Catégorie : Niveau Capes
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128. Une définition de l’exponentielle
La fonction exponentielle peut être définie à partir de suites convergentes.
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127. Longueur d’une bissectrice
Comment calculer la longueur d’une bissectrice dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés de ce triangle ? Le calcul vectoriel auquel vous allez ajouter le produit scalaire permettront de répondre. Il existe bien d’autres constructions, très astucieuses, permettant d’obtenir le même résultat, mais elles ne seront pas abordées dans cet article. Placez-vous dans le…
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126. Le lemme d’Euclide
Démonstration directe du lemme d’Euclide en arithmétique, sans utiliser d’autres théorèmes.
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124. Equations de degré 4, des palindromes au cas général
Dans cet article, vous recherchez un moyen de trouver tous les candidats potentiels d’une équation réelle de degré 4. Les exemples sont choisis pour que les calculs restent compréhensibles bien que longs sur la fin de l’article. Vous allez constater que, si vous savez résoudre les équations réelles de degré 2 et de degré 3,…
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122. Racine de 2 est irrationnel
Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l’équation $x^2=2.$ Vous allez démontrer qu’il n’existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$ Un tel résultat constitue l’irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{u}{v}, u\in\Z, v\in\NN\right\}.$ Raisonnez par l’absurde Supposez qu’il existe $a\in\Z$…
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121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées
Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$ Quels outils seront utilisés ? Vous allez utiliser le développement d’une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$ Vous allez utiliser des propriétés de la racine cubique. C’est une fonction définie sur $\R$, multiplicative et impaire : $\forall (x,y)\in\R^2, \sqrt[3]{xy} =…
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120. Aire sous la parabole
Considérez la courbe $\cc$ d’équation $y=x^2$, lorsque $x$ parcourt l’intervalle $[0,1].$ On note $\aa$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\cc$, l’axe des abscisses et la droite verticale d’équation $x=1.$ Comment trouver la valeur de $\aa$? Minorez la valeur de $\aa$ par des rectangles Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérez la subdivision…
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119. Homothéties et translations
Utilisez des homothéties et des translations pour montrer que des points sont alignés.
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118. Alignement de trois points
Voyez comment le calcul de plusieurs distances permet d’aboutir à l’alignement de trois points.
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112. Calcul des cosinus de pi/7, 3pi/7 et 5pi/7
Découvrez comment construire un polynôme de degré 3 qui annule des cosinus de pi/7, 3pi/7 et 5pi/7.