D = P^{-1}AP$ traduit l’associativité du produit matriciel.

Pour fixer les idées, soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $f$ un endomorphisme de $E$.

Considérez $(e_1, \dots, e_n)$, base de $E$ dans laquelle vous disposez de la matrice $A$ de $f$ dans cette base.

Traduisez le lien entre $(e_1\quad \dots\quad e_n)$ et $(f(e_1)\quad \dots\quad f(e_n))$

Soit $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$. La colonne numéro $i$ de $A$ est donnée par $\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni} \\ \end{pmatrix}$ les coefficients $a_{ji}$ donnant les coordonnées de la décomposition du vecteur $f(e_i)$ sur la base $(e_1,\dots,e_n)$, ce qui se traduit par le sigma $f(e_i)=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j.$

Il faut bien avouer que cette notation avec un sigma n’est guère pratique.

Il convient d’écrire, par produit matriciel, que $f(e_i) = (e_1\quad \dots\quad e_n)\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni}\end{pmatrix}.$

Vous en déduisez la relation fondamentale, la matrice ligne de vecteurs $(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n))$ est égale au produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) A.$

$\boxed{(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) =(e_1\quad \dots \quad e_n) A. }$

Ecrivez le lien entre deux bases de $E$

La base $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ étant déjà prise en compte plus haut, considérez une autre base $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ de $E$. Appelez $P$ la matrice de passage de $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ vers la base $(f_1\quad\dots\quad f_n).$

Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$, le vecteur $f_i$ se décompose avec un sigma : $f_i=\sum_{j=1}^n p_{ji}e_j$ et les coefficients $p_{ji}$ sont regroupés dans la matrice $P$ qui est définie par :

Comme tout à l’heure, l’écriture avec un sigma est peu agréable aussi, vous pouvez remarquer que $f_i$ s’écrit comme le produit matriciel $f_i = (e_1\quad \dots \quad e_n) \begin{pmatrix}p_{1i}\\\dots\\ p_{ni}\end{pmatrix}.$

La matrice ligne $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ s’écrit comme le produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) P.$

En résumé :

$\boxed{(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.}$

Et la relation de diagonalisation $D = P^{-1}AP$

Supposez que vous ayez trouvé une base de diagonalisation de $f$, autrement dit, il existe $n$ scalaires $\lambda_1$, …, $\lambda_n$ tels que $\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, f(f_i)=\lambda_i f_i.$

Remarquez que $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n).$

Cette matrice ligne s’écrit comme un produit matriciel en utilisant la matrice $D$ diagonale définie par :

qui vous permet d’écrire successivement :

\begin{align*}
(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n) \\
&= (f_1\quad\dots\quad f_n)D\\
&= [(e_1\quad \dots \quad e_n) P]D\\
&=(e_1\quad \dots \quad e_n) [PD].
\end{align*}

Notez l’utilisation des crochets qui soulignent l’associativité du produit matriciel.

Mais $(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.$ Comme $f$ est linéaire, vous obtenez $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P$ ce qui vous donne un autre calcul possible pour la matrice ligne $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)).$ Cela donne : 

\begin{align*}
(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P\\
&=[(e_1\quad \dots \quad e_n) A]P\\
&=(e_1\quad \dots \quad e_n) [AP].
\end{align*}

Vous déduisez l’égalité suivante de combinaisons linéaires : $(e_1\quad \dots \quad e_n)PD = (e_1\quad \dots \quad e_n)AP.$

Comme la famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, il y a unicité des coefficients et par suite $PD = AP.$

Comme la matrice $P$ est une matrice de passage d’une base vers une autre, elle est inversible et en multipliant à gauche par $P^{-1}$ vous obtenez le résultat annoncé : $\boxed{P^{-1}AP= D.}$

112. Calcul des cosinus de pi/7, 3pi/7 et 5pi/7

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Prépa

Factorisez $X^7+1$ dans $\C[X]$

Remarquez déjà que pour tout nombre complexe $z$, on ne peut avoir l’annulation simultanée du polynôme $X^7+1$ et de son polynôme dérivé. En effet $z^7+1=0$ et $7z^6 = 0$ fournit $z=0$ et la contradiction $1=0.$

Le polynôme $X^7+1$ n’a que des racines simples dans $\C$. Si on pose $\alpha = \e^{\frac{i\pi}{7}}$, vous remarquez que $\alpha$ est annulé par $X^7+1$ étant donné que $\e^{i\pi} = -1$, appelé relation d’Euler.

Ensuite, il s’agit de remarquer que $\alpha^3$ est aussi une racine de $X^7+1.$ En effet, $(\alpha^3)^7+1 = (\alpha^7)^3+1 = (-1)^3+1 = 0.$

Il en est de même pour $\alpha^5$ avec un calcul similaire : $(\alpha^5)^7+1 = (\alpha^7)^5+1 = (-1)^5+1=0.$

Comme $X^7+1$ est à coefficients réels, les trois conjugués $\overline{\alpha}$, $\overline{\alpha}^3$ et $\overline{\alpha}^5$ sont aussi trois racines de $X^7+1$.

Etant donné que $-1$ est aussi une racine de $X^7+1$, vous obtenez la factorisation finale de $X^7+1$ dans $\C[X]$ :

$\boxed{X^7+1 = (X+1)(X-\alpha)(X-\overline{\alpha})\left(X-\alpha^3\right)\left(X-\overline{\alpha}^3\right)\left(X-\alpha^5\right)\left(X-\overline{\alpha}^5\right)}.$

Développez $(X-z)(X-\overline{z})$

Vous obtenez un polynôme à coefficients réels qui est égal à $X^2-(z+\overline{z})X+|z|^2.$

Rappelez-vous que $z+\overline{z}$ vaut deux fois la partie réelle de $z$, qui est un réel.

Factorisez $X^7+1$ dans $\R[X]$

Posez maintenant $\alpha_1 = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)$, $\alpha_3 = \cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)$ et $\alpha_5 = \cos \left(\frac{5\pi}{7}\right).$

Vous développez et obtenez successivement :

$(X-\alpha)(X-\overline{\alpha}) = X^2-2\alpha_1 X+1$

$(X-\alpha^3)(X-\overline{\alpha}^3) = X^2-2\alpha_3 X+1$

$(X-\alpha^5)(X-\overline{\alpha}^5) = X^2-2\alpha_5 X+1.$

Vous en déduisez que :

$\boxed{X^7+1 = (X+1)(X^2-2\alpha_1 X+1)(X^2-2\alpha_3 X+1)(X^2-2\alpha_5 X+1)}.$

Déduisez-en un polynôme annulateur de $\alpha_1$, $\alpha_3$ et $\alpha_5$

Notez que pour tout $u\in\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5\}$, le polynôme $X^2-2uX+1$ divise le polynôme $X^7+1.$

Soit maintenant $u$ fixé appartenant à $\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5\}.$

Or, quand vous effectuez la division euclidienne de $X^7+1$ par $X^2-2uX+1$ vous avez pour quotient :

$Q(X)=X^5+2uX^4+(4u^2-1)X^3+(8u^3-4u)X^2+(16u^4-12u^2+1)X+(32u^5-32u^3+6u)$

et pour reste :

$R(X) = (64u^6-80u^4+24u^2-1)X+(-32u^5+32u^3-6u+1).$

Le reste étant nul, vous en déduisez que : $64u^6-80u^4+24u^2-1 = 0$ et que $-32u^5+32u^3-6u+1 = 0.$

Multipliez la dernière relation par $2u$ : $-64u^6+64u^4-12u^2+2u = 0.$

Finalement, par addition des deux polynômes en $u$ de degré 6 vous aboutissez à : $-16u^4+12u^2+2u-1=0.$

Or, $-32u^5+32u^3-6u+1 = 0.$ Multipliez par $-2u$ la relation $-16u^4+12u^2+2u-1=0$ pour obtenir $32u^5-24u^3-4u^2+2u=0.$

Par somme des deux polynômes en $u$ de degré 5, vous aboutissez à $8u^3-4u^2-4u+1=0.$

Concluez par la factorisation de $8X^3-4X^2-4X+1$

D’après ce qui précède, les trois nombres $\alpha_1 = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)$, $\alpha_3 = \cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)$ et $\alpha_5 = \cos \left(\frac{5\pi}{7}\right)$ sont trois racines (deux à deux distinctes) du polynôme $8X^3-4X^2-4X+1$.

Vous en déduisez la factorisation :

$\boxed{8X^3-4X^2-4X+1 = 8\left(X-\cos \frac{\pi}{7}\right)\left(X-\cos \frac{3\pi}{7}\right)\left(X-\cos \frac{5\pi}{7}\right).}$

Vous cherchez à calculer les cosinus de 2pi/7, 4pi/7 et 6pi/7 ?

Ne traînez plus ! Jetez un coup d'oeil sur l'article 107.