Etudiez la suite définie par $u_{n+1}=1-\frac{1}{u_n}$.

Recherchez les comportements

Choisissez un premier terme, par exemple $u_1=1$

$u_2 = 1-1 = 0$ exemple mal choisi, la suite $(u_n)$ n’est alors plus définie à cause de la division par 0.

Choisissez un autre premier terme, par exemple $u_1=2$

$u_2 = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$u_3 = 1-\frac{1}{\frac{1}{2}} = 1-2 = -1$
$u_4 = 1-\frac{1}{-1} = 1+1 = 2 = u_1$
du coup, vous pouvez montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n$, autrement dit, la suite $(u_n)$ est 3-périodique.

Le comportement identifié se reproduit-il ou est-il fortuit ?

Testez avec un autre premier terme, par exemple $u_1=13$

$u_2 = 1-\frac{1}{13} = \frac{12}{13}$
$u_3 = 1-\frac{1}{\frac{12}{13}} = 1-\frac{13}{12}= -\frac{1}{12}$
$u_4 = 1-\frac{1}{-\frac{1}{12}} = 1+12= 13 = u_1$
On a une confirmation.

Adoptez une démonstration

Montrez que, $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n.$
$u_{n+1} = 1-\frac{1}{u_n} = \frac{u_n-1}{u_n}$
$u_{n+2} = 1-\frac{1}{\frac{u_n-1}{u_n}} = 1-\frac{u_n}{u_n-1}= \frac{u_n-1-u_n}{u_n-1} =-\frac{1}{u_n-1}$
$u_{n+3} = 1-\frac{ 1  }{-\frac{1}{u_n-1} }=1+u_n-1=u_n.$
Et voilà, vous avez terminé.

Que manque-t-il ?

La démonstration précédente présuppose que la suite est bien définie. Or, vous avez vu au début de cet article que si $u_1=1$, il y a un souci.
Déterminez pour finir pour quelles sont les valeurs possibles du premier terme $u_1$ pour que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ soit bien définie. Cela ne sera pas traité ici… à vous de jouer !

Considérez $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=4.$

Cette équation, bien que d’apparence simple, où on cherche $a$, $b$ et $c$ comme étant des entiers positifs n’admet pas de solution simple.

On peut vérifier que :
$a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999$
$b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579$
$c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036$

constitue une solution et qu’il n’en a pas d’autre plus petite. Presque 80 chiffres à la clé pour chacun des nombres $a$, $b$ et$ c.$ C’est énorme.

L’intérêt de ce problème c’est qu’il met en échec les techniques de résolution par force brute… avis aux amateurs.

Le but de ce contenu est de calculer la valeur de $\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right) = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right) +\arctan \left(\frac{1}{7}\right).$

Posez $a=\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right)$ et $b=\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right).$ $a$ et $b$ désignent deux réels – correspondant à des angles aigus – tels que $\sin a = \frac{3}{5}$ et $\tan b = \frac{1}{7}.$

Comment attraper la valeur de $a+b$ ?

Il serait bon dans un premier temps de savoir si $a+b$ désigne un angle aigu, pour cela, en coupant en deux, voyez si $a$ est inférieur à $\frac{\pi}{4}.$
Comparez $\frac{3}{5}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Cela revient à comparer leurs carrés car ce sont deux nombres positifs.
$\frac{9}{25} < \frac{9}{18}  \leq \frac{1}{2}$ donc $\sin a \leq \sin \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction sinus sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ vous obtenez $a\in \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right[.$ Plus rapidement, pour $b$, vous obtenez $\tan b \leq  \frac{1}{7} < 1 \leq \tan \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction tangente sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ vous obtenez $b < \frac{\pi}{4}.$ Ainsi $0 < a+b < \frac{\pi}{2}.$ $a+b$ désigne un angle aigu.

Un calcul de tangente

Vous connaîtrez la valeur de $a+b$ quand la valeur de sa tangente sera connue.
La formule d’addition de la tangente fournit :
$\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b}$
Partant de :
\begin{aligned} \tan a &= \frac{\sin a}{\cos a}\\ &= \frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}} \\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{25-9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\\    &=\frac{3}{4}\end{aligned}
On en déduit :
\begin{aligned} \tan (a+b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b} \\ &=\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1- \frac{3}{4}\times \frac{1}{7}}\\ &= \frac{\frac{25}{28}}{1- \frac{3}{28}} \\&=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} \\ &=1.  \end{aligned}
Comme $\tan(a+b) =\tan \frac{\pi}{4}$
on en déduit $a+b =\frac{\pi}{4}.$

Prolongement

Vous souhaitez découvrir une autre formule attribuée à Machin et qui fait apparaître la fraction $1/239$? Rendez-vous dans le contenu rédigé dans l'article 381.

Vous voulez savoir pourquoi $\log 1002 = 3,00086772\dots$ ? Comment trouvez-vous le $3$, puis le $0$, puis le $0$, puis le $0$, puis le $8$, et comment vous pouvez continuer ?

Historiquement

Au XIXème siècle, des tables de logarithmes ont été créées avec une précision redoutable. Aujourd’hui, vous allez avoir une idée pour savoir comment ces tables ont été créées, chiffre après chiffre après la virgule.

Comment trouver le chiffre 3

Partez du fait que les logarithmes décimaux sont faciles à calculer avec les puissances de 10. Vous avez $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$, $\log 10\ 000= 4.$
Puisque $1000 < 1002 < 10000$ vous avez $3 < \log 1002 < 4$ et en déduisez que $\log 1002 = 3,\dots$

Comment trouver les autres chiffres après la virgule

Notez $a$, $b$, $c$ et $d$ les quatre chiffres après la virgule. Vous avez  $\log 1002 = 3,abcd\dots$ les points de suspension représentent les autres chiffres après le $d.$

Trouvez le chiffre $a$

Vous souhaitez faire apparaître le chiffre $a$ à gauche de la virgule, mais tout seul. Vous retranchez 3 d’abord.  $\log 1002-3 = 0,a\dots$
Vous utilisez le fait que $\log 1000 = 3$ ce qui fait  $\log 1002-\log 1000 = 0,a\dots$
Puis  $\log 1,002 = 0,a\dots$
Pour attraper le chiffre $a$ vous multipliez par $10$ et avez $10  \log 1,002 = a,\dots$
Ainsi $\log (1,002^{10}) = a,\dots$
Cherchez à encadrer $1,002^{10}$ par deux puissances de $10$ consécutives et vous aurez tout bon.
Par approximation affine $1,002^{10} \approx 1+ 0,002\times 10 \approx 1,02.$ On se doute que $1< 1,002^{10} < 10$ si bien que $0< \log(1,002^{10}) < 1$ ce qui justifiera a posteriori que $\log(1,002^{10}) =0,\dots$ et donc $a=0.$
Comme $1 < 1,002$ on a $1 < 1,002^{10}.$
Pour une majoration $1,002^{10} < 10$ :
\begin{aligned}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,1 \\
1,002^4 &\leq 1,1^2 \leq 1,21 \\
1,002^8 &\leq 1,21^2 \leq 1,4641\leq 1,47\\
1,002^{10} &\leq 1,47\times 1,1 \leq 1,617 < 10.
\end{aligned}

Trouvez le chiffre $b$

$\log 1002 = 3,0bcd\dots$ puis $\log 1002 -\log 1000= 0,0bcd\dots$ soit $\log 1,002 = 0,0bcd\dots$ d’où $\log (1,002^{100}) = b,cd\dots$
\begin{aligned}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,01 \\
1,002^4 &\leq 1,01^2 \leq 1,03 \\
1,002^8 &\leq 1,03^2 \leq 1,07\\
1,002^{16} &\leq 1,07^2 \leq 1,15\\
1,002^{32} &\leq 1,15^2 \leq 1,33\\
1,002^{64} &\leq 1,33^2 \leq 1,77 \\
1,002^{100} &\leq 1,77\times 1,15 \times 1,03 \leq 2,10 < 10.
\end{aligned}
Ainsi $b = 0.$

Trouvez le chiffre $c$

$\log 1002 = 3,00cd\dots$ puis $\log 1,002 = 0,00cd\dots$ d’où $\log (1,002^{1000}) = c,d\dots$
\begin{aligned}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,0041 \\
1,002^4 &\leq 1,0041^2 \leq 1,0083 \\
1,002^8 &\leq 1,0083^2 \leq 1,0167\\
1,002^{16} &\leq 1,0167^2 \leq 1,0337\\ x
1,002^{32} &\leq 1,0337^2 \leq 1,0686\\
1,002^{64} &\leq 1,0686^2 \leq 1,1420 \\
1,002^{128} &\leq 1,1420^2 \leq 1,3042\\
1,002^{256} &\leq 1,3042^2 \leq 1,7010\\
1,002^{512} & \leq 1,7010^2 \leq 2,8935\\
1,002^{1000} &\leq 2,8935\times 1,7010\times 1,3042 \times 1,1420 \times 1,0686 \times 1,0167 \leq 7,97 < 10
\end{aligned}
Ainsi $c = 0.$

Trouvez le chiffre $d$

$\log 1002 = 3,000d\dots$ puis $\log 1,002 = 0,000d\dots$ d’où $\log (1,002^{10000}) = d,\dots$
On encadre $1,002^{10000}$, il vient

$100\ 000\ 000 < 450\ 000\ 000 <$ et $ 1,002^{10000} < 999\ 999\ 999.$
de là on déduit $8 < \log (1,002^{10\ 000}) < 9$ donc $d=8.$

Conclusion

$\boxed{\log 1002 = 3,0008\dots}$ avec d’autres chiffres derrière.