Comment calculer la longueur d’une bissectrice dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés de ce triangle ? Le calcul vectoriel, auquel vous allez ajouter le produit scalaire, permet de répondre. Il existe bien d’autres constructions, très astucieuses, permettant d’obtenir le même résultat, mais elles ne seront pas abordées dans ce contenu. Placez-vous dans le…

Démonstration directe du lemme d’Euclide en arithmétique, sans utiliser d’autres théorèmes.

Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$ Quels outils seront utilisés ? Vous allez utiliser le développement d’une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$ Vous allez utiliser des propriétés de la racine cubique. C’est une fonction définie sur $\R\comma$ multiplicative et impaire : $\forall (x,y)\in\R^2, \sqrt[3]{xy} =…

Considérez la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,1]$ par $f(x)=x^2$ et notez $\cc$ sa courbe représentative. Vous notez $\aa$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\cc\comma$ l’axe des abscisses et la droite verticale d’équation $x=1.$ Comment trouver la valeur de cette aire ? Minorez la valeur de $\aa$ par des rectangles Soit $n$ un entier…

Découvrez comment construire un polynôme de degré 3 qui annule des cosinus de pi/7, 3pi/7 et 5pi/7.