Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES

Considérez une équation réelle de degré 4 ne comportant pas de terme en $x^3$ afin de simplifier les calculs.

Quitte à diviser par le coefficient dominant, vous vous ramenez à traiter l’équation $x^4+2ax^2+bx+c=0$ d’inconnue $x\in\R.$

Si $b$ est nul, vous effectuez le changement de variable $y=x^2$ et vous vous ramenez à résoudre une équation de degré 2. On dit que l’équation est « bicarrée ».

Dans la suite, $b$ sera supposé non nul.

Utilisez l’identité remarquable $(u+v)^2=u^2+v^2+2uv$

La première idée consiste à utiliser le début du développement de $(u+v)^2.$

En effet, $(x^2+a)^2 = x^4+2ax^2+a^2$, du coup, pour tout réel $x$ :

\begin{aligned}
x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a)^2+bx+c-a^2 = 0.
\end{aligned}

Ajoutez un degré de liberté avec l’idée de Ferrari

Soit $k$ un nombre réel qui sera choisi plus tard. Observez la suite d’équivalences :

\begin{aligned}
x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a)^2+bx+c-a^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2-k^2 -2k(x^2+a)+bx+c-a^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2+(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = 0\\
\end{aligned}

L’idée de Ferrari consiste à choisir $k$ pour que le polynôme $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka$ ait un discriminant égal à $0.$

Cela conduit à choisir $k$ pour que :

\begin{aligned}
b^2-4(-2k)(-k^2+c-a^2-2ka) &= 0 \\
b^2+8k(-k^2+c-a^2-2ka) &=0 \\
-8k^3-16ak^2+(8c-8a^2)k+b^2 &= 0.
\end{aligned}

Pour tout $x\in\R$ notez $P(x) = -8x^3-16ax^2+(8c-8a^2)x+b^2.$

Comme $b$ est non nul, $b^2 > 0.$

La fonction réelle $P$ est polynomiale donc continue sur $\R.$ Comme $\lim_{x\to +\infty} P(x) = -\infty$ et comme $P(0)=b^2$ est strictement positif, vous déduisez du théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe un réel $k$ strictement positif tel que $P(k)=0$.

La stricte positivité de $k$ est cruciale.

Le polynôme de second degré $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka$, pour la valeur choisie de $k$ précédente, a un discriminant nul et un coefficient dominant strictement négatif. Il existe donc un réel $\ell$ tel que, pour tout $x\in\R$, $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = -2k(x-\ell)^2$, ce qui s’écrit $-(\sqrt{2k}(x-\ell))^2.$ En pratique, ce réel $\ell$ est égal donné par $\frac{b}{4k}.$

Terminez la résolution

\begin{aligned}
x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2+(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2-(\sqrt{2k}(x-\ell))^2 =0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+a + k + \sqrt{2k}(x-\ell))(x^2+a + k – \sqrt{2k}(x-\ell)) =0.
\end{aligned}

La résolution finale est obtenue en utilisant les discriminants respectifs des deux polynômes réels de degré 2 obtenus.

La méthode de Ferrari permet donc, dans le cas dit « dégénéré » et non « bicarré » de factoriser un polynôme réel de degré 4 en deux polynômes réels de degré 2 et sans faire appel aux nombres complexes.

Posez $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}.$

Vous allez déterminer un polynôme à coefficients entiers qui annule le nombre réel $x$.

Cet article va privilégier une démarche inspirée des espaces vectoriels. Vous trouverez une autre façon de procéder dans l'article 165.

Comme vous avez $3$ racines à éliminer, il vous faut $4$ relations. Vous avez déjà $x$.

Calculez les puissances $x^2$, $x^3$ et $x^4$

Vous calculez donc $x^2$, $x^3$ et $x^4$ de sorte qu’avec $x$, vous aurez bien 4 relations.

\begin{align*}
x^2 &= 6 + 2 + 3-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}+2\sqrt{6}\\
&=11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}.
\end{align*}

\begin{align*}
x^3 &= (11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3})\\
&=11\sqrt{6}-11\sqrt{2}-11\sqrt{3}\\
&\quad +2\times 6-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}\\
&\quad -6\sqrt{12}+6\times 2+6\sqrt{6}\\
&\quad -4\sqrt{18}+4\sqrt{6}+4\times 3\\
&=11\sqrt{6}-11\sqrt{2}-11\sqrt{3}\\
&\quad +12-4\sqrt{3}-6\sqrt{2}\\
&\quad +12+6\sqrt{6}-12\sqrt{3}\\
&\quad 12+4\sqrt{6}-12\sqrt{2}\\
&=36+21\sqrt{6}-29\sqrt{2}-27\sqrt{3}.
\end{align*}

\begin{align*}
x^4 &= (x^2)^2\\
&=(11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3})^2\\
&=121+4\times 6+36\times 2+16\times 3\\
&\quad +44\sqrt{6}-132\sqrt{2}-88\sqrt{3}\\
&\quad -24\sqrt{12}-16\sqrt{18}\\
&\quad +48\sqrt{6}\\
&=121+24+72+48\\
&\quad +44\sqrt{6}-132\sqrt{2}-88\sqrt{3}\\
&\quad -48\sqrt{3}-48\sqrt{2}\\
&\quad +48\sqrt{6}\\
&=265+92\sqrt{6}-180\sqrt{2}-136\sqrt{3}.
\end{align*}

Eliminez les racines carrées

D’après ce qui précède, vous avez obtenu :

\left\{\begin{align*}
x&= \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3} & L_1\\
x^2 -11 &=2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}& L_2\\
x^3-36 &=21\sqrt{6}-29\sqrt{2}-27\sqrt{3} & L_3\\
x^4-265 &=92\sqrt{6}-180\sqrt{2}-136\sqrt{3}. & L_4
\end{align*}\right.

Effectuez les opérations d’élimination suivantes :

\begin{align*}
L_2&\leftarrow L_2-4L_1\\
 L_3&\leftarrow L_3-27L_1\\
 L_4&\leftarrow L_4-136L_1.
\end{align*}

\left\{\begin{align*}
x^2 -4x-11 &=-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}& L'_1\\
x^3-27x-36 &=-6\sqrt{6}-2\sqrt{2} & L'_2\\
x^4-136x-265 &=-44\sqrt{6}-44\sqrt{2}. & L'_3
\end{align*}\right.

Vous pourriez recommencer et éliminer $\sqrt{2}$ puis $\sqrt{6}$, mais ici, vous constatez la proportionnalité des coefficients des lignes $L’_1$ et $L’_3$, ce qui amène à former $-22L’_1+L’_3.$

Vous obtenez alors :

$x^4-136x-265-22(x^2 -4x-11) = 0$

d’où :

$\boxed{x^4-22x^2-48x-23=0.}$

Démontrez l’irrationalité du nombre réel $x$

Par l’absurde, supposez que $x\in\Q.$ Alors $x$ admet un représentant dit irréductible.

Il existe $m\in\Z$ et $n\in\N^{*}$ tels que $x=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(m,n)=1.$

En substituant dans la relation $x^4-22x^2-48x-23=0$ vous obtenez :

$\frac{m^4}{n^4}-22\frac{m^2}{n^2}-48\frac{m}{n}-23=0.$

Vous multipliez le tout par $n^4$ :

$m^4-22n^2m^2-48mn^3-23n^4=0$, ce qui s’écrit $m^4 = n(22nm^2-48mn^2-23n^3).$

Ce résultat prouve que $n \mid m^4.$

Ne souhaitant pas, une fois de plus, appliquer le théorème de Gauss mais le lemme d’Euclide, vous raisonnez encore par l’absurde.

Supposez un instant que $n\geq 2.$ Alors $n$ est divisible par un nombre premier $p.$

Comme $p \mid n$ et $n \mid m^4$ vous obtenez $p \mid m^4.$ Par application du lemme d’Euclide, vous déduisez $p \mid m.$

L’entier $p$ divise à la fois $n$ et $m$ donc il est inférieur ou égal à $\mathrm{PGCD}(n,m).$ Donc $p \leq 1.$ Or, $p$ étant un nombre premier, vous avez $p\geq 2$, contradiction.

Ainsi, l’entier $n$ est égal à $1$.

Donc $x = m$ et $x$ est entier.

Or, $1,4^2 = 1,96$ et $1,5^2 = 2,25$ donc $1,4 < \sqrt{2} < 1,5.$

$1,7^2 = 2,89$ et $1,8^2 = 3,24$ donc $1,7< \sqrt{3} < 1,8.$

En multipliant les deux relations ci-dessus, vous obtenez $2,38 < \sqrt{6} < 2,7.$

Maintenant constatez que :

\begin{aligned}
-1,5 &< -\sqrt{2} &<-1,4\\
-1,8 &< -\sqrt{3} &< -1,7\\
2,38 &< \sqrt{6} &< 2,7.
\end{aligned}

Par somme, vous obtenez $ -0,92 < x < -0,4$ donc $-1 < x < 0$ ce qui prouve que $x$ est situé strictement entre deux entiers consécutifs, par conséquent $x$ ne peut être entier, contradiction.

Concluez

Le nombre $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$ est solution d’une équation polynomiale de degré 4 à coefficients entiers.

Cela permet de montrer que, si $x\in\Q$, alors $x\in\Z.$

Or, un encadrement de $x$ permet de montrer que $x\notin\Z,$ donc $x\notin\Q.$

Soit $(x_0, y_0)\in\R^2$ un couple de deux réels.

Soit $(x,y)\in\R^2$ un autre couple de réels, proche du précédent.

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Construisez la preuve

Vous supposez que $\vert x-x_0 \vert < \alpha$ et $\vert y-y_0 \vert < \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels strictement positifs qui seront choisis plus tard.

Il s’agit d’obtenir la majoration $\vert xy -x_0y_0 \vert < \varepsilon.$

Voulant faire apparaître la quantité $x-x_0$ qui est petite, vous procédez comme suit :

\begin{aligned}
\vert xy – x_0y_0\vert &\leq \vert (x-x_0)y + x_0y -x_0y_0 \vert \\
&\leq \vert (x-x_0)y\vert + \vert x_0y -x_0y_0 \vert \\
&\leq \vert (x-x_0)y\vert + \vert x_0(y -y_0) \vert \\
&\leq \vert x-x_0 \vert \vert y\vert + \vert x_0 \vert \vert y-y_0\vert\\
&\leq \alpha \vert y\vert + \vert x_0 \vert \beta.
\end{aligned}

Il reste à majorer $\vert y\vert$ comme suit :

\begin{aligned}
\vert y\vert &\leq \vert (y-y_0)+y_0\vert\\
&\leq \vert (y-y_0)\vert + \vert y_0\vert\\
&\leq \beta + \vert y_0\vert.
\end{aligned}

L’ensemble étant mis bout à bout vous obtenez $\vert xy – x_0y_0\vert \leq \alpha\beta + \alpha \vert y_0\vert + \vert x_0 \vert \beta.$

Effectuez un choix judicieux pour $\alpha$ et $\beta$

Pour casser le terme $\alpha\beta$, vous pouvez choisir $\beta$ pour qu’il soit inférieur à $1$.

Vous obtenez alors :

$\vert xy – x_0y_0\vert \leq \alpha (1+ \vert y_0\vert) + \vert x_0 \vert \beta.$

Vous souhaitez avoir $ \alpha (1+ \vert y_0\vert) < \frac{\varepsilon}{2}$ et $ \vert x_0 \vert \beta < \frac{\varepsilon}{2}.$

Choisissez $\alpha = \frac{\varepsilon}{2(1+\vert y_0\vert)}$ de sorte que $\alpha (1+ \vert y_0\vert) < \frac{\varepsilon}{2}.$

Il est tentant de faire de même et de poser $\beta = \frac{\varepsilon}{2 \vert x_0 \vert}.$

Mais on diviserait potentiellement par $0$ si $x_0$ était nul. Pour pallier ce problème, vous posez à la place $\beta = \frac{\varepsilon}{2 (1+\vert x_0 \vert)}.$

Or, $\beta$ doit aussi être inférieur à $1$. Donc vous posez finalement $\beta = \mathrm{Min}\left( 1, \frac{\varepsilon}{2 (1+\vert x_0 \vert)}\right).$

Rédigez la preuve

Soit $(x_0, y_0)\in\R^2$ un couple de deux réels et $\varepsilon > 0.$

Posez $\beta = \mathrm{Min}\left( 1, \frac{\varepsilon}{2 (1+\vert x_0 \vert)}\right)$ et $\alpha = \frac{\varepsilon}{2(1+\vert y_0\vert)}.$

Supposez que $x$ et $y$ sont deux réels tels que $\vert x-x_0 \vert < \alpha$ et $\vert y-y_0 \vert < \beta.$

\begin{aligned}
\vert xy – x_0y_0\vert &\leq \vert (x-x_0)y + x_0y -x_0y_0 \vert \\
&\leq \vert (x-x_0)y\vert + \vert x_0y -x_0y_0 \vert \\
&\leq \vert (x-x_0)y\vert + \vert x_0(y -y_0) \vert \\
&\leq \vert x-x_0 \vert \vert y\vert + \vert x_0 \vert \vert y-y_0\vert\\
&\leq \alpha \vert y\vert + \vert x_0 \vert \beta\\
&\leq \alpha \vert (y-y_0)+y_0\vert + \vert x_0 \vert \beta\\
&\leq \alpha \vert (y-y_0)+y_0\vert + \vert x_0 \vert \beta\\
&\leq \alpha (\vert (y-y_0)\vert +\vert y_0\vert) + \vert x_0 \vert \beta\\
&\leq \alpha \beta + \alpha \vert y_0\vert + \vert x_0 \vert \beta\\
&\leq \alpha \times 1 + \alpha \vert y_0\vert + \vert x_0 \vert \beta\\
&\leq \alpha \left( 1 + \vert y_0\vert \right)+ \vert x_0 \vert \beta\\
&< \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2}\\
&< \varepsilon.
\end{aligned}

Concluez

Pour tout $(x_0,y_0)$, la fonction $(x,y)\mapsto xy$ qui va de $\R^2$ dans $\R$, est continue en $(x_0,y_0).$

Soit $N$ un nombre naturel supérieur ou égal à $1$. Pour tout réel $x$, notez $\left\lfloor x \right\rfloor$ la partie entière de $x$, désignant le plus grand entier inférieur ou égal à $x.$

Pour simplifier les notations, définissez la fonction $f$ sur $\N^{*}$ par $\forall n\in\N^{*}, f(n) =\left\lfloor \frac{n+\left\lfloor \frac{N}{n}\right\rfloor}{2}\right\rfloor.$

Considérez la suite définie par $u_0 = N$ et

\forall n\in\N, u_{n+1}=\begin{cases}
f(u_n) \quad\text{ si } f(u_n) < u_n\\
 u_n \quad\text{ si } f(u_n) \geq u_n.\\
\end{cases}

Cet article a pour but de démontrer que la suite $(u_n)$ est stationnaire à partir d’un certain rang et que sa limite est égale à la racine carrée entière de $N$, c’est–à-dire à l’unique entier $m$ tel que $m^2\leq N < (m+1)^2.$

Démontrez que la suite est stationnaire

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est lui-même un entier naturel.

Considérez l’ensemble $A=\{u_n, n\in\N\}$, c’est une partie de $\N$ qui contient $u_0 =N$ donc $A$ admet un plus petit élément noté $m.$

Par définition de $m$, il existe un entier $p\in\N$ tel que $m = u_p.$ L’existence de cet entier $p$ sera utilisée dans toute la suite du présent article.

Soit maintenant $k$ un entier naturel. Notez $P(k)$ la propriété $u_{p+k} = u_p.$

Initialisation. Pour $k=0$, $p+k = p$ et $u_{p+k} = u_p$ donc $P(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $k\in\N$. Supposez $P(k).$

Si $f(u_{p+k})$ était strictement inférieur à $u_{p+k}$, par définition de la suite, $u_{p+k+1}$ serait strictement inférieur à $u_{p+k} = u_p = m$, ce qui contredirait que $m$ est le minimum de $A$.

Donc $f(u_{p+k})\geq u_{p+k}$ et $u_{p+k+1} = u_{p+k} = u_p.$ Donc $P(k+1)$ est vérifiée.

Il est ainsi établi que $\forall k\in\N, u_{p+k} = u_p = m$ donc $\forall n\geq p, u_n = m.$

Etudiez la limite de la suite

D’après ce qui a été établi dans l'article 158, vous avez $\forall n\in\N, u_n\geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor$. En choisissant l’entier $n=p$, vous obtenez la minoration $m\geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor.$

Supposez un instant que $m \neq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor.$ Alors $m \geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor + 1$, ce qui s’écrit $u_p \geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor + 1.$ La suite étant stationnaire à partir du rang $p$, vous avez $f(u_p)\geq u_p$ donc $\left\lfloor \frac{u_p+\left\lfloor \frac{N}{u_p} \right\rfloor}{2}\right\rfloor \geq u_p.$

Or, dans dans l'article 158, vous avez montré que $\forall n\in\N^{*}, f(n) = \left\lfloor \frac{n+ \frac{N}{n}}{2}\right\rfloor$, donc $\left\lfloor \frac{u_p+\frac{N}{u_p}}{2}\right\rfloor \geq u_p.$

Comme $u_p$ est un entier, cela s’écrit $\left\lfloor \frac{u_p+\frac{N}{u_p}}{2}\right\rfloor -u_p\geq 0$, soit $\left\lfloor \frac{u_p+\frac{N}{u_p}}{2} – u_p\right\rfloor \geq 0$ soit $\left\lfloor \frac{-u_p+\frac{N}{u_p}}{2} \right\rfloor \geq 0$ soit $\left\lfloor \frac{N-u_p^2}{2u_p} \right\rfloor \geq 0.$

Par définition de la partie entière, $ \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor + 1 > \sqrt{N}$ donc $u_p > \sqrt{N}$ et donc $u_p^2> N$ donc $ \frac{N-u_p^2}{2u_p} $ est un réel strictement négatif. Du coup, la majoration $\left\lfloor \frac{N-u_p^2}{2u_p} \right\rfloor \leq \frac{N-u_p^2}{2u_p} < 0$ contredit la minoration $\left\lfloor \frac{N-u_p^2}{2u_p} \right\rfloor \geq 0.$

Vous déduisez donc que $m = \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor.$

Donc $m \leq \sqrt{N} < m+1$ et par suite $m^2 \leq N < (m+1)^2$, ce qui termine la démonstration.