Catégorie : Niveau Capes
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146. Calculez le discriminant de l’équation générale du troisième degré
Formez une expression symétrique et déduisez-en la valeur du discriminant en fonction des coefficients.
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145. Trigonalisez une matrice sans utiliser le déterminant
Considérez la matrice réelle définie par : Soit $f$ l’endomorphisme de $\R^3$ canoniquement associé à la matrice $A.$ Note. Dans la suite de ce contenu, la notation $I$ désignera la matrice identité ou, pour ne pas surcharger les notations, l’identité de $\R^3.$ Notez $e_1 = (1,0,0)\comma$ $e_2 = (0,1,0)$ et $e_3 = (0,0,1)$ les trois vecteurs…
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144. Exemple de résolution d’une équation du troisième degré
Le but de ce document est d’illustrer le contenu théorique que vous trouverez dans [yanniswp_article_link nb= »141″ desc= »dans l’article 141″].
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143. Expliquez pourquoi l’équation de degré 3 se ramène à une équation de degré 2
Découvrez pourquoi une équation du troisième degré se ramène à une équation du second degré.
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139. Une équation du troisième degré
Soit à résoudre dans les nombres réels l’équation $(E) : x^3-15x-4=0.$ Étudiez les variations de la fonction $x\mapsto x^3-15x-4$ Pour tout réel $x\comma$ posez $f(x)=x^3-15x-4.$ La fonction $f$ étant polynomiale, elle est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x\comma$ $f'(x)=3x^2-15 = 3(x^2-5) = 3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).$ De cette factorisation, vous déduisez que la fonction $f$ est…
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138. Des décompositions en éléments simples de fractions rationnelles en restant dans les réels
La démarche proposée ici consiste à montrer pourquoi l’existence de la décomposition est possible. Elle s’appuie sur l’algorithme d’Euclide étendu et sur les divisions euclidiennes. Le but sera de trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de la fraction rationnelle $\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Décomposez en éléments simples la fraction $F(X)=\frac{2X}{X^2-1}$ dans $\R(X)$ Le dénominateur de la…
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137. Calculez la somme des k fois 2 puissance k
Soit $n$ un entier naturel. Vous allez calculer successivement les sommes $A_n = \sum_{k=1}^n 2^k$ et $B_n = \sum_{k=1}^n k2^k.$ Multipliez par $2$ et effectuez un changement de variable Cette idée va vous donner la réponse pour $A_n.$ Du coup, par soustraction de $A_n\comma$ vous obtenez $A_n = 2\times 2^n-2.$ Appliquez le même raisonnement pour…
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133. Limite d’une suite géométrique dont la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1
Pourquoi une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre $-1$ et $1$ converge-t-elle vers zéro ? Il existe un moyen d’y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Établissez la monotonie de la suite $n\mapsto q^n$ Soit $n$ un entier naturel.…
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130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes
L’objectif de ce contenu est de démontrer que $\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’)=\mathrm{exp}(z+z’).$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite complexe qui converge vers un nombre $z\in\C\comma$ alors vous avez encore $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n =…
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129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus
D’après un autre article, pour tout réel $x\comma$ vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L’exponentielle d’un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module $1$ Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN\comma$ le conjugué de $1+\frac{ix}{n}$ est $1-\frac{ix}{n}.$ Comme $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix)\comma$ en prenant le…