Catégorie : Niveau Terminale

Soit $x$ un réel strictement supérieur à $-1$, de sorte que $1+x$ soit un réel strictement positif.

Vous allez démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n \geq 1+nx.$

D’où provient l’idée de ce lemme ?

Lorsque $x$ est positif, vous avez les minorations suivantes, après développement :

\begin{aligned}
(1+x)^2 &\geq 1+2x+x^2 \geq 1+2x\\
(1+x)^3 &\geq 1+3x+3x^2+x^3 \geq 1+3x\\
(1+x)^4 &\geq 1+4x+6x^2+4x^3+x^4 \geq 1+4x\\
(1+x)^5 &\geq 1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5 \geq 1+5x.
\end{aligned}

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ positif, le développement de $(1+x)^n$ fournit immédiatement le lemme de Bernoulli.

Il est remarquable que celui-ci subsiste aussi lorsque $x$ appartient à l’intervalle $]-1,0[.$

En effet, soit $x$ un réel fixé appartenant à $]-1,0[$.

Partez de $3+x \geq 0$, alors après multiplication par $x^2$ qui est positif, $3x^2+x^3 \geq 0$ et par suite $1+3x+3x^2+x^3\geq 1+3x$ d’où $(1+x)^3\geq 1+3x.$

Pour le degré $4$, partez du fait que $x^2+4x+6 = (x+2)^2+2$ du coup $x^2+4x+6\geq 0$ et après multiplication par $x^2$, il vient $x^4+4x^3+6x^2\geq 0$ et par suite $x^4+4x^3+6x^2+4x+1 \geq 4x+1$ donc $(1+x)^4\geq 1+4x.$

Pour le degré $5$, il va falloir trouver un argument pour justifier que le réel $10+10x+5x^2+x^3$ va être positif… c’est encore possible en étudiant la fonction $f$ définie par $f(t) = 10+10t+5t^2+t^3$ sur l’intervalle $[-1,0].$

Vous avez $f'(t) = 10+5t+3t^2$ qui est un polynôme de degré $2$ possédant un discriminant strictement négatif et de coefficient dominant positif, par suite la fonction $f’$ est positive, donc $f$ est croissante sur $[-1,0]$ donc $f(x)\geq f(-1).$ Or, $f(-1)=4$ donc $f(x)\geq 0.$

Après multiplication de l’inégalité $10+10x+5x^2+x^3 \geq 0$ par $x^2$ et ajout de $1+5x$ vous obtenez enfin $(1+x)^5\geq 1+5x.$

Il semble donc cohérent de conjecturer que l’inégalité $(1+x)^n\geq 1+nx$ est valable pour tout entier naturel $n.$

Mais comment unifier une démonstration unique pour toutes les valeurs de l’entier $n$ ?

La récurrence va être l’outil adéquat.

Utilisez une récurrence

Pour tout entier naturel $n$, notez $P(n)$ la propriété suivante : « pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1$, $(1+x)^n\geq 1+nx.$ »

Initialisation. Posez $n=0$ et fixez un réel $x$ strictement supérieur à $-1.$ Alors $x+1$ est un réel strictement positif, donc $(1+x)^0 = 1.$ Comme $1+0x = 1$ vous obtenez bien $(1+x)^0\geq 1+0x.$ Donc la propriété $P(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel fixé tel que la propriété $P(n)$ soit vérifiée.

Soit $x$ un nombre réel strictement supérieur à $-1.$

Partez du fait que $(1+x)^{n+1} = (1+x)^n(1+x).$

Par hypothèse de récurrence, $(1+x)^n\geq 1+nx.$ Or, $1+x$ est positif, donc après multiplication :

\begin{aligned}
(1+x)(1+x)^n &\geq (1+nx)(1+x) \\
&\geq 1+(n+1)x+nx^2\\
&\geq 1+(n+1)x.
\end{aligned}

La dernière inégalité provient du fait que $n$ est positif et que $x^2$ en tant que carré d’un nombre réel, est positif aussi.

Ainsi $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$ ce qui montre que la propriété $P(n+1)$ est vérifiée.

Concluez

Il a été établi la propriété suivante, baptisée « lemme de Bernoulli«  : pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1$, $(1+x)^n\geq 1+nx.$

Note. La positivité de $1+x$ a été utilisée dans la récurrence au moment de la multiplication de l’inégalité $(1+x)^n\geq 1+nx$ par $1+x.$ Le fait que $x = -1$ soit rejeté dans le lemme sert d’un point de vue technique à l’initialisation pour éviter le cas litigieux « $0^0$ » et aussi parce que dans ce cas-là, $(1+x)^n$ serait nul, ce qui ne présente pas beaucoup d’intérêt.

Prolongement

Dans quel cas peut être utilisé le lemme de Bernoulli ? Allez jeter un oeil dans l'article 186 et dans l'article 250.

Comment allez-vous calculer le PGCD noté $d$ de $230$ et de $42$ ? Comment allez-vous déterminer deux entiers $a$ et $b$ tels que $230a+46b = d$ ? Pour rappel, ces nombres sont appelés coefficients de Bézout.

Utilisez des divisions euclidiennes successives

Divisez $230$ par $42$. Vous pouvez partir de $5\times 50 = 250$ donc $5\times 42 = 5(50-8) = 250-40 = 210.$

Ce qui fournit $230 = 5\times 42 + 20.$

Vous inscrivez ce résultat dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|}
\hline
230 & \\
\hline
42 & 5 \\
\hline
20 & \\
\hline
\end{array}

Ce tableau ayant la structure suivante :

\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{dividende} & \\
\hline
\text{diviseur} & \text{quotient} \\
\hline
\text{reste} & \\
\hline
\end{array}

Remarquez que les divisions euclidiennes préservent le PGCD

Notez $d=\mathrm{PGCD}(230,42).$

Alors $d\mid 230$ et $d\mid 42$, donc $d\mid 230$ et $d\mid 5\times 42$, donc par différence $d\mid 20.$

Comme $d\mid 42$ et $d \mid 20$, vous déduisez $d\leq \mathrm{PGCD}(42,20).$

Notez $d’=\mathrm{PGCD}(42,20).$

Comme $d’\mid 42$ et $d’\mid 20$, vous déduisez $d’\vert 5\times 42$ et $d’\mid 20$ donc par somme $d’\mid 230.$

Comme $d’\mid 42$ et $d’\mid 230$ vous en tirez que $d’\leq \mathrm{PGCD}(230,42).$

De $d\leq d’$ et $d’\leq d$ vous déduisez $d=d’$ soit $\mathrm{PGCD}(230,42) = \mathrm{PGCD}(42,20).$

Analyse : comprenez la structure des coefficients de Bézout

Supposez que vous avez trouvé deux entiers $a$ et $b$ tels que $\mathrm{PGCD}(42,20) = 42a+20b.$

Vous inscrivez ces nombres dans une troisième colonne supplémentaire.

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 & &\\
\hline
42 & 5 &b\\
\hline
20 & & a\\
\hline
\end{array}

Vous cherchez un nombre $c$ tel que $230b+42c = \mathrm{PGCD}(230,43) = \mathrm{PGCD}(42,20)$ de façon à remplir la case manquante à côté de $230.$

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 & &c\\
\hline
42 & 5 &b\\
\hline
20 & & a\\
\hline
\end{array}

Remarquez que :

\begin{align*}
 \mathrm{PGCD}(230,43) &= 230b+42c\\
&= (5\times 42 + 20)b+42c\\
&= 42(5b + c) +20b.
\end{align*}

Or, vous avez déjà la relation $42a+20b = \mathrm{PGCD}(42,20) = \mathrm{PGCD}(230,43).$

Cela conduit à choisir $c$ pour que $5b+c = a$, soit $c = a-5b.$

Synthèse : la construction des coefficients de Bézout du bas vers le haut

Supposez donc que vous avez trouvé deux réels $a$ et $b$ tels que $42a+20b = d.$

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 & &\\
\hline
42 & 5 &b\\
\hline
20 & & a\\
\hline
\end{array}

Vous posez $c = a-5b.$

Alors vous obtenez successivement :

\begin{align*}
d &= 42a+20b\\
&=42a+(230-5\times 42)b\\
&=42(a-5b)+230b\\
&=230b+42c.
\end{align*}

Visualisez le cas général

Soient $A$ et $B$ deux nombres entiers avec $B>0.$

Vous effectuez la division euclidienne de $A$ par $B$ et déduisez l’existence d’un quotient $Q$ entier et d’un reste $R$ positif strictement inférieur à $B$ tels que : $A=BQ+R.$

En suivant le même raisonnement que celui opéré ci-dessus, vous avez $\mathrm{PGCD}(A,B) = \mathrm{PGCD}(B,R).$ Notez-le $D$.

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline A & & c\\ \hline
 B & Q &b\\ \hline
 R & & a\\ \hline
\end{array}

Supposez que vous avez trouvé deux coefficients de Bézout tels que $aB + bR = D.$

Vous posez $\boxed{c = a-bQ.}$

Vous avez successivement :

\begin{align*}
D &= aB+bR\\
&=aB+b(A-BQ)\\
&=(a-bQ)B+bA\\
&=bA + cB.
\end{align*}

Ainsi, à chaque étape, vous avez les coefficients de Bézout.

Concluez sur l’exemple complet

Pour calculer le PGCD entre $230$ et $42$ et trouver deux coefficients de Bézout associés, vous effectuez la suite des divisions euclidiennes jusqu’à trouver un reste nul.

\begin{align*}
230 &= 5\times 42 + 20\\
42 &= 2\times 20 + 2\\
20 &= 10\times 2 +0.
\end{align*}

Si bien que $d = \mathrm{PGCD}(230,42)=2.$

Le PGCD est l’avant-dernier nombre du bas se trouvant dans la première colonne du tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 &  \\
\hline
42 & 5  \\
\hline
20 & 2  \\
\hline
2 & 10   \\
\hline
0 &    \\
\hline
\end{array}

Vous placez le $1$ et le $0$ en bas du tableau comme suit pour que la relation de Bézout fournisse $d = 1\times 2 + 0\times 0.$

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 &  &\\
\hline
42 & 5  &\\
\hline
20 & 2  &\\
\hline
2 & 10  & 0\\
\hline
0 &   & 1 \\
\hline
\end{array}

Le coefficient du dessus se calcule en effectuant $1-10\times 0 = 1.$

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 & & \\
\hline
42 & 5 & \\
\hline
20 & 2 & 1 \\
\hline
2 & 10  & 0\\
\hline
0 &   & 1 \\
\hline
\end{array}

Le coefficient du dessus se calcule en effectuant $0-2\times 1 = -2.$

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 & & \\
\hline
42 & 5 & -2 \\
\hline
20 & 2 & 1 \\
\hline
2 & 10  & 0\\
\hline
0 &   & 1 \\
\hline
\end{array}

Le coefficient du dessus se calcule en effectuant $1-5\times (-2) = 11.$

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
230 & & 11\\
\hline
42 & 5 & -2 \\
\hline
20 & 2 & 1 \\
\hline
2 & 10  & 0\\
\hline
0 &   & 1 \\
\hline
\end{array}

Conclusion : vous obtenez $\boxed{2 = \mathrm{PGCD}(230,42) = -2\times 230+11\times 42.}$

Cela fonctionne bien : $2\times 230 = 460$ et $11\times 42 = 462.$

Prolongement

Vous souhaitez savoir pourquoi les coefficients de Bézout existent ? Reportez-vous à une preuve directe qui se trouve dans le contenu rédigé dans l'article 308.

L’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{a}{b}, a\in\Z, b\in\N^{*}\right\}.$

C’est l’ensemble des quotients de deux nombres entiers, dont le dénominateur non nul peut toujours être choisi pour être positif.

Soit $q\in\Q$. Vous allez démontrer qu’il existe un unique entier $m\in\Z$ et un unique entier $n\in\N^{*}$ vérifiant les deux conditions : $q=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(m,n)=1.$

La condition $\mathrm{PGCD}(m,n)=1$ signifie que, si $k$ est un diviseur commun aux nombres $m$ et $n$, alors $k=1$, autrement dit la fraction $\frac{m}{n}$ est irréductible.

Démontrez d’abord l’existence des entiers $m$ et $n$

Soit $q\in\Q$. Par définition de l’ensemble $\Q$, il existe $u\in\Z$ et $v\in\N^{*}$ tels que $q=\frac{u}{v}.$

L’ensemble $A=\left\{b\in\N^{*}, \exists a\in\Z, q=\frac{a}{b}\right\}$ est une partie non vide de $\N$ puisqu’elle contient $v.$

Notez alors $n = \mathrm{Min} A$ le plus petit élément de $A.$

Par définition de $n$, il existe $m\in\Z$ tel que $q = \frac{m}{n}.$

Il s’agit maintenant de voir pourquoi le PGCD des entiers $m$ et $n$ est égal à $1$.

Supposez que cela ne soit pas le cas, et que $\mathrm{PGCD}(n,m) \geq 2.$

Notez $k\in\N^{*}$ ce nombre. Par définition du PGCD, il existe $n’\in\N^{*}$ et $m’\in \Z$ tels que $n = kn’$ et $m = km’$, avec $n'<n$ compte tenu du fait que $k \geq 2$.

Alors $q = \frac{m}{n}=\frac{km’}{kn’} = \frac{m’}{n’}$ donc $n’\in A.$ Or la condition $n'<n$ avec $n = \mathrm{Min} A$ implique $n’ \notin A$, contradiction.

L’existence des entiers $m$ et $n$ tels que $q=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(n,m)=1$ est démontrée.

Démontrez l’unicité des entiers $m$ et $n$

Supposez qu’il existe $a\in\Z$ et $b\in\N^{*}$ tels que $q = \frac{a}{b}= \frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(a,b)=1.$

Alors par produit en croix $an = bm$ donc $n \mid bm.$ Or $\mathrm{PGCD}(n,m)=1$ donc par le théorème de Gauss $n \mid b.$

De même, $b \mid an$ et $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ donc par le théorème de Gauss $b\mid n$.

Il en résulte que $n = b$ et l’égalité $an = bm$ devient $an=nm$ d’où $n(a-m)=0$ et comme $n$ est non nul, $a-m=0$ et $a=m$, d’où l’unicité.

Démontrez que tout représentant s’écrit en utilisant le représentant irréductible

Soit $q\in\Q$. Il a été vu qu’il existe un unique $n\in\N^{*}$, un unique $m\in\Z$ tels que $q = \frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(n,m)=1.$

Soit maintenant $a\in\Z$ et $b\in\N^{*}$ tels que $q = \frac{a}{b}.$

Vous allez montrer, sans utiliser le théorème de Gauss, qu’il existe un entier $k\in\N^{*}$ tel que $a = km$ et $b = kn.$

Pour le voir, effectuez la division euclidienne de $b$ par $n$.

Il existe $k\in\N$ et $r\in\N$ tels que $b = kn + r$ avec $r< n.$

De $\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$ vous tirez $an = bm$ et donc $an-nmk = bm-nmk$ soit $n(a-km)=m(b-kn)$ ce qui s’écrit $n(a-km)=mr.$

Si $r$ était non nul, alors $\frac{a-km}{r} = \frac{m}{n}$ et par suite $r\in A.$ Mais $r<n$ combiné avec $n =\mathrm{Min}A$ implique $r\notin A$, contradiction.

Donc $r = 0.$ Cela prouve $b = kn.$ Comme $b$ est non nul, $k\in\N^{*}$.

Comme $an=bm$, vous avez $an = kmn$ et comme $n$ est non nul, vous déduisez $a=km$ comme annoncé.

Application : le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel

Supposez que $\sqrt{2}\in\Q.$ Alors il existe $m\in\Z$ et $n\in\N^{*}$ tels que $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(m,n)=1.$

Notez que comme $\sqrt{2}$ est strictement positif, vous avez $m\in\N^{*}.$

En élevant au carré vous obtenez $2 = \frac{m^2}{n^2}$ soit $m^2 = 2n^2.$

Ainsi $n \mid m^2$ soit $n \mid m\times m.$ Or $\mathrm{PGCD}(n,m)=1$ donc $n \mid m$ toujours par le théorème de Gauss.

Comme $n\mid m$ et $n\mid n$ il en résulte de la définition du PGCD que $n\leq \mathrm{PGCD}(n,m)$ et donc $n=1$. Par suite $m^2 = 2.$

Si $m = 1$ vous déduisez en élevant au carré $m ^2 = 1$ ce qui est absurde.

Donc $ m \geq 2$ mais alors $m^2 \geq 4$ et ceci est encore absurde.