Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ et deux fois dérivable sur $\R$, de sorte que $f^{\pprime}$ soit une fonction positive. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b.$
Pour tout réel $x$, vous posez $g(x) = f(x)-P(x).$
D’après ce qui précède, vous avez $g(a) = 0$ et $g(c)=0$, si bien que $g(a)=g(c).$ La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme différence de la fonction $f$ et de la fonction polynôme $P$ qui le sont. Ainsi, $g$ est continue sur $[a,c]$ et dérivable sur $]a,c[.$ D’après le théorème de Rolle, il existe un réel $\alpha\in]a,c[$ tel que $g'(\alpha)=0.$
De même, vous avez $g(c) = 0$ et $g(b)=0$ si bien que $g(c)=g(b).$ La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ donc elle est dérivable sur $]c,b[$ et elle est continue sur $[c,b].$ D’après le théorème de Rolle, il existe un réel $\beta\in]c,b[$ tel que $g'(\beta)=0.$
Notez que $\alpha < c <\beta$ si bien que $\alpha < \beta.$
De plus, pour tout réel $x$, il vient $g'(x) = f'(x)-P'(x).$ Comme $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, $f’$ est bien dérivable sur $\R.$ La fonction polynôme $P’$ est elle aussi dérivable sur $\R.$ Par différence, $g’$ est dérivable sur $\R.$ En particulier, $g’$ est continue sur $[\alpha, \beta]$ et dérivable sur $]\alpha, \beta[.$ Comme $g'(\alpha) = g'(\beta)$ le théorème de Rolle fournit l’existence d’un réel $\xi\in]\alpha, \beta[$ tel que $g^{\pprime}(\xi) = 0.$
Or, pour tout réel $x$, $g^{\pprime}(x) = f^{\pprime}(x)-P^{\pprime}(x).$
En évaluant pour $x=\xi$, vous déduisez $f^{\pprime}(\xi)-P^{\pprime}(\xi) = 0$ soit $f^{\pprime}(\xi)=P^{\pprime}(\xi).$
La dérivée seconde de $f$ étant positive sur $\R$ tout entier, vous déduisez $\boxed{P^{\pprime}(\xi) \geq 0.}$
Note. Le polynôme $P$ ayant un degré inférieur ou égal à $2$, on retrouve que $P’$ est de degré inférieur ou égal à $1$ et donc $P^{\pprime}$ est bien constant.
Concluez
En évaluant en $X=\xi$ et en tenant compte de l’inégalité $P^{\pprime}(\xi)\geq 0$ vous déduisez:
Pour toute fonction $f$ définie sur $\R$ et deux fois dérivable sur $\R$ et de dérivée seconde positive, il a été montré que quels que soient les réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ vous avez l’inégalité :
La suite $(c_k)_{k\geq 0}$ est strictement croissante et converge vers $1.$ D’autre part, pour tout entier naturel $k$, $c_k\neq 1.$
Note. La démonstration de ces résultats est laissée au lecteur et ne sera pas traitée dans cet exposé.
Soit $\sum_{k\geq 1} a_k$ une série réelle convergente.
Vous notez sa limite ainsi :
\boxed{A=\sum_{k=1}^{+\infty} a_k.}
Notez que la suite $(a_k)_{k\geq 1}$ converge alors vers $0.$ Il en est de même de la suite $(\vert a_k \vert)_{k\geq 1}$. En tant que suite positive convergente, elle est majorée.
Il existe un réel $\boxed{M>0}$ tel que $\boxed{\forall k\geq 1, \vert a_k \vert \leq M.}$
A cette série, vous associez la fonction $h: [0,1]\to \R$ définie de la façon suivante :
D’autre part, la fonction $h$ est constante sur l’intervalle $[c_{k-1},c_k[$ et prend pour valeur $2^k a_k.$ Le graphique ci-dessous illustre une représentation possible de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0 ; 15/16[.$ Par contre la représentation de $h$ sur l’intervalle $[15/16, 1[$ a été omise, compte tenu du nombre infini d’intervalles qu’il faudrait représenter.
Graphiquement, il semble légitime de considérer que l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la fonction $h$, l’axe des ordonnées et la droite verticale d’équation $x=1$ est égale à:
Avant d’affirmer la validité de cette égalité, il convient de procéder aux démonstrations requises.
Objectif principal
Quelques définitions : notion de subdivision étiquetée
On appelle subdivision étiquetée $P$ de l’intervalle $[0,1]$ tout ensemble fini tel que :
il existe un entier $n\geq 1$ ;
et il existe $(x_0,\dots,x_n)\in\R^{n+1}$ tel que $x_0 < \dots < x_n$ avec $x_0=0$ et $x_n = 1$ ;
et il existe $(t_1,\dots,t_n)\in\R^n$ tel que $\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, t_i\in[x_{i-1},x_i]$ tels que :
$P = \{ ([x_{i-1}, x_i], t_i), 1\leq i \leq n\}.$
La subdivision $P$ étant définie, les intervalles $[x_{i-1},x_i]$ sont appelés intervalles de la subdivision $P$ et les réels $t_i$ sont appelés les étiquettes de la subdivision $P.$ Pour chaque intervalle $[x_{i-1},x_i]$, le réel $t_i$ est son étiquette.
Pour plus de commodité dans la suite, la somme $\sum_{i=1}^n h(t_i)(x_i-x_{i-1})$ sera appelée somme de Riemann de $h$ associée à la subdivision étiquetée $P$ et sera notée :
S(h,P)=\sum_{i=1}^n h(t_i)(x_i-x_{i-1}).
Notion de subdivision fine
Soit $n$ un entier tel que $n\geq 1.$ Soit $\delta: [0,1]\to \R_{+}^{*}$ une fonction strictement positive sur $[0,1]$ et soit $P = \{ ([x_{i-1}, x_i], t_i), 1\leq i \leq n\}$ une subdivision étiquetée de l’intervalle $[0,1].$
La subdivision $P$ est dite $\delta$-fine si et seulement si :
Dans ce qui suit, il sera démontré en détail que la fonction $h$ est intégrable au sens de Henstock-Kurzweil sur $[0,1]$ et que son intégrale est bien égale à la somme de la série précitée :
\int_{0}^1 h(t)\dt = A.
Cela signifie que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe une fonction $\delta: [0,1]\to \R_{+}^{*}$ (appelée jauge) strictement positive telle que pour toute subdivision étiquetée $P$ de l’intervalle $[0,1]$ qui soit $\delta$-fine, vous ayez la majoration :
\left\vert S(h,P) - A \right\vert \leq \varepsilon.
Analyse et construction d’une jauge
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif fixé.
Vous considérez une fonction $\delta: [0,1]\to \R_{+}^{*}$, appelée jauge.
Soit maintenant et $n\in\NN$ et $P = \{ ([x_{i-1}, x_i], t_i), 1\leq i \leq n\}$ une subdivision étiquetée de l’intervalle $[0,1]$ qui soit $\delta$-fine.
Choisissez la jauge pour que l’étiquette $t_1$ soit égale à $0$
Vous allez imposer la propriété suivante pour la jauge $\delta$ :
Ce résultat est contradictoire avec $t_n \in [0,1[.$
Grâce à ce raisonnement par l’absurde, vous avez établi que:
\boxed{t_n =1.}
Définissez une utile fonction $\varphi$
Vous notez $\boxed{E = \{ c_k, k\in\N\}.}$ Soit maintenant un réel $x$ appartenant à l’ensemble $]0,1[\setminus E.$ L’ensemble $B = \{ \vert x-c_k\vert, k\in\N \}$ est une partie de $\R.$ Prenant $k=0$, il apparaît que $\vert x-c_0\vert \in B$ donc $B$ est non vide. D’autre part, $\forall k\in\N, \vert x-c_k\vert \geq 0$ donc $0$ minore $B.$
Il en résulte que $B$ admet une borne inférieure, qui sera notée $\varphi(x).$
ll s’agit maintenant de caractériser $\varphi(x)$ et de montrer que c’est un réel strictement positif.
En raisonnant par l’absurde, supposez que:
\forall k\in\N, c_k\leq x.
En passant à la limite, quand $k\to +\infty$ on aurait $1\leq x$ ce qui contredit le fait que $x \in]0,1[.$
Donc il existe un nombre $\ell \in \N$ tel que $x<c_{\ell}.$
L’ensemble $\{k\in\N, x<c_k\}$ est une partie de $\N$ qui est non vide puisqu’elle contient $\ell.$ Elle admet un plus petit élément qui sera noté $m(x).$
Si $m(x)=0$, alors $x<c_{m(x)}$ fournit $x<c_0$ soit $x<0$ ce qui est absurde. Donc $m(x)\neq 0$ et par suite $m(x)\geq 1.$ Comme $m(x)-1$ est un entier naturel qui est strictement inférieur au minimum de l’ensemble $\{k\in\N, x<c_k\}$, vous déduisez que $c_{m(x)-1}\leq x.$ Du coup, $c_{m(x)-1}\leq x < c_{m(x)}.$
Soit $k\in\N.$ Si $k\geq m(x)$ par croissance de la suite $(c_i)_{i\geq 0}$ il vient $c_{m(x)}\leq c_k$ donc $x < c_{m(x)} \leq c_k$ donc $\vert x-c_k\vert \geq \vert x-c_{m(x)}\vert.$
Si $k < m(x)$ alors $k\leq m(x)-1.$ Toujours par croissance de la suite $(c_i)_{i\geq 0}$ il vient $c_k\leq c_{m(x)-1}\leq x$ donc $\vert x-c_k\vert \geq \vert x-c_{m(x)-1}\vert.$
Le nombre $\min\{\vert x-c_{m(x)}\vert, \vert x-c_{m(x)-1}\vert\}$ minore l’ensemble $B.$ Comme $\varphi(x)$ est le plus grand des minorants de $B$, vous avez obtenu:
Comme $m(x)$ est un entier naturel, $\vert x-c_{m(x)}\vert \in B.$ Comme $\varphi(x)$ est un minorant de $B$, vous déduisez $\varphi(x)\leq \vert x-c_{m(x)}\vert.$
Comme $m(x)-1$ est un entier naturel, $\vert x-c_{m(x)-1}\vert \in B.$ Comme $\varphi(x)$ est un minorant de $B$, vous déduisez $\varphi(x)\leq \vert x-c_{m(x)-1}\vert.$
Comme $\min\{\vert x-c_{m(x)}\vert, \vert x-c_{m(x)-1}\vert\}$ est nécessairement égal à l’un des deux nombres parmi $\vert x-c_{m(x)-1}\vert$ et $\vert x-c_{m(x)}\vert$ vous déduisez:
\boxed{\forall x\in]0,1[\setminus E, \varphi(x) = \min\{\vert x-c_{m(x)}\vert, \vert x-c_{m(x)-1}\vert\}.}
Soit $x\in]0,1[\setminus E.$ Supposez que $\varphi(x)=0.$ Alors soit $\vert x-c_{m(x)} \vert=0$ ce qui fournit $x = c_{m(x)}$ et donc $x\in E$ ce qui est absurde. Soit $\vert x-c_{m(x)-1} \vert=0$ ce qui fournit $x = c_{m(x)-1}$ et donc $x\in E$ ce qui est absurde.
Ainsi:
\boxed{\forall x\in]0,1[\setminus E, \varphi(x) >0.}
Choisissez la jauge pour obtenir une propriété sur les intervalles de la subdivision $P$ dont l’étiquette n’appartient pas à $E$
Il a déjà été établi que $0$ et $1$ sont des étiquettes.
Soit $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$ un indice tel que $t_i\in]0,1[$ soit une étiquette pour un intervalle $[x_{i-1},x_i]$ de la subdivision $P.$ Supposez que $t_i \notin E.$
Vous allez imposer la propriété suivante pour la jauge $\delta$ :
\boxed{\forall t\in]0,1[\setminus E, \delta(t) \leq \frac{\varphi(t)}{2}.}
Il a été vu que:
\forall x\in]0,1[\setminus E, c_{m(x)-1}\leq x < c_{m(x)}.
En particulier, pour $x=t_i$ vous déduisez:
c_{m(t_i)-1}\leq t_i < c_{m(t_i)}.
Comme $t_i\notin E$, vous avez $t_i\neq c_{m(t_i)-1}$ d’où:
Il en résulte que $[x_{i-1},x_i]\subset ]c_{m(t_i)-1}, c_{m(t_i)}[.$
Cette section a établi le résultat suivant:
\boxed{\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, t_i\in]0,1[\setminus E \implies [x_{i-1},x_i]\subset ]c_{m(t_i)-1}, c_{m(t_i)}[.}
Choisissez la jauge de sorte que tout intervalle de $P$ (excepté le dernier) qui contient une valeur $c_k$ pour k entier naturel non nul a son étiquette qui est égale à $c_k$
Ce résultat sera prouvé en deux temps. Tout d’abord vous prouvez un résultat plus faible.
Vous établissez d’abord que tout intervalle de $P$ (excepté le dernier) contenant une valeur $c_k$ pour k entier naturel non nul a son étiquette qui appartient à $E.$
Puisque $[x_0,x_1]\subset [0,1/4]$, il est impossible d’avoir $n=1$ donc la partition $P$ comprend au moins deux intervalles, c’est-à-dire $\boxed{n\geq 2.}$
Soit $k\in\NN$ tel qu’il existe un entier $i\in \llbracket 1, n-1\rrbracket$ vérifiant $c_k\in[x_{i-1},x_i].$
Supposez que l’étiquette $t_i$ de l’intervalle $[x_{i-1},x_i]$ n’appartienne pas à $E.$
Si $t_i = 0$ alors c’est que $i=1.$ Vous avez $[x_0,x_1]\subset[0,1/4]$ et par conséquent $c_k \in [0, 1/4]$, ce qui entraîne que $c_k = 0$ et $k=0$, contradiction avec $k\in\NN.$
Donc $t_i > 0.$ Comme $t_i\leq x_{i} < x_n$ vous avez $t_i\in]0,1[.$
Puisque $t_i\in]0,1[\setminus E$ vous déduisez que $[x_{i-1},x_i]\subset ]c_{m(t_i)-1}, c_{m(t_i)}[.$
Comme $c_k\in [x_{i-1},x_i]$ il en résulte que $c_{m(t_i)-1}<c_k < c_{m(t_i)}.$
Comme la suite $(c_m)_{m\geq 0}$ est strictement croissante, il vient $m(t_i)-1< k < m(t_i).$
Comme $k$ et $m(t_i)-1$ sont des entiers, l’inégalité $m(t_i)-1<k$ entraîne $m(t_i)\leq k$ ce qui contredit $k<m(t_i).$
Note. A ce stade, il est tout à fait possible qu’un intervalle de la subdivision $P$ contienne plusieurs valeurs de $E.$
Vous allez ajuster la jauge pour que cela ne puisse pas se produire.
Vous choisissez maintenant la jauge pour que toute tout intervalle de $P$ (excepté le dernier) qui contient une valeur $c_k$ pour k entier naturel non nul, ait son étiquette égale à $c_k.$
Soit $k\in\NN$ tel qu’il existe un entier $i\in \llbracket 1, n-1\rrbracket$ vérifiant $c_k\in[x_{i-1},x_i].$
Il a été vu que $t_i \in E$ donc il existe un entier naturel $\ell$ tel que $t_i = c_{\ell}.$
Si $c_{\ell}\neq c_k$, alors $k\neq \ell$ et deux cas se présentent.
1er cas. $k < \ell$ soit $k+1\leq \ell.$ Donc il existe un entier naturel $\zeta$ tel que $\ell = k+1+\zeta.$
Vous remarquez que $c_4\in]x_8,x_9]$ et que $c_3\notin ]x_8,x_9].$
La suite $(c_k)_{k\geq 4}$ étant strictement croissante et convergente vers $1=x_9$ vous déduisez que :
\forall k\geq 4, x_8 < c_k <1.
Le dernier intervalle de la subdivision $P$ contient presque toutes les valeurs de la suite $(c_k)_{k\geq 0}.$ De plus, comme $h(1)=0$ vous déduisez que :
h(1)(x_9-x_8)=0.
La somme de Riemann de la subdivision $P$ est égale à :
Note. Dans le cas où il existerait un nombre $i\in\NN$ et nombre $j\in\N$ tels que $c_i\in [x_{j-1},x_j]$ et $c_i\in [x_j, x_{j+1}]$, alors ces deux intervalles adjacents ont la même étiquette qui est $c_i = x_j$ si bien que la majoration ci-dessus reste valable.
Majorez l’écart entre la somme de Riemann et la valeur $A$
Il s’agit de majorer par $\varepsilon$ le nombre $\vert S(h,P)-A \vert.$
Dans l’exemple précédent, il a été vu que $\vert S(h,P) – (a_1 +a_2+ a_3)\vert \leq \frac{\varepsilon}{2}.$
Cette majoration n’est valable toutefois que pour les subdivisions $\delta$-fines, pour lesquelles vous aviez :
Si $P$ est une subdivision $\delta$-fine, vous avez, puisque $t_n=1$ :
[x_{n-1},x_n]\subset [1-\delta(1), 1].
En prenant les longueurs de ces intervalles : $x_n-x_{n-1}\leq \delta(1).$
D’une part, $x_{n-1}< x_n$ avec $x_n=1$ donc $x_{n-1} < 1.$
D’autre part, la suite $(c_k)_{k\geq 0}$ converge vers $1$ donc il existe un entier $\ell \geq 0$ tel que $x_{n-1} < c_{\ell}.$
L’ensemble $\{k\in\N, x_{n-1}< c_k\}$ est une partie de $\N$ qui est non vide. Vous notez $\mu$ son plus petit élément.
Comme $x_{n-1}\geq 1/4$ vous déduisez $x_{n-1} \geq c_0.$ Par suite, $0$ n’appartient pas à $\{k\in\N, x_{n-1}< c_k\}$ donc $\mu\neq 0$ et comme $\mu\in\N$ il vient $\mu \geq 1.$
Pour tout $k\in\llbracket 0, \mu-1\rrbracket$, $k$ est un entier naturel strictement inférieur à $\mu$, le plus petit élément de $A$. Donc $k$ n’appartient pas à $A$ et par suite $x_{n-1}\geq c_k.$
Alors, pour toute subdivision étiquetée $P$ de $[0,1]$ qui est $\delta$-fine :
\vert S(h,P)-A \vert \leq \varepsilon.
La fonction $h$ est Henstock-Kurweil intégrable sur l’intervalle $[0,1]$ et son intégrale correspondante est égale à :
\boxed{\int_0^1h(t)\dt = A.}
Prolongement
Pourriez-vous expliciter une fonction réelle $h$ définie sur l’intervalle $[0,1]$ de sorte que $h$ soit Henstock-Kurzweil intégrable, mais de sorte que la valeur absolue $\vert h \vert$ ne le soit pas ?
Le théorème de Gauss-Lucas énonce que les racines complexes du polynôme dérivé d’un polynôme complexe non constant sont toutes situées à l’intérieur de la région convexe délimitée par les racines du polynôme initial. Vous en trouverez une démonstration rédigée dans le contenu de l'article 320.
Autrement dit, si vous visualisez les racines du polynôme complexe comme des points sur un plan complexe, alors les racines du polynôme dérivé sont nécessairement contenues à l’intérieur du polygone formé par ces points.
Si vous vous cantonnez au cas réel, le résultat précédent peut devenir faux. C’est l’objet de cet article : les racines réelles de la dérivée d’un polynôme non constant ne sont pas nécessairement toutes situées à l’intérieur de la région convexe délimitée par les racines réelles du polynôme initial.
Utilisez un polynôme réel non scindé
Soit $r$ un nombre réel non nul qui sera choisi plus tard. Vous définissez un polynôme $P\in\R[X]$ en posant :
P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).
Le discriminant du trinôme $X^2+rX+r^2$ est égal à :
\Delta = r^2-4r^2=-3r^2.
Ainsi, $\Delta$ est strictement négatif. Du coup, $X^2+rX+r^2$ n’a pas de racine réelle et par suite, le polynôme $P$, en tant qu’élément de $\R[X]$ n’est pas scindé.
Il admet $1$ et $2$ pour racines, les deux autres étant complexes non réelles.
La région convexe délimitée par les racines réelles de $P$ est l’intervalle $[1,2].$ Il sera montré dans la suite que le polynôme $P’$ admet une racine réelle n’appartenant pas cet intervalle.
Calculez le polynôme dérivé
Vous utilisez la formule de dérivation d’un produit composé de trois facteurs.
Supposez que $r$ soit choisi pour que le polynôme $P’$ admette exactement deux racines réelles. Ce choix est motivé par le fait que les deux racines précédentes sont rapidement calculables en fonction des coefficients de ce polynôme.
Vous notez $u\in\R$ et $v\in\R$ les deux racines réelles de $P’$ avec $u\neq v.$
Vous effectuez la division euclidienne de $P’$ par $X-u.$ Puisque $u$ est racine de $P’$, il existe un polynôme réel $Q$ de degré $2$ tel que :
P'(X) = (X-u)Q(X)
En évaluant cette expression en $v$, il vient $0 = (v-u)Q(v).$ Ainsi $Q(v) = 0.$
Vous effectuez la division euclidienne de $Q$ par $X-v$ et déduisez l’existence d’un polynôme réel $S$ de degré $1$ tel que :
Q(X) = (X-v)S(X).
Du coup :
P'(X) = (X-u)(X-v)S(X).
Par identification du coefficient dominant de $P’$ avec celui du polynôme $(X-u)(X-v)S(X)$ vous déduisez que le coefficient dominant de $S$ est égal à $4.$ En appelant $w\in\R$ le coefficient constant du polynôme $S$, il vient :
P'(X) = (X-u)(X-v)(4X+w).
Cela conduit à :
P'\left(\frac{-w}{4}\right) = 0.
Si vous aviez :
\frac{-w}{4}\not\in\{u,v\}
Alors le polynôme $P’$ admettrait trois racines réelles, ce qui est exclu.
La fonction $f’$ est strictement croissante sur $[0,1].$ Or $f'(0) = -126$ et $f'(1) = 1620.$ Comme $f’$ est une fonction polynôme, elle est continue sur l’intervalle $[0,1].$ Donc la fonction $f’$ réalise une bijection de $[0,1]$ vers $[-126,1620].$ Il existe unique réel $\zeta\in[0,1]$ tel que $f'(\zeta) = 0.$
La stricte croissance de $f’$ sur $[0,1]$ implique alors que $f’$ est strictement négative sur $[0, \zeta[$ et strictement positive sur $]\zeta, 1].$
La fonction $f$ est par conséquent strictement décroissante sur $[0, \zeta]$ et elle est strictement croissante sur $[\zeta, 1].$ Comme $f(0) =-68 $, $f(0)$ est strictement négatif et $f(\zeta)$ l’est aussi.
$f$ étant continue sur $[\zeta, 1]$ et strictement croissante sur cet intervalle, $f$ réalise une bijection de $[\zeta, 1]$ vers $[f(\zeta), f(1)].$ Comme $f(1)=324$, vous avez $f(\zeta)<0<324.$ Il en résulte qu’il existe un unique réel $\eta$ appartenant à $[\zeta, 1]$ tel que $f(\eta)=0.$
$f$ étant décroissante sur $[0, \zeta]$ avec $f(0)<0$ vous déduisez que pour tout $x\in[0,\zeta], f(x) < 0.$ En particulier la fonction $f$ ne s’annule pas sur $[0,\zeta].$
En définitive, il existe un unique réel (qui est $\eta$) appartenant à l’intervalle $[0, 1]$ qui annule la fonction $f.$
Dans la suite, vous définissez $r$ comme étant l’unique réel de l’intervalle $[0,1]$ tel que :
Comme $\xi$ est une racine du polynôme $P’$, il a bien été prouvé que $\xi \notin[1,2].$
Il existe une racine réelle de $P’$ qui n’est pas comprise entre la plus grande racine réelle de $P$ et la plus petite racine de $P.$ Le théorème de Gauss-Lucas ne peut pas être cantonné au cas réel.
Inspirez vous du logarithme népérien d’un réel strictement positif
Soit $a$ un réel strictement positif.
La fonction réelle $x\mapsto a^x$ est définie sur $\R$ et pour tout réel $x$, la dérivée est la fonction $x\mapsto (\ln a)a^x.$
Du coup, $\ln a$ est obtenu en dérivant la fonction $x\mapsto a^x$ et en évaluant l’expression obtenue en $0.$
Le problème qui se pose ici concerne l’évaluation de $(-1)^x$ lorsque $x$ est un réel. Pour contourner cette difficulté, vous utilisez la relation d’Euler, à savoir $-1 = \e^{i\pi}.$
Du coup, la fonction réelle $x\mapsto \e^{i\pi x}$ est bien définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $x\mapsto i\pi \e^{i\pi x}.$
Formez une expression matricielle
D’après ce qui précède, vous posez, pour tout réel $x$ :
Vous étudiez maintenant la matrice $S$ définie par le bloc de taille $2\times 2$ de la matrice $P_1^{-1}BP_1$ situé en bas à droite. Vous posez :
S = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 1\\
-1&-1+2\ln2
\end{pmatrix}.
Vous cherchez la forme de Jordan de $S$ avec une matrice inversible associée.
Le polynôme caractéristique de $S$ est égal à $(X-\ln 2)^2$ étant donné que le produit par blocs du déterminant de $P_1^{-1}BP_1$ qui est identique à celui de $B.$
Subséquemment, le nombre $\ln 2$ est une valeur propre de $S.$
Vous cherchez un couple $(x_1,x_2)\in\C^2$ non nul tel que :
Via le théorème de Cayley-Hamilton, il en résulte que :
\boxed{P(A) = (A+I)(A-2I)^2 = 0.}
Déterminez le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P$
Soit $n$ un entier naturel non nul fixé.
Formez un système d’équations
En effectuant la division euclidienne de $X^n$ par $P$ qui est un polynôme de degré $3$, vous déduisez qu’il existe un polynôme quotient $Q\in\R[X]$ et un polynôme $R$ de degré $2$ au maximum, tels que :
X^n = P(X)Q(X)+R(X).
Compte tenu de la remarque précédente effectuée sur le polynôme $R$, il existe un triplet $(a,b,c)\in\R^3$ tel que :
R(X)=aX^2+bX+c.
Comme $P(2)=0$ et comme $P(-1)=0$, en évaluant en $2$ et en $-1$, vous obtenez les deux égalités :
Extrapolez la relation précédente et déterminez une racine carrée de $A$
Vous souhaitez choisir $n=1/2$ dans la relation précédente qui calculait $A^n.$ Afin d’éviter la problématique évaluation de $(-1)^n$ lorsque $n$ n’est pas entier, vous utilisez la relation d’Euler $-1 = \e^{i\pi}.$
L’idée est alors d’utiliser la relation suivante, valable pour tous les réels $x$ strictement positifs : $x^{1/2}=\sqrt{x}.$
Suivant cette optique, vous posez :
B = \frac{(3\times \frac{1}{2}-2)2^{1/2}+2(\e^{i\pi})^{1/2}}{18}A^2+ \frac{(-3\times \frac{1}{2}+8)2^{1/2} - 8 (\e^{i\pi})^{1/2}}{18}A+\frac{(-6\times \frac{1}{2}+10)2^{1/2}+8(\e^{i\pi})^{1/2}}{18}I.
Vous calculez explicitement la matrice $B$ et vous procédez comme suit :
Vous allez dans cet article vérifier qu’il existe au moins une racine primitive $n$-ième de l’unité. Puis, vous allez l’utiliser pour démontrer des caractérisations générales des racines $n$-ièmes primitives de l’unité.
Un exemple important
Considérez le nombre complexe $\varepsilon$ défini par :
\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}
Note. Ce nombre $\varepsilon$ a été rencontré dans le contenu rédigé dans l'article 332 où il a été établi que toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $\varepsilon.$
De cette égalité, vous déduisez l’existence d’un entier $k\in\Z$ tel que :
\frac{2im\pi}{n}= 2ik\pi.
Vous simplifiez par $2i\pi$ et obtenez :
\frac{m}{n} = k.
Cela s’écrit $m = nk.$ Comme $m$ et $n$ sont strictement positifs, il en est de même pour $k.$
Donc $k\geq 1$ et par suite $nk\geq n$ et $m\geq n.$ Contradiction avec $m\leq n-1.$
Vous en désuisez : $\forall m\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, \varepsilon^m\neq 1.$
Le nombre $\varepsilon$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité.
Une première caractérisation d’une racine primitive
Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si l’ensemble :
A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}
est non vide et admet $n$ pour plus petit élément.
Premier sens
Soit $z$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Vous posez $A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}.$
Alors $z^n=1$ et comme $n\in\NN$, $n\in A_z$ donc $A_z$ est non vide.
Comme $A_z$ est une partie de $\N$, elle admet un plus petit élément noté $\alpha.$
Comme $\alpha \in A_z$, alors $\alpha \geq 1.$
Or, $n\in A_z$ et $\alpha$ est le plus petit élément de $A_z$, donc $\alpha\leq n.$
Supposez que $\alpha \neq n.$ Alors $1\leq \alpha\leq n-1.$ Comme $\alpha\in A_z$ il vient $z^{\alpha} = 1.$
Or $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité donc $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$ Alors $z^{\alpha}\neq 1.$ Contradiction.
Du coup, $\alpha = n$ est $n$ est le plus petit élément de $A_z.$
Second sens
Soit $z$ un nombre complexe tel que $A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}$ soit non vide et $n = \min A_z.$
Comme $n\in A_z$, il vient $z^n=1.$
Soit maintenant $i$ un entier appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, n-1 \rrbracket.$
Supposez $z^i = 1.$ Alors, comme $i\in\NN$ vous déduisez $i\in A_z.$ Comme $n$ est le plus petit élément de $A_z$ vous avez $n\leq i.$ Or $i\leq n-1.$ Du coup, $n\leq n-1$. Contradiction.
Donc $z^i\neq 1.$
Du coup, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$
Le nombre $z$ est par conséquent une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Une deuxième caractérisation
Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si l’ensemble :
B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}
est égal à l’ensemble noté $n\Z$ des multiples de $n.$
Premier sens
Soit $z$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Vous posez $B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}.$
Soit $k\in\Z$ un multiple de $n.$ Il existe un entier $\ell\in\Z$ tel que $k = n\ell.$
Comme $z$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$ Comme $z^r=1$ vous déduisez $r\notin\llbracket 1, n-1\rrbracket.$ Cependant, $r\in\llbracket 0, n-1\rrbracket.$ Du coup $r=0$ et donc $m=nq$ donc $m$ est un multiple de $n.$
Soit $z$ un nombre complexe tel que l’ensemble $B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}$ soit égal à $n\Z$, l’ensemble des multiples de $n.$
Tout d’abord, $n = n\times 1$ donc $n$ est un multiple de $n.$ Par suite, $n\in n\Z.$
Or, $B_z = n\Z$ donc $n\in B_z$ et il vient $z^n = 1.$
Soit maintenant un entier $i \in\llbracket 1, n-1\rrbracket.$
Supposez que $z^i = 1.$ Alors comme $i\in \Z$ il vient $i\in B_z.$ Comme $B_z = n\Z$ vous déduisez $i\in n\Z.$ Donc $i$ est un multiple de $n.$
Il existe un entier $k\in\Z$ tel que $i = nk.$
Si $k$ est négatif ou nul, par produit, $nk$ est négatif ou nul et $i$ aussi. Contradiction avec $i\geq 1.$
Donc $k$ est strictement positif. Or, $k$ est entier donc $k\geq 1.$ Par produit avec $n$, il vient $nk\geq n.$ Donc $i\geq n.$ Mais cela contredit l’inégalité $i\leq n-1.$
$z$ est ainsi une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Une troisième caractérisation
Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si les conditions suivantes sont simultanément satisfaites :
$z^n = 1$ (autrement dit, $z$ est une racine $n$-ième de l’unité) ;
Toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $z.$
Note. La seconde condition s’écrit formellement ainsi :
\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists k\in\Z,
u = z^k.
\right)
Remarque. Cette seconde condition signifie que $z$ est un générateur de l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité.
Premier sens
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z^n=1.$
Vous supposez ce qui suit :
\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists k\in\Z,
u = z^k.
\right)
D’une part, le nombre $z$, en tant que racine $n$-ième de l’unité, s’écrit comme une puissance entière de $\varepsilon.$
Il existe un entier $\ell \in\Z$ tel que :
z = \varepsilon^{\ell}.
D’autre part, en choisissant $u=\varepsilon$, vous déduisez qu’il existe un entier $k\in\Z$ tel que :
Soit $z$ une racine $n$-ième primitive de l’unité fixée. Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $u$, $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si, il existe un entier $k\in\Z$ premier avec $n$, tel que $u = z^k.$
Premier sens
Soit $u$ une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Comme $u^n=1$ et que $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, via la troisième caractérisation, il existe un entier $k\in\Z$ tel que $u = z^k.$
D’autre part, $z^n=1$ et $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité. Toujours via la troisième caractérisation, il existe un entier $\ell\in\Z$ tel que $z = u^{\ell}.$
Mis bout à bout, il vient :
\begin{align*}
u &= z^k\\
&= (u^{\ell})^k\\
&=u^{k\ell}.
\end{align*}
Or, $u$ est non nul, donc en divisant par $u$, il vient $1 = u^{k\ell -1}.$
Comme $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, via la deuxième caractérisation, il vient :
n\mid k\ell -1.
Donc il existe un entier $m\in\Z$ tel que :
k\ell -1 = nm.
Autrement dit :
k\ell-mn = 1.
D’après le théorème de Bézout, il en résulte que $\mathrm{PGCD}(k,n)=1$ et les entiers $k$ et $n$ sont premiers entre eux.
Comme $u = z^k$ avec $k$ premier avec $n$, la démonstration du premier sens est acquise.
Second sens
Soit $u\in\C$ tel qu’il existe un entier $k\in\Z$ vérifiant :
Soit maintenant $y$ une racine $n$-ième de l’unité. Comme $z$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité, il existe $\alpha \in\Z$ tel que $y = z^{\alpha}.$
Alors :
\begin{align*}
y &= (u^a)^{\alpha} \\
&=u^{a\alpha}.
\end{align*}
Ainsi, toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $u$, qui est lui-même une racine $n$-ième de l’unité. D’après la troisième caractérisation, il s’ensuit que $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Prolongement
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $\varphi(n)$ le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :
La fonction $\varphi$ ainsi définie s’appelle fonction indicatrice d’Euler : à tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi$ associe le nombre d’entiers positifs inférieurs ou égaux à $n-1$ qui sont premiers avec $n.$
En utilisant le contenu de cet article, expliquez pourquoi le nombre de racines primitives $n$-ièmes de l’unité est précisément égal à $\varphi(n).$
\begin{align*}
\frac{2ip\pi}{n} &= \frac{2iq\pi}{n}+ 2i\pi m \\
\frac{p}{n} &= \frac{q}{n}+ m\\
p-q &=nm\\
\vert p-q\vert &=n \vert m \vert\\
n \vert m \vert &\leq n-1.
\end{align*}
Si $m$ est non nul, alors $n\leq n-1$ ce qui est absurde, donc $m=0$ et donc $p=q.$
Par contraposée, vous déduisez que, quels que soient les entiers $p$ et $q$ appartenant à l’intervalle $\llbracket 0, n-1\rrbracket$ :
p\neq q \implies \varepsilon^p\neq \varepsilon^q.
Ainsi, les $n$ nombres complexes $\varepsilon^0, \dots, \varepsilon^{n-1}$ sont deux à deux distincts.
Concluez
Soit $n$ un entier naturel non nul fixé. Vous posez $\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}$
Pour tout nombre complexe $z$, les propositions suivantes sont équivalentes :
$z$ est une racine $n$-ième de l’unité ;
$z^n =1$ ;
il existe un entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$ tel que $z = \varepsilon^k.$
Les solutions de l’équation $z^n=1$ d’inconnue $z\in\C$ sont les $n$ nombres complexes suivants qui sont deux à deux distincts : $\varepsilon^0, \dots, \varepsilon^{n-1}.$
Le but de cet article est de présenter un calcul de $\cos(36^{\circ})$ et de $\cos(72^{\circ})$ à partir d’outils géométriques. Le nombre d’or fera une apparition qui sera soulignée.
Tout d’abord, construisez un triangle $BCD$ isocèle en $D$, de sorte que :
Sur la demi-droite $[DC)$ vous placez le point $A$ tel que $AC = 1.$
Puisque $AC=BC$ le triangle $ACB$ est isocèle en $C.$ Vous avez obtenu la figure suivante, dans laquelle vous allez justifier de la présence de trois angles égaux à $36^{\circ}$, marqués en violet.
Comme l’angle $\widehat{DCA}$ est plat, il mesure $180^{\circ}.$ Du coup:
La somme des mesures des angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ est égale à $72^{\circ}$ pour que la somme des trois angles du triangle $ACB$ soit égale à $180^{\circ}.$
Or, les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ ont la même mesure. Donc:
\widehat{CAB}= \widehat{ABC} = 36^{\circ}.
Remarquez alors que le triangle $ABD$ possède aussi deux angles mesurant $36^{\circ}.$ Il est donc isocèle en $B$, du coup $\boxed{AB=BD.}$
Une mesure de l’angle $\widehat{ABD}$ est obtenue comme suit:
180 - 36-36 = 180-72 = 108.
D’où : $\widehat{ABD} = 108^{\circ}.$
Remarquez que deux triangles sont semblables
Vous construisez le tableau suivant à partir des triangles $ACB$ et $ABD$ et vous déduisez les sommets homologues:
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{valeurs des angles} & 36^{\circ} & 108^{\circ} & 36^{\circ}\\
\hline
\text{sommets du triangle }ACB & A & C & B\\
\hline
\text{sommets du triangle }ABD & A & B & D\\
\hline
\end{array}
Notez que $A$ et $B$ ne sont pas confondus, sinon $B$ appartient à la demi-droite $[DC)$ et le triangle $BCD$ est plat, ce qui est absurde. Donc $AB$ est un réel strictement positif.
Les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés dans cet ordre, d’où $AD = AC+CD = 1+CD.$ Ainsi, $AD$ est strictement positif.
Du coup, par proportionnalité, il vient:
\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}.
En tenant compte du fait que $AC=1$ il vient:
\frac{1}{AB} = \frac{AB}{AD}.
Puis:
\frac{1}{AB} = \frac{AB}{1+CD}.
Or, $CD = BD = AB$, d’où:
\frac{1}{AB} = \frac{AB}{1+AB}.
Le réel $AB$ est une solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}.$
Note. On pourrait résoudre cette équation avec le discriminant, mais le lien avec le nombre d’or mérite d’être souligné.
Le nombre d’or est l’unique solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}$
Ce résultat sera démontré en deux temps.
Le nombre d’or est défini par:
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Il est strictement positif.
Le nombre d’or est bien une solution de cette équation
Note. Cette équation peut être résolue avec le discriminant, mais un autre choix est effectué ici.
Donc $a$ est racine du trinôme $X^2-X-1.$
Or, il a été vu que $\varphi^2 = 1+\varphi$ donc $\varphi$ est une racine strictement positive du trinôme $X^2-X-1.$ Quand un trinôme a une racine connue, l’autre s’obtient rapidement, en utilisant la propriété suivante: le produit des racines d’un polynôme du second degré est égal au quotient du coefficient constant par le coefficient dominant. Comme $\varphi\times \frac{-1}{\varphi} = \frac{-1}{1}$ vous déduisez que l’autre racine est $-\frac{1}{\varphi}.$
Compte tenu de la valeur du nombre d’or $\varphi$ vous déduisez :
\boxed{\cos(36^{\circ}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}.}
Prolongement
Vous souhaitez calculer les valeurs des deux cosinus susmentionnés en utilisant des résolutions algébriques ? Allez jeter un coup d’œil dans le contenu rédigé dans l'article 106.
vous avez bien un polynôme réel de degré $2$ tel que $P(z)=0.$
Concluez
Pour tout nombre complexe $z$ s’écrivant sous forme algébrique $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2$ :
soit $z\in\R$ et $z$ est annulé par le polynôme $P$ réel de degré $1$ défini par $P(X)=X-z$ ;
soit $z\in\C\setminus\R$ et $z$ est annulé par le polynôme réel $P$ de degré $2$ défini par $P(X)=X^2-2xX+x^2+y^2.$
Retrouvez le dernier résultat à partir de l’inverse d’un nombre complexe
Soit $z$ un nombre complexe non réel. Notez que $z$ est non nul. En écrivant $z = x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2$, vous souhaitez retrouver que le polynôme $X^2-2xX+x^2+y^2$ possède $z$ pour racine.
Dans cet article, vous vous focalisez sur le polynôme $P$ à coefficients entiers défini par $X^4+1.$ Vous étudiez sa factorisation éventuelle comme produit de deux polynômes de degré $2$ ayant leurs coefficients dans un sous-corps donné de $\C$.
Ramenez-vous à des polynômes unitaires
Soit $\K$ un sous-corps de $\C.$
Ecrire $X^4+1$ comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K$ signifie qu’il existe $(u,v,w,r,s,t)\in\K^6$ avec $u\neq 0$ et $v\neq 0$ tels que :
X^4+1 = (uX^2+vX+w)(rX^2+sX+t).
En divisant le premier polynôme du second degré par $u$ et en multipliant celui de droite par $u$, vous obtenez :
Le polynôme $X^4+1$ s’écrit encore comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$
Concluez sur le problème initial
Pour tout sous-corps $\K$ de $\C$, le polynôme $X^4+1$ se décompose comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K$, si et seulement si, au moins un des trois nombres parmi $i$, $\sqrt{2}$, $i\sqrt{2}$ appartient à $\K.$
Prolongement
Utilisez le contenu de cet article pour justifier que la notion de décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles dépend du corps dans lequel les coefficients sont contenus.
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