Catégorie : Niveau Capes
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146. Calculez le discriminant de l’équation générale du troisième degré
Formez une expression symétrique et déduisez-en la valeur du discriminant en fonction des coefficients.
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145. Trigonalisez une matrice sans utiliser le déterminant
Considérez la matrice réelle définie par : Soit $f$ l’endomorphisme de $\R^3$ canoniquement associé à la matrice $A.$ Note. Dans la suite de l’article la notation $I$ désignera la matrice identité ou, pour ne pas surcharger les notations, à l’identité de $\R^3.$ Notez $e_1 = (1,0,0)$, $e_2 = (0,1,0)$ et $e_3 = (0,0,1)$ les trois vecteurs…
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144. Exemple de résolution d’une équation du troisième degré
Le but de ce document est d’illustrer le contenu théorique que vous trouverez dans [yanniswp_article_link nb= »141″ desc= »dans l’article 141″].
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143. Expliquez pourquoi l’équation de degré 3 se ramène à une équation de degré 2
Découvrez pourquoi une équation du troisième degré se ramène à une équation du second degré.
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139. Une équation du troisième degré
Soit à résoudre dans les nombres réels l’équation $(E) : x^3-15x-4=0.$ Etudiez les variations de la fonction $x\mapsto x^3-15x-4$ Pour tout réel $x$, posez $f(x)=x^3-15x-4.$ La fonction $f$ étant polynomiale, elle est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2-15 = 3(x^2-5) = 3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).$ De cette factorisation, vous déduisez que la fonction $f$ est…
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138. Des décompositions en éléments simples de fractions rationnelles en restant dans les réels
La démarche proposée ici consiste à montrer pourquoi l’existence de la décomposition est possible. On se base sur l’algorithme d’Euclide étendu et sur les divisions euclidiennes. Le but sera de trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de la fraction rationnelle $\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Décomposez en éléments simples la fraction $F(X)=\frac{2X}{X^2-1}$ dans $\R(X)$ Le dénominateur de…
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137. Calculez la somme des k fois 2 puissance k
Soit $n$ un entier naturel. Vous allez calculer successivement les sommes $A_n = \sum_{k=1}^n 2^k$ et $B_n = \sum_{k=1}^n k2^k.$ Multipliez par $2$ et effectuez un changement de variable Cette idée va vous donner la réponse pour $A_n.$ $\begin{align*}2A_n &= \sum_{k=1}^n 2^{k+1}\\&=\sum_{k=2}^{n+1} 2^k \\&= 2^{n+1} + \sum_{k=2}^{n} 2^k \\&= 2^{n+1}+ \sum_{k=1}^{n} 2^k – 2\\&=2\times 2^n…
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133. Limite d’une suite géométrique dont la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1
Pourquoi la limite d’une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d’y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Etablissez la monotonie de la suite $n\mapsto q^n$ Soit $n$ un entier naturel. $u_{n+1}-u_n = q^{n+1}-q^n = q^n(q-1).$ Or…
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130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes
L’objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’)=\mathrm{exp}(z+z’).$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite complexe qui converge vers un nombre $z\in\C$, alors vous avez encore $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$…
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129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus
D’après le contenu qui se trouve [yanniswp_article_link nb= »128″ desc= »dans l’article 128″], pour tout réel $x$, vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L’exponentielle d’un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module 1 Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN$, le conjugué de $1+\frac{ix}{n}$ est $1-\frac{ix}{n}$. Comme $\lim_{x\to…